勾股定理及其应用2025-2026学年人教版八年级数学下册

20.1勾股定理及其应用第二十章勾股定理20.1勾股定理及其应用第1课时勾股定理第二十章勾股定理知识点

勾股定理的猜想：在直角三角形中，一直角边2＋另一直角边2＝斜边2典例1

『数学文化』①观察图1，思考图中三个正方形的面积有什么关系？②观察图2，Rt△DEF的三边之间有什么关系？∵S正方形A＋S正方形B＝S正方形C，即(

DE

)2＋(

DF

)2＝(

EF

)2，∴一直角边2＋另一直角边2＝(

斜边

)2.DEDFEF斜边变式1

(教材P23探究∙改编)如图，观察图案你能发现什么数量关系？A的面积B的面积C的面积左图4913右图16925结论A的面积

＋

B的面积＝C的面积(

一直

)2＋(

直角边

)2＝(

斜边

)2491316925一直角边另一直角边斜边知识点

勾股定理的证明：面积法典例2

【赵爽弦图证法】如图是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”.证明：a2＋b2＝c2.证明过程如下：步骤一：中间小正方形的面积为(b－a)2，一个直角三角形的面积为

此时大正方形的面积可表示为(b－a)2＋4×

⁠；步骤二：大正方形的面积还可表示为

⁠；步骤三：由步骤一、二得等式：

，化简，得

⁠.

c2

a2＋b2＝c2

变式2【伽菲尔德总统证法】请你借助如图所示的直

角梯形验证勾股定理，即求证：a2＋b2＝c2.

S梯形ABDE＝S△ABC＋S△ACE＋S△CDE

即a2＋b2＝c2.

知识点

勾股定理的代入计算：方程思想典例3(教材P25练习T1∙改编)如图，在Rt△ABC中，

∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)若a＝4，b＝3，则c＝

⁠；(2)若b＝5，c＝13，则a＝

⁠；(3)若a＝7，c＝8，则b＝

⁠.512

1.

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则

AB的长为(

C

)C2.

在括号内写出下列直角三角形中未知边AB的长.3.

如图，图中四边形都是正方形，则字母B所代表的正

方形的面积是

⁠.1444.

(教材P26练习T3)如图，在平面直角坐标系中有两点

A(5，0)和B(0，4).求这两点间的距离.解：∵A(5，0)，B(0，4)，∴OA＝5，OB＝4.在Rt△AOB中，根据勾股定理，AB2＝OA2＋OB2＝52＋42＝41.

5.

由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦

图”，若直角三角形斜边长为2，短的直角边长为1，则

图中阴影部分的面积为

⁠.

6.

(教材P31习题T13)【核心素养∙应用意识】如图，分别以等腰直角三角形ABC的边AB，AC，BC为直径画半圆.求证：所得两个月牙形图案AGCE和BHCF的面积之和(图中阴影部分)等于Rt△ABC的面积.证明：由题意，得S阴影＝S半圆AEC＋S半圆CFB＋S△ABC－S半圆ABC

∵△ABC是直角三角形，∴AC2＋BC2＝AB2，即AC2＋BC2－AB2＝0.6.

(教材P31习题T13)【核心素养∙应用意识】如图，分别以等腰直角三角形ABC的边AB，AC，BC为直径画半圆.求证：所得两个月牙形图案AGCE和BHCF的面积之和(图中阴影部分)等于Rt△ABC的面积.∴S阴影＝S△ABC，即所得两个月牙形图案AGCE和

BHCF的面积之和(图中阴影部分)等于Rt△ABC的面积.20.1勾股定理及其应用第2课时勾股定理的应用(1)第二十章勾股定理知识点

勾股定理与直角三角形的边长计算“知2推1”——知Rt△ABC中任意2边可求出第3边.

解：如图，连接AC，则AC与AB，BC构成直角三角形.

在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.

∴薄木板能从门框内通过.答图变式1

(教材P27练习T3∙改编)电视机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸(1英寸＝2.54cm)为单位.王芳测得自家电视机的屏幕宽约80cm，高约60cm，这台电视机的屏幕尺寸是多少英寸(结果取整数)？解：如图，电视机的屏幕宽AB约为80cm，高BC约为60cm.

连接AC，则构成一个直角三角形ABC.

在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝802＋602＝10000.∴AC＝100cm.∵1英寸＝2.54cm，

答图答：这台电视机的屏幕尺寸是39英寸.典例2如图，一架长25m的消防车云梯AB，斜靠在竖

直的墙上，这时AO的长为24m.如果云梯的顶端A沿墙

下滑了4m到C处，此时云梯的底端B向后滑到了D

处，求D处到墙的距离.解：由题意知AO＝24m，CO＝20m，AB＝25m.在Rt△COD中，CD＝AB＝25m，CO＝AO－AC＝24－4＝20(m)，由勾股定理，得OD2＝CD2－CO2＝252－202＝225.∴OD＝15m.答：D处到墙的距离为15m.变式2如图，一架长2.5m的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端O点0.7m.如果梯子的底端沿地面远离墙面又滑动了0.8m，求梯子的顶端沿墙下滑了多少米.解：由题意知BO＝0.7m，BC＝0.8m，AB＝2.5m.

∵BO＝0.7m，BC＝0.8m，∴CO＝1.5m.

∴AD＝AO－DO＝2.4－2＝0.4(m).答：梯子的顶端沿墙下滑了0.4m.

知识点

勾股定理与设元计算典例3

『真实情境』某中学计划翻修学校体育馆，有一条从楼顶垂下的绳子，绳子顶端A固定在体育馆顶部，绳子自然垂下至楼底还余2m，当绳子的正下端从点C拉开6m至点B时，发现绳子下端刚好接触地面.求体育馆的高度AC.

解：设体育馆楼高AC为xm，则绳子长AB为(x＋2)m.在Rt△ABC中，

AB2＝AC2＋BC2，∴(x＋2)2＝x2＋62.解得x＝8.答：体育馆的高度AC为8m.

1.

如图，一棵树被风刮断后，折断处离地面3m，树的

顶端离树根4m，则这棵树在折断之前的高度

是

m.8

2.

(教材P31习题T10∙改编)有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.求水池中水的深度.将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形(如图所示)，其中水面宽AB＝10尺，线段CD，CB表示芦苇，CD⊥AB于点E.

(1)图中DE＝

尺，EB＝

尺；(2)求水池中水的深度.15(2)解：设水的深度为x尺，则芦苇CD＝BC＝(x＋1)尺.在Rt△ECB中，52＋x2＝(x＋1)2.解得x＝12.答：水池中水的深度为12尺.

3.

【核心素养∙应用意识】体会空气动力，展示飞天梦想——纸飞机大PK比赛中，小明同学的纸飞机刚好飞越过学校操场的旗杆AB，同学们都好奇纸飞机究竟飞了多高，于是小明测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2m，将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离CD为1m，到旗杆的距离CE为9m.(1)若旗杆的高度AB＝xm，那么绳子的长度可以表示为

m(用含x的代数式表示)；(2)计算小明同学的纸飞机飞越的高度是多少？(x＋2)

(2)解：在Rt△ACE中，AE＝(x－1)m，CE＝9m，由勾股定理，得(x－1)2＋92＝(x＋2)2.解得x＝13.答：小明同学的纸飞机飞越的高度是13m.20.1勾股定理及其应用第3课时勾股定理的应用(2)第二十章勾股定理知识点

利用勾股定理作长度是无理数的线段

解：如图所示.答图变式1如图，阴影图形是网格中的正方形，以原点O

为圆心，OA的长为半径作弧，交数轴正半轴于点B，

则点B表示的数为

⁠.

知识点

勾股定理与辅助线(构造直角三角形)典例2

(教材P30习题T4)一个含两小圆孔的长方形零件

尺寸(单位：mm)如图所示，求两孔中心的距离(结果保

留小数点后一位).解：由题意，得AC＝40－21＝19(mm)，BC＝60－21＝39(mm).在Rt△ABC中，由勾股定理，得

答：两孔中心的距离约为43.4mm.变式2如图，已知在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10，求BC的长.解：如图，作AD⊥BC于点D.

答图在Rt△ACD中，∠C＝60°，∴∠CAD＝30°.

在Rt△ABD中，AB＝14，

∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.知识点

勾股定理与折叠问题(设元)典例3如图，有一张直角三角形纸片ABC，两条直角

边AC＝5，BC＝10，将△ABC折叠，使点B和点A重

合，折痕为DE，求CD的长.解：由折叠的性质，得AD＝BD.

设CD＝x，则BD＝AD＝10－x.在Rt△ACD中，由勾股定理，得(10－x)2＝x2＋52.解得x＝3.75.∴CD的长为3.75.

解：如图所示.(画法不唯一)

答图2.

如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝17，

BD＝15，DC＝6，求AC的值.解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，由勾股定理，

3.

如图，在长方形ABCD中，将长方形沿EF折叠，使

点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G.

若AB＝4，BC＝8，求AE的长.

解：由折叠的性质，得AE＝CE.

设AE＝CE＝x.∵AB＝4，BC＝8，∴BE＝BC－CE＝8－x.在Rt△ABE中，