浙江四校（含精诚联盟）2025-2026学年高二下学期3月阶段检测试题数学

浙江省缙云中学等校高二下学期3月阶段练习数学试题一、单选题1．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，3．已知随机变量X服从正态分布，且，则（

）A． B． C． D．4．已知双曲线：，其一条渐近线被圆截得的弦长为（

）A．1 B．2 C． D．5．6名同学排成一排，其中甲､乙两人必须在一起的不同排法共有（

）A．720 B．360 C．240 D．1206．已知圆：，直线：，设为圆上的一动点，则点到直线的最大距离为（

）A．4 B．5 C．7 D．137．已知函数在处取得极大值，则的值是（

）A．3 B．2 C．1 D．08．已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（

）A．若，则数列严格增B．若，则数列严格增C．若数列严格增，则D．若数列严格增，则二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．若，则的值为3或2B．若数据，，，…，的标准差为，则，，，…，的标准差为C．二项式的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等D．若5名教师分到4所学校任教，每所学校至少分配1名教师，则分配方法有480种10．已知函数，则下列结论中正确的是（

）A．有两个极值点B．当时，在上是增函数C．当时，在上的最大值是1D．当时，点是曲线的对称中心11．已知抛物线：的焦点为，的准线与轴交于点，过的一条直线与交于，两点，过，作的垂线，垂足分别为，，则（

）A．准线的方程为 B．C．直线与的斜率之和为0 D．与的面积相等三、填空题12．二项式展开式中常数项为______．13．若，，，则______.14．已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______.四、解答题15．已知等差数列和等比数列满足，.(1)求数列，通项公式(2)设数列中满足，求和16．如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点．

(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．17．年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过元（含元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸到个红球，享受免单优惠；若摸出个红球则打折，若摸出个红球，则打折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，有放回每次摸取球，连摸次，每摸到次红球，立减元.（1）若两个顾客均分别消费了元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？18．已知函数．(1)求在处的切线方程；(2)若对任意的恒成立，求实数m的取值范围；(3)若是函数的极值点，求证：．19．已知椭圆的离心率为分别是椭圆的右顶点，上顶点，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，点不在轴上，设直线的斜率分别为.（i）求证：为定值；（ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值.参考答案1．C【详解】设直线的倾斜角为，由题可知，直线斜率为，则，又，所以直线的倾斜角是．2．B【详解】对于A，因，即共面，故A不合题意；对于B,因，，其中任何一个向量都不能用另外两个向量表示，故，，不共面，即B符合题意；对于C，因，即，，共面，故C不合题意；对于D，因，即，，共面，故D不合题意.故选：B.3．D【详解】根据题意可得，，则.故选:D4．D【详解】双曲线：的渐近线方程为，圆，圆心，半径，因为双曲线与圆都关于轴对称，故取其中一条渐近线，圆心到的距离，故所求的弦长为.5．C【详解】先将甲､乙两人排成一排共种排法，将甲､乙两人看成一个元素，然后与其余4人一起排成一排，共有种，所以甲､乙两人在一起的不同排法共有种排法.故选：C6．C【详解】由题意得圆心，半径为3，因为直线：，所以直线过定点，数形结合可知，圆心到直线的最大距离，所以点到直线的最大距离为．7．A【详解】函数，有，在处取得极大值，则有，解得或，当时，，，解得或；，解得，则在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极小值，不合题意；当时，，，解得或；，解得，则在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，满足题意，所以.8．D【详解】设等比数列,,对于A，由，得，则，即，所以当时，满足，但不是单调递增，故A错误；对于B，由，得，则，所以当时，满足，满足，但不是单调递增，故B错误；对于C，当时，由，，此时满足数列单调递增,但，故C错误；对于D，由数列是单调递增，则，所以,故，即，所以，且，又因为所以即，故D正确.故选:D9．AB【详解】对于A，由组合数的性质可得，解得，又，所以或，解得或，正确；对于B，设数据的平均数为，则数据的平均数为，由数据的标准差，则数据的标准差为，正确；对于C，由二项式的展开式为，则第二项的二项式系数为，第四项的二项式系数为，错误；对于D，由题意可知，5位教师的分组情况为2,1,1,1的分组，再分配到4所学校，所以分配方案有，错误.10．BCD【详解】因为，所以，当时，，当且仅当时，函数在上单调递增，函数没有极大值点也没有极小值点，A错误；当时，，当时，，函数在上单调递增，B正确；当时，，令可得，或，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，又，所以函数在上的最大值为1，C正确；当时，，，设，则，，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，所以函数关于点对称，D正确.故选：BCD.11．ACD解：选项A，由抛物线的定义知，，选项A正确；选项B，因为轴，所以，若，则，即，显然该等式不一定成立，故选项B错误；选项C，设，，且，由题意知，直线的斜率一定存在，且不为0，设其方程为，联立，消去得，，因为直线与抛物线有两个交点，所以，即：，得：或，当时，，所以，且，由韦达定理知：，，所以，故选项C正确；选项D，的面积，的面积，所以与的面积相等，故选项D正确.12．45【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，令，得，可得，即展开式的常数项是.故答案为：.13．【详解】因为，则又因为，则所以14．【详解】双曲线：（，）的两条渐近线的方程为和，点到两条渐近线的距离之积为，而恒成立，又因为的最小值为，故只需，又点满足双曲线的方程，，，即，则的离心率，.15．(1)，(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，解得，，，解得，，即，；（2）由（1）得，.16．(1)证明见解析(2)【详解】（1）过作于点，则，，由于平面，平面，所以，以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，因为为的中点，所以，所以，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的法向量为，因为，所以，又因为平面，所以平面（2）由（1）知，，平面的法向量为，设平面的法向量为，则，故可设，所以，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

17．（1）；（2）选择第一种抽奖方案更合算.【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件，则，所以两位顾客均享受到免单的概率为；（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、.，，，.故的分布列为，所以（元）.若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，由已知可得，故，所以（元）.因为，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.18．(1)；(2)；(3)证明见解析.【详解】（1）函数，求导得，则，而，所以函数的图象在处的切线方程为.（2）不等式，令，依题意，对任意的恒成立，而，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，则，所以实数m的取值范围是.（3）依题意，，求导得，令，求导得在上恒成立，则函数在上单调递增，由是函数的极值点，得，即，由，则，所以.19．(1)(2)（i）证明见解析；（ii）.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，即；因为，又，解得，所以椭圆C的标准方程为.（2）（i）设直线的方程为，其中，且，联立