河北省沧州市十校2026届高三一模考试数学试卷（含答案）

河北黄骅中学等十校2026届高三下学期一模数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．在平面直角坐标系中曲线的长度为（

）A． B． C． D．3．等比数列中，，则（

）A．2 B． C． D．4．已知复数，则（

）A． B． C． D．5．已知每门大炮击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次．如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，至少需要大炮的门数是（

）（参考数据：，）A．5 B．6 C．7 D．86．我国通信技术飞速发展，部分领域全球领先．某卫星信号测试中，专家将通信信号抽象为向量，接收端参考信号抽象为向量，定义信号匹配度函数，则的最大值为（

）A． B． C． D．7．已知函数，则函数的单调递增区间为（

）A．， B．，，C．， D．，，8．已知抛物线的焦点为，过点作斜率为的直线交抛物线于第一象限内的，两点，若，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．定义在上的奇函数周期为2，则（

）A． B．C． D．10．已知数列满足，，且，，则（

）A．一定不是等差数列 B．一定不是递减数列C． D．11．空间直角坐标系中，满足条件的点构成一几何体，则该几何体（

）A．为正多面体 B．体积为C．外接球体积为 D．内切球表面积为三、填空题12．已知二项式展开式中的系数为40，则实数______．13．函数的图象本质是双曲线，那么该双曲线的离心率是______，焦距是______．14．设定义在上的函数有三个不同的零点，，，且，则的值是______．四、解答题15．在中，内角，，的对边分别为，，，且．(1)证明：；(2)若，求面积的最大值．16．如图，直四棱柱的底面为直角梯形，，，，三棱锥的体积是四棱柱体积的．

(1)证明：平面；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．17．已知函数．(1)求函数的最大值；(2)已知为数列的前项和，证明：．18．已知椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，其中一个焦点为，离心率为．直线，与椭圆交于不同的两点，，且直线，的斜率之积为．(1)证明：为定值；(2)以椭圆上一动点为圆心作与直线，均相切的圆，探究圆的面积是否为定值，若是定值，求出圆的面积，若不是定值，说明理由；(3)求四边形面积的最大值．19．单循环赛制是指所有参赛队伍（或选手）相互之间都轮流进行比赛，每两支队伍之间只比赛一次，最后按照各队在全部比赛中的得分、胜负场次等成绩指标来排定名次．现有（）支球队进行单循环赛，规定每场比赛获胜队得1分，负的队得0分，且无平局，最后按各队在全部比赛中的积分从高到低排列名次，积分最高者为冠军．并将第支球队的胜场数记为，负场数记为，（）．(1)当时，求单循环赛的总比赛场数，并计算的值；(2)证明：；(3)现支球队分为甲、乙两组，其中甲组球队比乙组球队多5支，甲，乙两组球队混合在一起进行单循环赛，若甲组球队总得分是乙组球队总得分的7倍，请判断冠军是甲组中的球队，还是乙组中的球队，并说明理由．参考答案1．D2．D3．A4．C5．A6．C7．B8．B9．AC10．BCD11．BCD12．13．814．1615．（1），，，，，，，，，，，，；（2），，，，当且仅当时，即时，等号成立，.16．（1）因为底面为直角梯形，所以，，所以，所以，又，又因为三棱锥的体积是四棱柱体积的，所以，解得.又，，所以又，，所以，所以.又由直四棱柱，可得平面，又平面，所以，又，平面，所以平面；（2）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，令，得，所以平面的一个法向量为，设平面的法向量为，，令，得，所以平面的一个法向量为，设平面与平面所成的夹角为，则.所以平面与平面夹角的余弦值为．

17．（1）因为，其定义域为，又，且，令，可得，令，解得，令，解得，故在单调递增，在单调递减.则，即函数的最大值为（2）由（1）知，当时，，即，令，则，即，所以，即，即，得证.18．（1）由已知：，，，所以，，故椭圆E的方程为.设直线OA，OB的方程分别为，，联立，解得，，所以，因为，所以，所以故是定值，且为3．（2）设，半径为r，，则，即.设过原点的圆M的切线方程为，所以圆心到切线的距离为，整理得，因为直线OA，OB是圆M的两条切线，所以是方程的两个根，所以，所以，所以圆M的面积为定值.（3）由（2）可知，，所以四边形OAMB的面积为，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，故四边形OAMB面积的最大值为1.19（1）当时，根据单循环赛是所有参加比赛的队均能相遇一次，则每支球队都比赛5场，所以共比赛场.根据单循环赛的规则和题意，15场中每一场定有一队获胜，故比赛结束后所有队胜的场次和为15，所以.（2）根据单循环赛的规则，每一队都要和对方比赛一场，所以又因为在一场比赛中的两队一定是一胜一负，故全部比赛结束后胜的总场次数和负的总场次数相等，得，即.又.所以.又因为，所以所以.（3）设乙组有球队支，则甲组有球队支，由（2）知所有球队总得分为.又因为甲组球队总得分是乙组球队总得分的7倍，所以甲组球队总得分为，乙组球队总得分为，又乙组球队在乙组内总得分为.而每场比赛获胜队得1分，另一队得0分，所以乙组的总得分不会少于乙组球队在乙组内总得分，得.解得，又为整数，解得只能为6.所以甲组球队共有11支，乙组球队共6支，所有球队总得分为分，甲组球队总得分为119分，乙组球队总得分