苏科版初中数学八年级下册：分式的通分教案

苏科版初中数学八年级下册：分式的通分教案

一、设计总览

（一）内容概述与价值定位

本节课是苏科版初中数学八年级下册第十章“分式”中，继分式概念、基本性质及约分之后的核心内容——“通分”。通分不仅是分式基本性质的高级应用，更是分式四则运算（尤其是加、减法运算）不可或缺的预备技能，构成了连接分式性质与分式运算的关键桥梁。

从数学知识的内在逻辑看，分式的通分完整地类比并拓展了分数通分的数学思想与方法。其本质是利用分式的基本性质，在不改变分式值的条件下，将几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式。这一过程深刻体现了“转化与化归”与“统一标准”的数学思想。学生需要掌握的不仅是找最简公分母（LeastCommonDenominator,LCD）的技术性步骤，更要理解通分的原理：即为何要通分（统一“分数单位”以实现加减运算），以及如何最优化地通分（寻找最简公分母以简化后续运算）。

从学科核心素养培养视角审视，本节课是发展学生数学抽象（从分数到分式的抽象延伸）、逻辑推理（探究通分法则的合理性）、数学运算（准确、简洁地进行代数式变形）和数学建模（将实际数量关系表示为分式并处理）的绝佳载体。在跨学科视野下，分式通分的思想广泛渗透于物理、化学的公式推导、经济学中的比率分析以及计算机科学的算法效率比较等领域，是学生理解复杂世界中比例与变化关系的基础工具。

因此，本教学设计旨在超越单纯技能训练，引导学生经历“为何通分—如何通分—如何优化通分—通分有何用”的完整认知链条，建构对分式通分深刻而灵活的理解，为其后续学习分式方程、反比例函数乃至高中阶段的代数运算打下坚实而通透的基础。

（二）学习者分析（八年级下）

1.认知基础：学生已熟练掌握分数的通分、因式分解（特别是提公因式法、公式法）、整式的乘法运算，以及分式的基本性质（$\frac{A}{B}=\frac{A\timesM}{B\timesM}=\frac{A\divM}{B\divM}$，其中$M$是不等于零的整式）。他们具备从具体数字运算向字母符号运算迁移的初步经验。

2.思维特点：八年级学生处于形式运算阶段初期，抽象逻辑思维能力正在快速发展，但仍有赖于具体实例的支撑。他们能够理解并应用规则，但对于规则背后的数学原理和优化策略的探究兴趣与深度有待引导和激发。

3.潜在难点：

1.4.认知障碍：从“数”的分母到“式”的分母的跨越，特别是当分母为多项式时，寻找最简公分母的抽象程度显著提高。学生容易混淆“因式”与“项”，在确定最简公分母时出现遗漏或因式未取最高次幂的错误。

2.5.技能障碍：因式分解不熟练会导致通分基础不牢；在利用分式基本性质将分式变形为同分母时，分子、分母同乘的整式可能较为复杂，易出现符号错误或乘法运算错误。

3.6.思维定势：部分学生可能满足于找到“公分母”而非“最简公分母”，缺乏优化意识。

（三）学习目标

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“代数式”部分的要求，结合学科核心素养，制定如下三维目标：

1.知识与技能：

1.2.准确理解分式通分的意义和依据。

2.3.掌握确定几个分式最简公分母的方法与步骤。

3.4.能够熟练、准确地对几个异分母分式进行通分。

5.过程与方法：

1.6.经历从分数通分到分式通分的类比、猜想、验证过程，体会类比思想。

2.7.通过探究具体实例，归纳总结确定最简公分母的法则，发展归纳概括能力。

3.8.在解决通分问题的过程中，体会转化与化归、优化思想。

9.情感、态度与价值观：

1.10.通过克服从分数到分式的认知挑战，获得成功的体验，增强学习代数的信心。

2.11.在小组合作探究中，养成积极思考、严谨表达、乐于交流的学习习惯。

3.12.认识通分作为一种数学工具在简化问题、统一标准中的价值。

（四）教学重点与难点

1.教学重点：分式通分的概念；最简公分母的确定方法。

2.教学难点：分母为多项式时，最简公分母的确定；通分过程中分子、分母同乘整式的准确运算。

3.突破策略：采用“温故知新—逐层探究—辨析明理—变式巩固”的路径。通过分数通分的复习激活旧知；通过对比、分解、归纳突破最简公分母的确定方法；通过错例辨析、步骤细化规范运算过程；通过阶梯式练习实现从理解到熟练应用的过渡。

二、教学准备

1.教师准备：

1.2.精心设计的多媒体课件，包含动画演示通分过程、对比图表、阶梯例题与即时反馈题。

2.3.预设的探究活动任务单、小组合作学习记录表。

3.4.实物投影仪或同屏软件，用于展示学生解题过程。

4.5.设计涵盖不同难度层次的课堂练习与课后作业。

6.学生准备：

1.7.复习分数通分的方法、因式分解的常用方法、分式的基本性质。

2.8.预习课本相关内容，尝试思考“分式如何通分”。

3.9.准备好数学笔记本、练习本、笔。

三、教学实施流程

（一）课前预学：温故链新，孕伏问题

任务单（课前发布）：

1.记忆唤醒：请用两种方法计算$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$，并说明每一步的依据。

2.知识回顾：

1.3.分数通分的定义是什么？关键步骤是什么？

2.4.分式的基本性质如何用字母表示？它与分数的基本性质有何联系？

5.前瞻思考：

1.6.你认为分式$\frac{1}{x}$和$\frac{1}{x+1}$能像分数一样进行加法运算吗？如果不能，困难在哪里？如果能，尝试写出你的想法。

2.7.观察以下分式：$\frac{3}{2a^2b}$,$\frac{1}{6ab^2}$。它们的分母有什么特点？你能否找到两个分母都能“容纳”的代数式？

设计意图：通过具体分数运算，自然引出“通分”的必要性。回顾分式基本性质，为通分提供理论依据。前瞻性问题旨在制造认知冲突，激发课堂探究欲望，使学习始于学生的“真问题”。

（二）课中探究：建构生成，深度学习

第一阶段：情境导入，揭示课题（预计用时：8分钟）

1.问题驱动，再现冲突：

1.2.教师展示课前预学中的问题：“如何计算$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}$？”

2.3.请学生发表看法。学生普遍能意识到“分母不同，不能直接加”，但如何解决？引导学生类比分数加法，提出“先变成分母相同的分式”。

3.4.教师追问：“如何将它们变成同分母？变化的依据是什么？”引导学生明确依据是分式的基本性质。

5.定义明晰，板书课题：

1.6.在学生讨论基础上，教师给出精确定义：

分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

2.7.强调关键词：“异分母”→“同分母”、“相等”、“依据是分式的基本性质”。

3.8.板书课题：10.2分式的基本性质（3）——通分。

9.概念辨析，明确核心：

1.10.提问：通分后的“同分母”是唯一的吗？以$\frac{1}{2}$和$\frac{1}{3}$为例，学生能说出可以化成分母为6、12、18……的分数。

2.11.类比引出：分式通分时，这个“同分母”也不唯一。但我们通常取一个“最简单”的公分母，即最简公分母。

3.12.给出定义：

最简公分母（LCD）：通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

4.13.明确本节课核心任务：学会如何确定最简公分母，并据此正确通分。

设计意图：从学生已有的认知困惑出发，通过类比和追问，自然生成通分的概念，使学生理解通分的必要性与原理。通过辨析，引出“最简公分母”这一核心概念，为目标聚焦奠定基础。

第二阶段：合作探究，提炼法则（预计用时：18分钟）

探究活动一：从“数”到“式”，探寻规律

1.任务1（个体思考）：

1.2.请确定下列各组分数的最简公分母：

(1)$\frac{1}{6}$,$\frac{1}{4}$

(2)$\frac{1}{12}$,$\frac{1}{18}$

2.3.你是如何确定的？请总结你的方法。

3.4.学生回答：通常先找分母系数的最小公倍数，再看相同因式的最高次幂。

5.任务2（小组合作，核心探究）：

请类比确定分数最简公分母的方法，讨论如何确定下列各组分式的最简公分母。完成表格，并尝试总结规律。

组别

分式

分母分解因式后的形式

最简公分母(LCD)

确定LCD的思考步骤

A

$\frac{3}{2a^2b}$,$\frac{1}{6ab^2}$

$2a^2b$,$6ab^2=2\cdot3\cdota\cdotb^2$

B

$\frac{1}{x^2-4}$,$\frac{x}{x+2}$

$x^2-4=(x+2)(x-2)$,$x+2$

C

$\frac{5}{x^2-y^2}$,$\frac{3}{x^2+2xy+y^2}$

$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$,$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$

1.6.教师巡视指导，重点关注：学生是否先对分母进行因式分解；是否区分“系数”和“字母因式”；对于多项式分母，是否将其视为一个整体因式来处理。

2.7.小组代表使用实物投影展示讨论结果，并讲解确定LCD的思考过程。

8.师生共研，形成法则：

在学生展示基础上，教师引导学生逐步抽象、提炼出确定最简公分母的一般步骤，并用流程图清晰呈现：

图表

代码

全屏

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开始:给定几个异分母分式

步骤一:系数取最小公倍数

步骤二:分母为多项式时，先因式分解

步骤三:取各分母中所有出现过的因式

步骤四:对于每个因式，取它在各分母中的最高次幂

步骤五:将所得的系数与因式相乘，即为最简公分母LCD

结束

口诀辅助记忆：“系数取最小，因式要分解，所有因式都取到，次数就高不就低。”

9.即时巩固（小试牛刀）：

快速说出下列各组分式的最简公分母：

1.10.$\frac{1}{3x}$,$\frac{2}{5xy}$（LCD:$15xy$）

2.11.$\frac{a}{bc}$,$\frac{b}{ac}$,$\frac{c}{ab}$（LCD:$abc$）

3.12.$\frac{2}{x-1}$,$\frac{3}{(x-1)^2}$（LCD:$(x-1)^2$）

4.13.$\frac{1}{x^2-9}$,$\frac{x}{x+3}$（LCD:$(x+3)(x-3)$）

设计意图：这是本节课的“心脏”环节。通过精心设计的对比表格，引导学生将分数通分的经验有效迁移到分式通分。小组合作促进思维碰撞，教师引导下的归纳将零散经验上升为结构化、可操作的普适法则。流程图和口诀有助于学生清晰记忆和有序操作。

第三阶段：范例精讲，规范步骤（预计用时：12分钟）

在掌握了确定最简公分母的方法后，接下来学习如何利用它完成通分。

1.典例示范，步骤拆解：

1.2.例1：通分$\frac{2c}{3ab^2}$与$\frac{3a}{4b^2c}$。

1.2.3.分析：分母均为单项式。

2.3.4.板书规范解答：

解：(1)确定最简公分母。

$3ab^2$与$4b^2c$的最简公分母是$12ab^2c$。

(2)利用分式基本性质，将各分式化为以$12ab^2c$为分母的分式。

$\frac{2c}{3ab^2}=\frac{2c\cdot4c}{3ab^2\cdot4c}=\frac{8c^2}{12ab^2c}$，

$\frac{3a}{4b^2c}=\frac{3a\cdot3a}{4b^2c\cdot3a}=\frac{9a^2}{12ab^2c}$。

3.4.5.强调：①第一步先写“确定最简公分母”；②第二步中，明确指出分子、分母同乘的整式是什么，并确保运算准确。

5.6.例2：通分$\frac{1}{x^2-4}$与$\frac{x}{x+2}$。

1.6.7.分析：分母含多项式，必须先分解因式。

2.7.8.师生互动完成：

解：(1)分母分解因式，并确定最简公分母。

$x^2-4=(x+2)(x-2)$,$x+2=(x+2)$。

最简公分母为$(x+2)(x-2)$。

(2)通分。

$\frac{1}{x^2-4}=\frac{1}{(x+2)(x-2)}$，它已以LCD为分母。

$\frac{x}{x+2}=\frac{x\cdot(x-2)}{(x+2)\cdot(x-2)}=\frac{x^2-2x}{(x+2)(x-2)}$。

3.8.9.关键点拨：①强调“分母分解因式”是第一步中的关键子步骤；②对于$\frac{1}{x^2-4}$，需说明其分母已是最简公分母的一部分，因此只需“保持”，分子无需变化，避免学生机械地乘以$(x-2)$导致错误。

10.步骤梳理，形成规范：

师生共同总结通分的规范步骤：

Step1:定LCD——分解分母，确定最简公分母。

Step2:依性变——利用分式基本性质，用“LCD÷原分母”的商去乘原分式的分子和分母。

Step3:化形式——将分子、分母进行相应的乘法运算，化为同分母分式。

设计意图：通过典型例题的规范板演，将通分的思维过程外化为可模仿的操作步骤。特别强调分母为多项式时的处理细节，这是学生的易错点。步骤梳理帮助学生形成清晰、稳定的解题程序。

第四阶段：多维练习，巩固提升（预计用时：12分钟）

练习设计遵循“基础巩固→能力提升→思维拓展”的梯度。

1.基础演练（独立完成，互评纠错）：

通分：

(1)$\frac{1}{2x}$,$\frac{2}{3y}$

(2)$\frac{3a}{4b}$,$\frac{5b}{6a^2}$

(3)$\frac{2}{x-3}$,$\frac{1}{x+3}$

1.2.活动形式：学生独立完成，教师巡视。选取有代表性的解答（包括典型错误）进行投影展示，学生互评，教师点评，聚焦运算规范性和准确性。

3.能力提升（小组讨论，辨析明理）：

(1)小明通分$\frac{x}{x-y}$和$\frac{y}{y-x}$时，得到最简公分母为$(x-y)(y-x)$。你认为对吗？为什么？正确的LCD是什么？

1.4.设计意图：引入互为相反数的分母，考查学生对因式本质的理解。引导学生发现$y-x=-(x-y)$，从而明确应取$(x-y)$或$(y-x)$作为公分母的因式，且通常化为相同形式（如$(x-y)$），渗透符号处理技巧。

(2)已知$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5$，求$\frac{2x-3xy+2y}{x+2xy+y}$的值。（提示：先对所求分式的分子、分母同时除以$xy$变形，再利用已知条件）

1.5.设计意图：本题看似与通分无关，实则需对已知条件通分得到$\frac{x+y}{xy}=5$，考查通分的反向应用以及整体思想，链接分式求值，提升思维灵活性。

6.思维拓展（链接实际，选做挑战）：

一项工程，甲队单独完成需要$a$天，乙队单独完成需要$b$天。

(1)甲、乙两队合作一天，能完成工程的几分之几？

(2)若$a=10,b=15$，合作一天完成的工作量是多少？

1.7.设计意图：创设工程问题情境，引导学生用分式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$表示工作效率和，自然地需要通分计算，体现通分的应用价值，初步渗透数学建模思想。

设计意图：分层练习满足不同层次学生的需求。基础题夯实技能；辨析题深化概念理解，突破易错点；拓展题链接综合与实践，发展高阶思维，体现数学应用价值。

第五阶段：课堂小结，反思升华（预计用时：5分钟）

引导学生从多维度进行总结，而非简单复述知识点。

1.知识网络图建构（教师引导，学生口述填充）：

分式的通分

|

（依据：分式的基本性质）

|

核心：确定最简公分母(LCD)

|

|---------------|----------------|---------------|

||||

系数取最小分母多项式先因式分解取所有不同因式各因式取最高次幂

公倍数(LCM)

2.思想方法提炼：

1.3.本节课我们运用了哪些数学思想？（类比—从分数到分式；转化—异分母化为同分母；优化—取最简公分母）

2.4.通分作为一种“统一标准”的操作，在数学和其他领域有何意义？

5.自我反思：

1.6.请用一句话概括你对“通分”的新认识。

2.7.在今天的练习中，你最容易在哪个步骤出错？你计划如何改进？

设计意图：结构化的总结帮助学生将新知纳入已有的知识体系。思想方法的提炼提升学生的数学素养层次。自我反思环节促进学生无认知发展，培养其学习管理能力。

（三）课后延伸：分层作业，拓展视野

（必做题）基础巩固

1.课本对应练习题。

2.通分：

(1)$\frac{2}{3a^2}$,$\frac{5}{6a