2025-2026学年下学期安徽皖南八校高三数学2026年4月三模试卷（含答案）

2026届高三4月教学质量检测数学考生注意:1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。3.本卷命题范围:高考范围。一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x∈N −2<x<16A.5B.6C.7D.82.已知复数z满足1−iz=2+3i,z是A.52iB.52C.3.若函数fx=2sinωx+π3A.2B.3C.1D.04.已知向量a=3,2,b=−1,2，则“λ>−A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.已知公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,a4=10,S6A.−5,−103B.−6.如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系xOy.设时针长为1,若某时刻时针指向9点到12点之间,且针尖所在点的纵坐标为23,则在经过4小时后,A.23B.5+237.已知定义域为R的函数fx满足fx+sinπx为偶函数,fA.2−12log8.不全为0的实数对a,b满足关系式a+b+1=4aA.1B.2C.3D.4二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知两组样本数据x1,x2,x3,x4和xA.极差不相等B.中位数一定相等C.平均数一定相等D.标准差可能相等10.已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1上底面的边长为2A.该四棱台的体积为14B.侧棱AA1与底面夹角的正切值为C.若E为CC1的中点，则AC1D.该四棱台的外接球表面积为20π11.已知曲线Q:yA.曲线Q与x轴的交点的横坐标之和等于0B.曲线Q关于直线y=1C.若直线y=m与曲线Q恰有3个交点,则D.直线2y−1=0与曲线三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知双曲线E:x2a2−y2b213.若直线y=−3x+m与曲线y=214.装修师傅要用红、黄、绿三种颜色的地砖铺设一条长10格的走廊，地砖宽度与走廊宽度相同，每块红色地砖长1格，每块黄色地砖长2格，每块绿色地砖长3格，地砖只能整块铺设，且3种颜色都要使用，相同颜色的地砖不作区分.已知装修师傅共使用了6块地砖，恰好铺满这条走廊，若要求相邻2块地砖的颜色不同，则共有_____种不同的铺设方法.四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a(1)证明:sin(2)求cosC16.(15分)如图,四边形ABCD为直角梯形,且∠BAD=∠ADC=90∘,DA= DC=2,(1)若E为PB上靠近点P的三等分点,证明:PD//平面ACE(2)若PA=2，点F满足PF=13PC，求直线BD17.(15分)已知甲手里有3张卡片分别标有数字1,3,5,同样乙手里也有3张卡片分别标有数字2,4,6,若在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张(不放回),并比较所选卡片上数字的大小，数字大的一方获胜并得1分，数字小的一方得0分，两人共进行三轮比赛.(1)求第一轮甲获胜的概率；(2)在第一轮甲获胜的条件下,第二轮甲获胜的概率;(3)三轮比赛结束,求甲的总得分的期望.18.(17分)如图，在平面直角坐标系中，曲线C:y2=4x0≤x≤4,y≥0，点F1,0，直线l:x=4与x轴交于点A，同时与曲线C(1)求BF的值；(2)若直线PQ与y轴垂直，且FP⋅FQ=11，求点(3)若D为曲线C上一点，是否存在点P使得四边形FQDP是以FP，FQ为邻边的矩形，若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.19.(17分)已知函数fx=ex−ax−1(a为常数，e为自然对数的底数)，曲线y=(1)求a的值及函数y=f(2)证明:当x>0时，e(3)证明:当i,n∈N∗2026届高三4月教学质量检测・数学参考答案、解析及评分细则1.C由题意A={0,1,2,3,4,5},集合B={−12.D由复数z满足1−iz=2+3i，可得z3.B因为fx=2sinωx+π3ω>0的最小正周期为π,所以2π4.C因a+λb=3,2+λ−1,2=3−λ,2λ+2,则a⋅a+λb=33−λ+22λ+2=λ+135.A因为S6是Sn中的唯一最大项,所以a6>0且a7<0,即a4+2d>0且a4+3d<06.B由题意可知，针尖所在点初始位置在第二象限内，设为A点，且在单位圆上，如图所示:A点的纵坐标为23,设AB⊥x轴,垂足为B,单位圆交横轴正半轴于点D,设在经过4小时后,时针针尖所在点的坐标为C,则∠AOC=π6×4=2π3,在直角三角形ABO中,sin∠AOB=23，因为23<32，所以0<∠AOB<π3，又因为∠AOC=2π3，所以点C在第一象限内,设∠COD=θ，则点7.C因为fx+sinπx是偶函数,f−x+sin−πx=fx+sinπx,所以f−12−1=f12+1,即8.D由a+b+1=4a−3b+1=a2+b2可得a+b+1a2+b2=4a−3b+1a2+b2=1,即点A1,1与点B4,−3到直线9.BD不妨设x1≤x2≤x3≤x4,则y=x2+x32∈x2,x3,新数据x1,x2,x3,x4,y按升序排列可得x1,x2,x2+x32,x3,x4,对于选项A:两组数据的极差均为x4−x1,即极差相等,故A错误;对于选项B:两组数据的中位数均为x2+x32,即中位数相等,故10.ACD设棱台的上下底面中心分别为O,O1,对于A选项,因为正方形ABCD的边长为2,正方形A1B1C1D1的边长为22,所以AO=12BD=12× 22+22=1,A1O1=12B1D1=12×222+222=2,台体的高为10−2−12=3,由台体体积公式可知,该正四棱台的体积为V=13× 2+8+2×8×3=14,A对;对于B选项,侧棱AA1与底面夹角的正切值为31=3,B错;对于C选项,当点E为CC1的中点时,易知O为11.ACD对于A,令y=0,则x3−3x=0,解得:x=0或x=3,或x=−3,则曲线Q与x轴的交点的横坐标之和等于0,故A正确;对于B,设点x,y在曲线上,则y2−y=x3−3x,若曲线Q关于直线y=1对称,则对称点x,2−y应满足:2−y2−2−y=x3−3x展开左边:4−4y+y2−2+y=y2−3y+2与原方程y2−y不相等，故B错误；对于C,令fx=x3−3x，求导得f′x=3x2−3=3x−1x+1，令f′x>0,解得:x<−1或x>1,令f′x<0,解得−1<x<1,所以fx的单调增区间为−∞,−1,1,+∞,单调减区间为−1,1,当x=−1时,f−1=−13−3×−1=2;当x12.3由题意得ba=2,b13.5设直线y=−3x+m与曲线y=2x−lnx相切于点x0,y0x0>0,由y=2x−ln14.10设使用红色地砖x块,黄色地砖y块,绿色地砖z块,由题意得x+y+z=6第1,3,5块地砖的位置时,1块绿色地砖有C31=3种方式铺设,剩余2个位置铺设黄色地砖,所以共有3种不同的铺设方法;②3块红色地砖使用在第2,4,6块地砖的位置时,1块绿色地砖有C31=3种方式铺设,剩余2个位置铺设黄色地砖,所以共有3种不同的铺设方法;③3块红色地砖使用在第1,3,6块地砖的位置时,1块绿色地砖只能在第4,5块地砖的位置铺设,有C21=2种方法,剩余2个位置铺设黄色地砖,所以共有2种不同的铺设方法;④3块红色地砖使用在第1,4,6块地砖的位置时,1块绿色地砖只能在第2,3块地砖的位置铺设,有C15.解:(1)证明:因为cosB+所以由题得c+2bcosA=0由余弦定理可得cosA=−c2b=b即sin2A(2)由(1)知a2=b2+2c2所以cosC=当且仅当a=3b即B=所以cosC的最小值为32即cosC的取值范围为3216.解:(1)如图,设BD与AC交于点O,连接OE,∵AB//∴ODOB=CDAB=12,∴O为∵E为PB上靠近点P的三等分点,∴在△PBD中,OE∵OE⊂平面ACE,PD⊄平面ACE,∴PD//平面∵PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,则以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x∴A0,0,∵PF∴点F的坐标为23,设平面ABF的一个法向量为n=则AB⋅n=0则y=0,令z=1∴平面ABF的一个法向量为n=−设直线BD与平面ABF所成角为θ,则sinθ=∴cosθ=17.解:(1)根据题意第一轮两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，所有可能组合有3×31,2,1,4,1(2)设“第一轮甲获胜”为事件A，“第二轮甲获胜”为事件B，由上可知第一轮甲获胜的概率为PA=第一轮甲获胜且第二轮甲获胜的概率PAB=根据条件概率公式PB∣(3)设甲总得分为X,则X的可能取值为0,1,2,在不考虑出牌顺序的前提下，第一行为甲出牌,其余为乙出牌,如下表,甲得分135024612641426146226241642甲、乙两人出牌共有36种,11分则PX=则EX=18.解:(1)依题意可得:曲线C的焦点为F1,0,准线为且xB=4,由抛物线的定义可知(2)此时设Px1,y1y1≥0，其中∴FP由FP⋅FQ=11得再结合y12=4x1,解得所以P2,(3)设Px0,y0y0≥0在矩形FQDP中,FP⊥FQ,故所以直线FQ的解析式为y=令x=4,可得yQ=31由对角线互相平分可得,此时x即点D坐标为Dx0当点D在曲线C上时,代入曲线C的解析式得y0即y02联立①②两式消去y02得解得x0=15或所以x0=15,y0=19.解: