广东省惠州市2026届高三下学期4月模拟考数学试题（含答案）

惠州市2026届高三模拟考试数学全卷满分150分,时间120分钟.注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2.作答单项及多项选择题时,选出每个小题答案后,用2 B3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、单项选择题:本题共8小题,每小题满分5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,选对得5分,选错得0分。1.已知全集U={2,3,4,5A.{6}B.{2,2.已知复数z满足i⋅z=1+iA.1B.2C.2D.23.已知圆锥的高为4,底面半径为3,则其侧面积为A.6πB.9πC.124.已知向量a=1,1,b=-A.-1B.0C.1D.25.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,抛物线上一点P到焦点F的距离为A.22B.2C.2D.6.已知随机变量X的分布列为X-10123P0.3a0.30.20.1设函数fx=PX<x,若x∈A.{0.2,C.{0.3,7.将函数y=cos2x+π6图象上的点Aπ4,t向左平移ss>0个单位长度得到点B,A.π6B.π4C.π8.已知函数fx=lnx2-x,当0<θ<π2时A.-1,1B.-1二、多项选择题:本题共3小题，每小题满分6分，共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分。9.下列命题正确的是A.数据4,4,4,6,6,7,8,8的众数是4B.数据7,9,12,15,9,14,18的极差是11C.数据2,3,3,5,7,8,9的60%分位数是6D.数据x1,x2,x3,⋯,xn的平均数为2,方差为4,则数据10.深度神经网络是人工智能领域中的重要模型之一,激活函数是神经网络的重要组成部分.函数fx=x1A.fx有且仅有一个零点B.fx在区间0C.fx存在唯一极值点x0∈-11.已知点P在曲线W:xx=9-A.点P不可能在第三象限B.点P可能在直线x+3C.当点P在第一象限时,PA+PB的最小值为D.当直线x+3y+m=0与曲线W有两个交点时三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知等比数列an的前n项和为Sn,若a1=2,13.直线x-y+4=0与x轴交于点A,与y轴交于点B,与x+12+y-32=14.在平面四边形ABCD中,AD⊥CD,C=11π12,AB=22,tanA四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知数列an的前n项和为S(1)求an(2)设bn=1an2-1，数列bn的前n项和为Tn16.(15分)某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件,现收到一批零件共有10个,其中不合格的零件占总数的15，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为X(1)求PX=1的值.因为不合格的零件占总数的15,所以X故PX请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程;(2)若抽到的3个零件中至少有1个为不合格零件，求恰好有2个为不合格零件的概率;(3)对抽取的3个零件进行检测，每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品,需额外支出25元的处理费用.设本次检测的总费用为Y元,求随机变量Y的分布列与数学期望.17.(15分)如图所示，正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，AC∩BD=O，延长CD到点E，使CE(1)证明:AE⊥平面PAC(2)若△PAB为等边三角形，点F是线段BD上的动点，记PF与平面PAE所成的角为θ,求sinθ18.(17分)已知函数fx=alnx-(1)若a≤0，求f(2)若a>e(i)证明:fx在区间1,+∞内有且仅有(ii)设x0为fx的极值点，x1为fx的零点，且x119.(17分)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F,(1)求双曲线E的方程；(2)若面积为3的△ABC的三个顶点均在E上，直线AB经过坐标原点，直线BC经过右焦点F,求直线BC的方程(3)已知M1,0，过点T12,2的直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P,Q，直线l上是否存在点S满足TP⋅SQ=PS⋅TQ,且SM惠州市2026届高三模拟考试数学参考答案与评分细则一、单项选择题:本题共8小题,每小题满分5分,共40分。题号12345678答案ABDABCCB1.由题意可得:M∪N={2,3,4,52.iz=1+i⇒z=1+i法二:由iz=1+i,3.圆锥高h=4，底面半径r=3，母线长l=r2+h2=34.因为a=1,1,b=-1,1,所以a+λb=1-λ,1+λ,a+5.由题可知C的焦点是F1,0,准线方程是x=-1,故OF=1.设点P的坐标为x0,y0,由抛物线的定义可知x0--1=3,即x06.由总概率和为1,可得a=0.1,所以当x=0时,PX<0=PX=-1=0.3,当x∈(0,1]时，PX<x7.由题意得t=cos所以点Aπ4,-12向左平移ss>0个单位长度得到点可得sinπ2-2s=cos即s=±π3+kπ,又s>0,所以s8.因为fx=lnx2-x所以f2-x+fx由x∈0,2,所以f'x=1x+12由fmsinθ+1根据函数单调性有2>因为0<θ<π2,所以sinθ∈0,1,即m>-1msinθ-1>0,m<1sin二、多项选择题:本题共3小题，每小题满分6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。题号91011全部正确选项ABDACDAC9.对于A,数据中4出现三次,出现次数最多,所以该组数据的众数是4,故A正确;对于B,数据从小到大排列为:7,9,9,12,14,15,18,所以极差是18-7=11,故对于C,数据已按从小到大排列,由7×60%=4.2,可得第60%分位数为第5个数,即为7,故对于D,数据x1,x2,x3,⋯,xn的平均数为2,方差为4,则数据2x1+1,2x210.对于A,由1+e-x>0,当x=0时fx=0,则对于B,f'x=x+1e-x+11故f'x>0恒成立,则fx在区间0,+∞上单调递增,对于C,设y=ex+x+1,当x=-2时,y=e存在x0∈-2,-1又y=ex+x+1单调递增,故当x∈-∞,x0时则fx存在唯一极小值点x0∈-2,-1对于D,由ex0+x0+1=0,得ex0=-x0-1,f11.当x≥0,y≥0时,曲线W:xx=9-9y∣y变为x29+y2=1,是椭圆x29+y2=1落在第一象限及与x轴,y轴的正半轴交点的部分;当x>0,y<0时,曲线当x<0,y<0时,曲线W为-x2=9+9y2,方程左边负、右边正,不成立对于A:由图可知W上不存在位于第三象限的点,即点P不可能在第三象限,故A正确;对于B:因为直线x+3y=0既是双曲线x29-y2=1的一条渐近线,也是双曲线y2-x29=1的一条渐近线,所以直线x+3y=对于C:由题可知,点P是椭圆x29+y2=1在第一象限上的点A-22,0为椭圆左焦点,设其右焦点为A'22,0,所以PA+PA'=6,对于D:由x+3y+m=因此Δ=-6m2-4×18m2-9=0,解得m=±32,所以直线x+3y+m=0在第一象限与椭圆x29+y2=1三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.3013.214.212.法一:由等比数列a1=2,a4=16,可得q3=8法二:由等比数列a1=2,a4=16可得:a13.因为直线x-y+4=0与x轴交于A-4,0,与y轴交于B0,4,所以AB=42+42=42,所以CD=22,圆x+114.如图,因为AD⊥CD,C=11因为tanA与4cosB均是正整数且tanA+4cosB可得tanA=1,cosB=14①当tanA=1,cosB=②当tanA=1,cosB=③当tanA=2,cosB=14时，延长AD,BC交于点A1,过点B作BA2向左平移直线CD，当点D与点A1重合时，不存在四边形ABCD在△ABA1中，A1=5所以S四边形向右平移直线CD，当点D与点A2重合时，不存在四边形ABCD，因为A=π4,∠BA2A=π2四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分,其中第一小问5分,第二小问8分。)(1)由条件有n=1时,a又Sn=n2+n=则an=经检验,a1=2满足所以an的通项公式an高三数学答案注:①解答过程中未求a1=2扣1分；②解答过程中未检验4a1满足a1(2)由(1)得数列bn==7分则T=8分=12=12因为Tn=n2n+1又n∈N*,故n16.(本小题满分15分，其中第一小问4分，第二小问6分，第三小问5分。)(1)解答过程不正确,1分因为抽取过程不是独立重复实验,故X不服从二项分布,2分X服从超几何分布,不合格的零件数为2,所以PX=注:概率公式1分,计算结果1分.(2)由(1)可知PX=0=PX=设事件A为“抽到的3件中恰好有2件不合格”,事件B为“抽到的3件中至少有1件不合格”PB=故所求概率为PA∣注:概率公式1分,计算结果1分.(3)依题意有Y=30+25X，即Y的所有可能取值为30，55高三数学答案PY=30=PXY305580P715715113分所以随机变量Y的数学期望为EY=17.(本小题满分15分,其中第一小问6分,第二小问9分)(1)证明:连接PO,因为正四棱锥P-ABCD中,AC∩BD=O,所以PO又因为AE⊂平面ABCD,所以PO⊥因为CE=2CD=22,即AE⊥AC又PO交AC于点O,PO、AC⊂所以AE⊥平面PAC;6(2)由(1)可知，PO、OC、OD两两垂直，故以O为原点，OD、OC、OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，7分因为正四棱锥P-ABCD的底面边长为2所以PA=所以PO=1,则OD则A0,-1,0,B-1,0,0,C则AE=2设平面PAE的一个法向量为m=由m⋅AE令y=1,得x=0,z=-则sinθ=因为-1≤a≤1当a=0时sinθ的最大值是18.(本小题满分17分,其中第一小问5分,第二小问6分,第三小问6分。)(1)解:由已知,fx的定义域为0,+∞f'x当a≤0时,a-x2ex所以fx的单调递减区间为0,+∞,无单调递增区间;注:解答过程中未说明单调递增区间情况不扣分.(2)证明:i由(1)知f'x=a-则g'x=-2x+x2ex<0,g所以存在唯一的x0∈1,+∞,使得则fx在1,x0上单调递增,在x0令hx=lnx-x+1,则当x>1时,h'x=从而当x>1时,hx<h1=从而当a>e时,lna>1,又因为f1=0,所以fx0>0,则fx注:解答过程中用x→+∞时fx<0(