集合与元素的概念

高中：人生新阶段高考：人生新目标

1、学习——旅程这段旅程可以从任何时候开始！未来的成功在现在脚下！2、老师——导游一起分享学习中的快乐、一起体会成长与进步的滋味！3、目的——运用应用数学来解决问题，形成数学的自信每个人都可以根据自己的能力和实际需要学好自己的数学！4、准备——必需品轻松愉快的心情、热情饱满的精神、全力以赴的态度、踏实努力的行动、科学认真的方法、及时真诚的交流学习目标合作的意识

积极主动的表现力勇于探索的精神和求知欲学习数学的乐趣和信心、相关生活经验1.1集合的概念开始学习啦！问题某商店进了一批货，包括：面包、饼干、汉堡、彩笔、水笔、橡皮、果冻、薯片、裁纸刀、尺子．那么如何将这些商品放在指定的篮筐里：食品篮筐

.文具篮筐

.

创设情景兴趣导入解决：显然，面包、饼干、汉堡、果冻、薯片放在食品篮筐，彩笔、水笔、橡皮、裁纸刀、尺子放在文具篮筐．归纳：面包、饼干、汉堡、果冻、薯片组成了食品集合，彩笔、水笔、橡皮、裁纸刀、尺子组成了文具集合．而面包、饼干、汉堡、果冻、薯片、彩笔、水笔、橡皮、裁纸刀、尺子就是其对应集合的元素．1.1到5正整数;2.中国古典四大名著;：3.高一10班的全体学生;4.我校篮球队的全体队员;引例：我们把研究对象统称为元素.把一些元素组成的全体叫做集合，简称“集”.集合的概念:将某些确定的对象看成一个整体就构成一个集合（简称集）．组成集合的对象叫做这个集合的元素．.观察你的文具盒，什么是集合？什么是元素？一般采用大写英文字母A，B，C…表示集合，小写英文字母a，b，c…表示集合的元素.

集合与元素动脑思考探索新知.元素a是集合A

的元素，记作a∈A，读作a属于A.

元素与集合元素a不是集合A

的元素，记作a

A，读作a不属于A.元素与集合的关系数集

集合自然数集整数集正整数集有理数集实数集

字母N

Z

N*

Q

R

集合的类型关注E

空集

A解集B有限集、无限集D数集

C

平面点集

集合

元素a是集合A的元素，

a∈A，属于Ï元素a不是集合A的元素，

a

A，不属于0

N；

0.6

Z；

R；

Q；0

.”或“用符号“”填空：

巩固知识典型例题

元素a是集合A的元素，

a∈A，属于Ï元素a不是集合A的元素，

a

A，不属于0

N；

0.6

Z；

R；

Q；0

.”或“用符号“”填空：

.

运用知识强化练习

判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准！！！.一个给定的集合中的元素都是互不相同的一个给定的集合中的元素必须是确定的一个给定的集合中的元素排列无顺序

确定性无序性互异性例2

判断下列对象是否可以组成集合：(1)小于10的自然数；(2)某班个子高的同学；(3)方程x2-1=0的解；(4)不等式x-2>0的解.不能确定的对象，不能组成集合元素的性质练习1.下列指定的对象，能构成一个集合的是①很小的数②不超过30的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④

的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2的整数⑧正三角形全体()A.②③④⑥⑦⑧B.②③⑥⑦⑧C.②③⑥⑦D.②③⑤⑥⑦⑧判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．元素和集合的关系解析：(1)根据各数集的意义可知，①②正确，③④错误．(2)直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y具有y＝2x＋3的关系，即只要具备此关系的点就是集合P的元素．由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，故(2,7)∈P.答案：(1)B

(2)∈【互动探究】

题(2)中，集合P不变，则2与集合P的关系是什么？点(3,4)与集合P又有什么关系？【互动探究】

题(2)中，集合P不变，则2与集合P的关系是什么？点(3,4)与集合P又有什么关系？解：由于2是实数，而集合P是点集，故2∉P；由于当x＝3时，y＝2×3＋3＝9≠4，故(3,4)∉P.判断元素和集合关系的两种方法直接法如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成推理法对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应首先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件

已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．集合中元素的特性及应用解：∵－3∈A，∴a－3＝－3或2a－1＝－3.若a－3＝－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若2a－1＝－3，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.【互动探究】

本例中，若将“－3∈A”改为“a∈A”，则结果如何？【互动探究】

本例中，若将“－3∈A”改为“a∈A”，则结果如何？解：因为a∈A，所以a－3＝a或2a－1＝a.当a－3＝a时，有－3＝0，不成立．当2a－1＝a时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a＝1.1．据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．2．注意点：在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用．1．集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素．2．集合中的元素是确定的，某一元素a要么有a∈A，要么有a∉A，两者必居其一．这也是判断一组对象能否构成集合的依据．符号“∈”和“∉”只是表示元素与集合之间的关系．3．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的，因此，当集合中元素含字母并要求对其求值时，求出的值一定要加以检验，看是否符合集合中元素的互异性．4．集合与其中元素的排列顺序无关，由此性质可以判断两个集合之间的关系.问题

不大于5的自然数所组成的集合中有哪些元素?

小于5的实数所组成的集合中有哪些元素?元素是可以一一列举的

只有0、1、2、3、4、5这6个元素

元素无法一一列举但特征明显元素有无穷多个，特征：集合的元素都是实数；(2)集合的元素都小于5.创设情景兴趣导入.列举法．把集合的元素一一列举出来，写在大括号内，元素之间用逗号隔开

.1描述法．在花括号中画一条竖线．竖线的左侧写上集合的代表元素x，并标出元素的取值范围，竖线的右边侧写出元素所具有的特征性质．

2动脑思考探索新知.例2

用列举法表示下列集合：⑴大于-4且小于12的全体偶数;⑵方程的解集．

巩固知识典型例题.例2

用列举法表示下列集合：⑴大于-4且小于12的全体偶数;⑵方程的解集．用列举法表示集合时，不必考虑元素的排列顺序,但是列举的元素不能出现重复．{-2,0,2,4,6,8,10}；{-1,6}.

巩固知识典型例题..例3用描述法表示下列各集合：（1）小于5的整数组成的集合；.例3用描述法表示下列各集合：（2）不等式2x+1≤0的解集；.例3用描述法表示下列各集合：（3）所有奇数组成的集合；.例3用描述法表示下列各集合：（4）在直角坐标系中，由x轴上所有的点组成的集合；.例3用描述法表示下列各集合：（4）在直角坐标系中，由x轴上所有的点组成的集合；.例3用描述法表示下列各集合：（5）在直角坐标系中，由第一象限所有的点组成的集合；.

运用知识强化练习.

集合的表示有哪几种方法？各自有什么特点？1如何选择集合的表示法？2

理论升华整体建构.列举法、描述法.用列举法表示集合，元素清晰明了；用描述法表示集合，特征性质直观明确；表示集合时，要针对实际情况，选用合适的方法．例如，不等式（组）的解集，一般采用描述法来表示，方程（组）的解集，一般采用列举法来表示

巩固知识典型例题.

例4

用适当的方法表示下列集合：

（1）方程x+5=0的解集；（2）不等式3x-7>5的解集；（3）大于3且小于11的偶数组成的集合；（4）不大于5的所有实数组成的集合；

巩固知识典型例题.

例4

用适当的方法表示下列集合：

（1）方程x+5=0的解集；（2）不等式3x-7>5的解集；（3）大于3且小于11的偶数组成的集合；（4）不大于5的所有实数组成的集合；

解{x|x>4}解{-5}解{4,6,8,10}解{x|x≤5}

巩固知识典型例题.

练习集合的表示方法:描述法、列举法集合常用大写字母表示元素常用小写字母表示

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.

如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a

A.集合与元素的关系:例如：A表示方程x2＝1的解.

2

A，1∈A.⑴确定性:集合中的元素必须是确定的.

如:

x∈A与x

A必居其一.⑵互异性:集合的元素必须是互异不相同的.如:方程x2－x＋＝0的解集为{1}

而非{1，1}.⑶无序性:集合中的元素是无先后顺序的.

如:{1，2}，{2，1}为同一集合.5.集合元素的性质:⑴确定性:集合中的元素必须是确定的.

如:

x∈A与x

A必居其一.⑵互异性:集合的元素必须是互异不相同的.如:方程x2－x＋＝0的解集为{1}

而非{1，1}.⑶无序性:集合中的元素是无先后顺序的.

如:{1，2}，{2，1}为同一集合.那么{1，2}{(1，2)}{(2，1)}是否为同一集合?集合元素的性质:例题例题1下列各项中，不可以组成集合的是（）A．所有的正数B．等于2的数C．接近于0的数D．不等于0的偶数重点练习：元素互异性问题例1.若x∈R，则数集{1，x，x2}中元素x应满足什么条件.例题例2若x∈R，则数集{1，x，x2}中元素x应满足什么条件.解：∵x≠1且x2