陕西省商洛市2026届高三数学上学期12月学情调研测试含解析

陕西省商洛市2025-2026学年高三上学期12月学情调研测试

数学试题

一、单选题

1．已知集合M{1,2,3},N{x∣1x2,xZ}，则MN（）

A．{1}B．{1,2}C．{0,1,2,3}D．{1,0,1,2,3}

2．已知复数zi31i，则z在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．已知向量a,b不平行，ab//ab，则（）

A．2B．1C．1D．2

4．若2cossin0，则tan等于（）

4

11

A．B．C．3D．3

33

5．某学校寒假期间安排3名教师与4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求至少1名教师与2名学

生，且教师甲不去上海，则分配方案有（）

A．36种B．24种C．18种D．12种

6．已知等差数列an的公差不为零，a15，a4是a2和a5的等比中项，设Sna1a2an，则Sn的最小值

为（）

A．60B．80C．100D．120

3

7．一条直线经过点M(3,)，被圆x2y225截得的弦长等于8，这条直线的方程为（）

2

3

A．x3或3x6y50B．x3或y

2

C．3x6y50D．x3或3x4y150

8．若关于x的不等式x2(m2)x2m0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（）

A．{m∣2m1或5m6}B．{m∣2m1或3m6}

C．{m∣3m1或3m6}D．{m∣3m1或4m6}

二、多选题

9．某科技公司统计了一款APP，最近5个月的下载量如表所示，若y与x线性相关，且经验回归方程为

yˆ0.6xaˆ，则（）

月份编号x12345

下载量y（万

54.543.52.5

次）

A．y与x负相关B．aˆ5.7

C．预测第6个月的下载量约为2.1万次D．残差绝对值的最大值为0.5

10．已知函数yfx是定义在1,1上的奇函数，当x0时，fxxx1，则下列说法正确的是

（）

A．函数yfx有2个零点

B．当x0时，fxxx1

C．不等式fx0的解集是0,1

1

D．x,x1,1，都有fxfx

12122

11．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面圆直径，APB60,PA2，点C在底面圆周上．（不

与A、B重合），则（）

π

A．该圆锥的体积为B．PB的中点为D，则OD//平面PAC

3

3

C．该圆锥的侧面积为3πD．该圆锥的内切球半径为

3

三、填空题

41

12．已知正数a，b满足ab1，则的最小值为．

ab

13．已知抛物线C:y22px(p0)，直线ykx1与抛物线相交于A,B，且AB的中点为M(2,2)，则

p．

14．已知函数f(x)x22lnx，若关于x的不等式f(x)m0在[1,e]上有实数解，则实数m的取值范围

是．

四、解答题

15．已知a(sinx,3),b(1,cosx),f(x)ab1．

(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程；

3

(2)已知ABC的内角C满足f(C)0，且点D在线段AB上，BDBC2,sinACD求CD的长．

3

16．已知等差数列an的前n项和为Sn,a37且S42S28．

(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn；

1

n

(2)设bn2，求数列bn的前n项和Tn．

anan1

17．如图，在正三棱柱ABCABC的底面边长为2，侧棱长为3，D为棱AC的中点，E是棱BB上的动

点（不与B、B重合），连接BD．

(1)证明：BDAC．

5

(2)已知直线EC与平面ABC所成角的正弦值为，求平面AEC与平面ABC夹角的余弦值.

5

x2y2

18．已知双曲线E:1(a0,b0)的离心率为2，点A(1,0)在双曲线E上．

a2b2

(1)求E的方程；

1

(2)已知直线l:yxm，l交E于P，Q两点，

2

1

①是否存在直线l:yxm满足APAQ，若存在求出直线l的方程，若不存在请说明理由；

2

②若m1，求△OPQ的面积的最小值．

19．若直线与两个函数图象在公共点处相切，称直线为这两个函数的“合一切线”．

(1)已知f(x)exln(x1)1，求函数f(x)的零点；

(2)求函数yex与函数yln(x1)1的“合一切线”方程；

(3)已知g(x)x(sinxax)b，若曲线yg(x)与曲线ycosx存在两条互相垂直的“合一切线”，求a，

b的值．

参考答案

1．D

【详解】集合M{1,2,3},N{x∣1x2,xZ}{1,0,1,2}，

所以MN{1,0,1,2,3}.

故选：D

2．D

【详解】zi31ii1i1i，

z在复平面内对应的点为(1,-1)，位于第四象限.

故选：D.

3．B

【详解】因为向量a，b不平行，ab//ab，

所以存在实数x，使得：abxabxaxb，

x

即，解得x1.

1x

故选：B.

4．B

【详解】因为2cossin0，则sin2cos，故tan2，

tantan

4211

因此，tan.

41tantan123

4

故选：B.

5．C

2

【详解】当教师甲与2名学生去北京时，分配方案共有C46（种）；

12

当教师甲与另一名教师及2名学生去北京时，分配方案共有C2C412（种），

综上，分配方案共有61218（种）.

故选：C.

6．D

2

【详解】设an的公差dd0，因为a15，a4是a2和a5的等比中项，所以a4a2a5，

2

即53d5d54d，解得d1，则an5n11n6，

所以Sn54321012n6，

所以Sn的最小值为S5=120.

故选：D.

7．D

【详解】由圆的方程，得到圆心坐标为(0,0)，半径r=5，

直线被圆截得的弦长为8，弦心距d52423，

若此弦所在的直线方程斜率不存在，直线方程为x3，满足题意；

若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为k，

33

所求直线的方程为yk(x3)，kxy3k0，

22

3

3k273

圆心到所设直线的距离2，整理得9k，解得：k，

d344

1k2

33

此时所求方程为y(x3)，即3x4y150，

24

综上，此弦所在直线的方程为x3或3x4y150.

故选：D

8．A

【详解】不等式x2(m2)x2m0可化为x2xm0，

当m2时，不等式的解集为，不符合题意，

当m2时，不等式的解集为m,2，若解集中恰有3个整数，则这三个整数为1,0,1，所以2m1，

当m2时，不等式的解集为2,m，若解集中恰有3个整数，则这三个整数为3,4,5，所以5m6，

综上，实数m的取值范围为{m∣2m1或5m6}.

故选：A.

9．ABC

【详解】对于A，由0.60，得变量y与x负相关，A正确；

11

对于B，x(12345）3，y(54.543.52.5）3.9，

55

yˆ0.6xaˆ，则0.63aˆ3.9，解得aˆ5.7，B正确；

对于C，当x6时，yˆ0.665.72.1，预测第6个月的下载量约为2.1万次，C正确；

对于D，当x1时，yˆ10.615.75.1，y1yˆ10.1，

当x2时，yˆ20.625.74.5，y2yˆ20，

当x3时，yˆ30.635.73.9，y3yˆ30.1，

当x4时，yˆ40.645.73.3，y4yˆ40.2，

当x5时，yˆ50.655.72.7，y5yˆ50.2，因此残差绝对值的最大值为0.2，D错误.

故选：ABC

10．BCD

【详解】对A，当x0时，由fxxx10得x1，

又因为yf(x)是定义在1,1上的奇函数，所以f00,f1f(1)0，故函数yf(x)有3个零点，

故A错误；

对B，设x0，则x0，则fxfxxx1xx1，故B正确；

对C，当0x1时，由f(x)x(x1)0，得0x1；

当1≤x≤0时，由f(x)x(x1)0，得x无解；故C正确；

对D，x1,x21,1，都有

11111

fx1fx2fxfxff，故D正确；

maxmin22442

故选：BCD．

11．BD

【详解】

因为圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面圆直径，APB60,PA2，

所以PAB是等边三角形，POAP2AO23

13π

对于A，该圆锥的体积为Vπ123，故错误

33

对于B，在△APB中，由PB的中点为D，AB的中点为O，

所以OD//PA，又OD平面PAC，PA平面PAC，所以OD//平面PAC，故正确；

1

对于C，该圆锥的侧面积为S2π22π，故错误；

2

对于D，作圆锥的轴截面如下图，则△APB的内切圆半径即为该圆锥的内切球半径，设所求半径为r，

113

则根据等面积法有SPAB2323r，解得r，

223

所以该圆锥的内切球半径为3，故正确；

3

故选：BD

12．9

【详解】由题a0,b0且ab1，

41414ba4ba

所以ab5529，

abababab

4ba2

当且仅当即a2b时等号成立.

ab3

41

所以的最小值为9.

ab

故答案为：9.

13．3

【详解】又中点M(2,2)在直线ykx1上，

33

所以22k1，即k=，故直线AB的方程为yx1

22

3

yx12

设Ax1,y1,Bx2,y2，联立方程2得9x128px40，

2

y2px

128p

所以Δ192p64p264p3p0，xx，

129

因为AB的中点为M(2,2)，

128p

所以xx4，解得p3，满足判别式，

129

故p3.

故答案为：3

2

14．,e2

【详解】不等式f(x)m0在x1,e上有实数解，即f(x)m在x1,e上有实数解，

只需f(x)maxm，

f(x)x22lnx，x1,e，

22x22

故f(x)2x0在x1,e上恒成立，

xx

故f(x)x22lnx在x1,e上单调递增，

2

所以f(x)maxf(e)e2，

2

所以me22，实数m的取值范围为,e2.

2

故答案为：,e2

π

15．(1)2π，xkπ,kZ；

6

(2)43.

3

【详解】（1）由a(sinx,3),b(1,cosx)，

π

得f(x)ab1sinx3cosx12sin(x)1，

3

所以f(x)的最小正周期为2π，

πππ

由xkπ,kZ，得xkπ,kZ，

326

π

所以f(x)图象的对称轴为xkπ,kZ.

6

ππ1

（2）在ABC中，由f(C)0，得2sin(C)10，即sin(C)，

332

ππ2ππππ

而0Cπ，即C，则C，C，

333362

33

由sinACD，得cosBCDsinACD，而BDBC2，

33

43

所以CD2BCcosBCD

3

16．(1)an2n1，Snn(n2)；

n

(2)T2n12.

n6n9

a12d7

【详解】（1）设等差数列an的公差为d，由a37及S42S28，得，

4a16d2(2a1d)8

解得d2,a13，所以数列an的通项公式为ana1(n1)d2n1，

n(aa)

前n项和S1nn(n2).

n2

1111

（2）由（1）得b2n()2n，

n(2n1)(2n3)22n12n3

1111111

所以Tbbb[()()()]2222n

n12n235572n12n3

n

111212n

()2n12.

232n3126n9

17．(1)证明见解析；

(2)3.

2

【详解】（1）在正三棱柱ABCABC中，取AC中点O，连接BO,OD，则BOAC，

由D为棱AC的中点，得DO//AA，而AA平面ABC，则DO平面ABC，

又AC平面ABC，于是DOAC，由BODOO,BO,DO平面BOD，

得AC平面BOD，而BD平面BOD，因此BDAC，而AC//AC，

所以BDAC.

（2）由（1）得直线OC,OB,OD两两垂直，

以O为原点，直线OC,OB,OD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则C(1,0,3),A(1,0,3)，设E(0,3,t),0t3，则EC(1,3,3t)，

平面ABC//平面ABC，则平面ABC与平面ABC的一个法向量均为m(0,0,1)，

5

由直线EC与平面ABC所成角的正弦值为，

5

ECm3t5

得cosEC,m，解得，

2t2

ECm43t15

EC(1,3,1)，而AC(2,0,0)，设平面AEC的法向量为n(x,y,z)，

nECx3yz0

则，取y1，得n(0,1,3)，

nAC2x0

|mn|33

所以平面AEC与平面ABC夹角的余弦值为|cosm,n|.

|m||n|122

18．(1)x2y21

(2)①不存在，详见解析

②27

3

c

【详解】（1）因为e2，故c2a.

a

2

由ca2b2，代入得2a2a2b2，则a2b2.

x2y2

又因为A1,0在双曲线上，代入1，得a21，则b21，

a2b2

故双曲线方程为x2y21.

1

（2）由题可设Px,y,Qx,y，将yxm代入双曲线x2y21中，

11222

整理得3x24mx4m210，由根与系数关系得，

2

4m4m1

xx,xx，

123123

222

Δ4m434m164m480.

①不存在符合的直线.

令APx11,y1,AQx21,y2，

由APAQ得APAQ0，即x11x21y1y20，

11

将yxm,yxm代入上式得，

121222

11

x11x21x1mx2m0，

22

5m2

展开并整理x1x21x1x2m10，

42

2

54m1m4m2

将根与系数关系代入1m10，

4323

1

化简整理得4m20，解得m.

2

11

因此直线方程为yx.

22

54

检验，此时直线与双曲线的两个交点为P1,0,Q,，P与A重合，不构成垂直关系，

33

因此不存在满足条件的直线.

2216m21

②弦长1254m，

PQ1x1x24x1x2

2233

2m2m

O到直线l的距离d，

145

216m212

1154m2m2m4m3，

SOPQPQdm1

2223353

2m4m23

令fm,m1，可知fm在[1,+）单调递增，

3

2727

故fmf1，所以△OPQ的面积最小值为.

min33

19．(1)0；

(2)xy10；

2

(3)a，kZ，b0.

4kππ

【详解】（1）f(x)exln(x1)1中，令x10，解得x1，

故定义域为1,，