上海市普陀区2025-2026学年高三第二学期命题指导研修数学样卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页上海市普陀区2025-2026学年高三第二学期命题指导研修数学样卷一、选择题：本大题共有4题，满分18分，第1、2题每题4分，第3、4题每题5分。1.已知直线l、m和平面α，若m⊂α，则“l与m不相交”是“l//α”的(

)A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件2.设x、y、z∈R，若10x=yA.y<x<z B.x<y<z C.x<z<y D.z<y<x3.某科技公司每位员工皆佩戴红色或蓝色中仅一种颜色的工牌，该公司为促进跨部门协作，采用智能轮岗系统进行员工交换部门，初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工，系统执行一次随机交换指令：从甲、乙2个部门中随机各选取1名员工进行交换，设交换后甲部门中红色工牌员工的人数为X，则X的期望为(

)A.74 B.53 C.1164.在直角坐标平面中，方程x+9−y2x−18−2y2=0表示的曲线称为“G圆”.①若点A−3,0、B3,0，则PA+②若OP⊥OQ，则1OP2+则下列结论中正确的是(

)A.①为真②为真 B.①为真②为假 C.①为假②为真 D.①为假②为假二、填空题：本题共12题，第5-10题每题4分,第11-16题，每题5分，共54分。5.根据中国汽车工业协会发布的数据，2025年7月至2026年1月，我国新能源汽车月度销量(单位：万辆)为：143.2,156.7,162.4,158.3,182.1,173.5,168.9，则这7个月新能源汽车销量的中位数为

万辆．6.已知复数z满足i−1z−3i=3+i，其中i为虚数单位，则z=

7.已知点P2,y在抛物线y2=4x上，则P点到抛物线焦点F的距离为

8.设a∈R，若关于x的不等式ax−1≤1的解集是−∞,1∪2,+∞，则a的值为9.设t∈R，若tx−1x6的展开式中的常数项是−540，则该展开式中所有项的系数和为

.(10.某大型管线网的局部呈网格结构，如图建立平面直角坐标系，一小型机器人沿管线移动执行巡检任务，在某次巡检的路径中经过了点：−3,−2、−2,m、−1,−2、0,−1、1,0、2,1、3,2，若该机器人经过的点的纵坐标y关于横坐标x的一元线性回归方程是y=1114x−57，则m的值为

11.设n≥1，n∈N，Sn是等差数列an的前n项和，且公差d≠0，若a1a3=S4，且a3，a12.在▵ABC中，∠ACB=π2，AC=1，过点A作直线l//BC，将▵ABC绕直线l旋转一周所得到的几何体记为Ω，若Ω的体积是43π，则Ω的表面积为13.已知向量a=1,2，b=−1,1，c=3,4，函数y=fx的表达式为fx=x+1,x<22x−1,x≥214.设a∈R，集合M=−1,−2,−a，N=x|x2−ax≤0，若集合A⊆M∩N，且满足条件的A恰有2个，则15.设定义域为R的函数y=fx的导函数为y=f′x，令gx=f′x+x+x2+116.设k≥2，n≥1，k,n∈N，Sn是等比数列an的前n项和，且a1>0，公比为3，令bn=Sn+1Sn，若恰存在2个三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D、E分别是棱(1)求证：直线A1B⊥平面(2)求点A到平面A1CB18.(本小题15分)设▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin(1)求角A的大小；(2)点O、D分别满足OA+OB⋅AB=0，OA+OC⋅19.(本小题15分)2016−2025年全国普通高中生均经费(单位：元)如下表所示：年份20162017201820192020生均经费1150012100128001350014300年份20212022202320242025生均经费15100158001650017300181002026年全国两会明确，“十五五”(2026−2030年)期间将深入实施县域普通高中振兴计划，持续增加普通高中生均经费的投入与学位供给．(1)设上表中10年生均经费的平均数为x，现从这10个数据中不放回地随机抽取两个不同的数据，已知抽取的两个数据中至少有一个低于x，求两个数据都低于x的概率；(2)在评估不同发展阶段的投入稳定性时，不仅看波动幅度，还需考虑增长基数，统计学中常用变异系数CV(CV=标准差平均数)来衡量相对自身水平的波动程度.将2016−2020作为阶段A，2021−2025作为阶段B，分别计算A、B两阶段生均经费的标准差和变异系数((3)教育经济学研究显示，生均经费每增长1%，可带动学位供给增长0.3%；而学位供给每增长1%，可带动毛入学率约增长0.5%.已知2025年全国高中阶段毛入学率为92.0%，“十五五”规划目标是在此基础上再提升2个百分点，根据预算报告，预计“十五五”期间生均经费年增长率可保持5%.请据此预测2030年全国高中阶段毛入学率，并判断5%的增速能否支撑规划目标的实现．20.(本小题18分)设a>0，b>0，m、t∈R，双曲线Γ:x2a2−y2b2=1的一条渐近线方程是y=2(1)若点P的坐标为3,8，求双曲线Γ的方程；(2)若直线l经过点O，且与Γ交于A、B两点，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求(3)设点F1是Γ的左焦点，点A1、A2是Γ的左、右两个顶点，直线A1P与直线x=1交于点M，直线l经过点P与Γ的右支交于另外一点Q，若a=3，且直线MQ恒过点21.(本小题18分)已知p、q为实数，设函数y=fx的最小值为fp，函数y=gx的最小值为gq，若fp=gq且p≠q(1)设函数y=fx的表达式为fx=sinx，函数y=gx的表达式为gx(2)设a、b为正实数，函数y=fx的表达式为fx=x2+2a−1x+a2−2a+7，函数y=g(3)设k、t、a为实数，函数y=fx的表达式为fx=−ekt+x−2kt(x≤0)，函数y=gx的表达式为gx=x−2lnx−ax−2，若存在t∈1,e2参考答案1.B

2.D

3.C

4.C

5.162.4

6.−1−i

7.3

8.1

9.64

10.−3

11.Sn12.(5+13.−2314.{a|−2<a≤−1或a=0}

15.−∞,116.1217.解：(1)如图1，连接AB由正三棱柱的结构特征可知，在正三棱柱ABC−A1B1C1中因为D是棱A1B1因为BB1⊂平面ABB1又平面A1B1C1∩平面又A1B⊂平面ABB因为A1A=A1B又DE//AB1，所以因为C1D,DE⊂平面C1DE，C1(2)方法一：设点A到平面A1CB的距离为因为CC1//平面ABB1A1由(1)知，侧面均为正方形，所以S▵A1又BC=2，所以▵A1BC又VC−A1所以13×2×3=13×方法二：取AB的中点F，连接DF，由(1)可知DA所以以D为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，则A1所以A1设平面A1CB的法向量为则n⋅A1B=0n⋅即n=1,1,−33，所以点A

18.解：(1)因为bsin设▵ABC外接圆半径为R，由正弦定理a=2RsinA，b=2Rsin代入可得sinB所以sinB即sinB因为在▵ABC中，A+C=π−B，所以sin(A+C)=即sinB因为B∈0,π，所以sinB≠0，所以化简得：sinA解得sinA=−3因为A∈(0,π)，所以A=5π(2)由OA+OB⋅所以OA2=OB2，即OA=所以O是▵ABC的外心，所以OC=因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以∠AOB=2∠ACB，∠AOC=2∠ABC，所以∠BOC=2π−2∠BAC，所以CO=−RCO⋅CO⋅得到CO⋅而BD=2DC，所以因为AB⋅AD=0，所以AB而AB⋅AC=由正弦定理ABsin∠ACB=又因为∠ACB+∠ABC=π6，所以化简得cos∠ABC=33所以cos2∠ABC=因为∠BAC=5π6，所以代入计算cos2∠ABC−cos2∠BAC

19.解：(1)由表格中的数据可得x=记事件E:抽取的两个数据中至少有一个低于x，事件F:抽取的两个数据都低于x，表格中的10个数据，其中小于x的数据有5个，大于x的数据有5个，则PE=1−PE由题意可知F⊆E，由条件概率公式可得PF所以，已知抽取的两个数据中至少有一个低于x，则这两个数据都低于x的概率为27(2)对于A阶段，生均经费的平均数为x=标准差为s≈991.161，变异系数为CV对于B阶段，生均经费的平均数为x=标准差为s≈1061.320，变异系数为CV所以CVA>C(3)2025年毛入学率年增长率为5×0.3×0.5%=0.0075，故2030年的毛入学率为0.92×1.007故5%的增速能支撑．

20.解：(1)由题意可知ba=22，则将点P的坐标代入双曲线的方程可得32a2−8所以双曲线Γ的方程为x2(2)由(1)可知，双曲线的方程为x2a2设点Px3,y3、Ax4因为8x32−y所以k1(3)因为a=3，所以双曲线的方程为x29−易知点A1−3,0、A2设点Px1,y1、Q联立x=my+t8x2则8m2由韦达定理可得y1+y2=−直线A1P的方程为y=y1x直线MQ的方程为y=y将点A2的坐标代入直线MQ的方程得6m即6my由①得my1y2=−故t+27t−12=0所以y1y2所以PQ=因为t=9，故直线l:x=my+9恒过右焦点F2由双曲线的定义可得PF1−故△PF1即△PF1Q

21.解：(1)fx=singx=cosf(x)min=g(x所以函数y=fx和函数y=gx的最小值相等，且最小值点均不相同，因此它们为(2)fx=x因为b>0,x>0，所以gx=bx+9bx≥2函数y=fx和函数y=gx不是所以−a+1=3b，即又a>0,b>0，所以1a+b=(1