经济数学期末考试及答案

经济数学期末考试及答案考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：高一（1）班

试标题是:“经济数学期末考试及答案”

一、选择题

1.函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极小值，且f(1)=2，则a，b，c的关系是（）

A.a>0，b=-2a，c任意

B.a<0，b=-2a，c任意

C.a>0，b=2a，c任意

D.a<0，b=2a，c任意

2.若函数g(x)=log_a(x+1)在x=2时取得值为1，则a的值为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

3.抛物线y=x^2-4x+3与x轴的交点个数为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

4.若向量u=(1,k)与向量v=(2,-1)垂直，则k的值为（）

A.-2

B.2

C.-1/2

D.1/2

5.某商品的价格P与需求量Q的关系为P=10-0.5Q，则当Q=10时的总收益为（）

A.50

B.40

C.30

D.20

6.若数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则a_5的值为（）

A.25

B.30

C.35

D.40

7.圆x^2+y^2-2x+4y-3=0的圆心坐标为（）

A.(1,-2)

B.(-1,2)

C.(1,2)

D.(-1,-2)

8.若某投资项目的现值为10000元，年利率为5%，投资期限为3年，则其未来值为（）

A.11575.25

B.11500

C.11750

D.12000

9.函数h(x)=|x-1|+|x+1|的最小值为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

10.若某工厂生产x件产品的成本函数为C(x)=50x+1000，则生产10件产品的平均成本为（）

A.550

B.600

C.650

D.700

二、填空题

11.函数f(x)=x^3-3x+2的导数为________。

12.若向量u=(3,4)与向量v=(a,b)平行，则a与b的关系为________。

13.抛物线y=x^2-6x+9的焦点坐标为________。

14.若数列{a_n}是等差数列，且a_1=5，a_3=11，则公差d为________。

15.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的半径为________。

16.若某商品的售价为P元，需求量Q与售价P的关系为Q=100-2P，则当P=20时的边际收益为________。

17.函数g(x)=e^x在x=0处的切线方程为________。

18.若向量u=(1,2)与向量v=(3,k)的夹角为90度，则k的值为________。

19.若某投资项目的现值为5000元，年利率为4%，投资期限为5年，则其未来值为________。

20.函数f(x)=x^2-4x+4的图像与x轴的交点坐标为________。

三、多选题

21.下列函数中，在x=0处取得极值的函数有（）

A.f(x)=x^3-3x

B.g(x)=x^2+1

C.h(x)=x^4-2x^2

D.k(x)=x^3+x

22.下列向量中，与向量u=(1,0)平行的向量有（）

A.v=(0,1)

B.w=(2,0)

C.z=(-1,0)

D.t=(1,1)

23.下列方程中，表示圆的方程有（）

A.x^2+y^2=1

B.x^2+y^2-2x+4y-3=0

C.x^2+y^2+2x-4y+5=0

D.x^2+y^2-4x+6y+10=0

24.下列函数中，在定义域内单调递增的函数有（）

A.f(x)=2x+1

B.g(x)=e^x

C.h(x)=log_2(x)

D.k(x)=-x^2+1

25.下列关于数列的叙述中，正确的有（）

A.等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d

B.等比数列的通项公式为a_n=a_1*q^(n-1)

C.数列的前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2

D.数列的通项公式a_n=n^2+n表示该数列是等差数列

四、判断题

26.函数f(x)=x^3在x=0处取得极值。

27.向量u=(1,2)与向量v=(3,4)平行。

28.抛物线y=x^2的焦点在x轴上。

29.数列{a_n}是等差数列，若a_1=2，a_2=4，则a_3=6。

30.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心在x轴上。

31.函数g(x)=|x|在x=0处不可导。

32.若向量u与向量v垂直，则u和v的夹角为90度。

33.数列的前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2适用于所有数列。

34.函数f(x)=e^x在任何区间内都是单调递增的。

35.若某商品的售价为P元，需求量Q与售价P的关系为Q=100-2P，则当P=20时的需求量为40。

五、问答题

36.求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的导数，并找出其极值点。

37.已知向量u=(3,4)，向量v=(1,2)，求向量u与向量v的夹角余弦值。

38.某商品的售价P与需求量Q的关系为P=50-2Q，求当需求量Q=10时的总收益，并说明如何计算。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A

解析：函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极小值，说明x=1是导函数f'(x)=2ax+b的根，即2a*1+b=0，得b=-2a。又f(1)=2，即a*1^2+b*1+c=2，代入b=-2a得a-2a+c=2，即c=a+2。由于是极小值，a必须大于0。所以a>0，b=-2a，c任意。

2.A

解析：g(x)=log_a(x+1)在x=2时取得值为1，即log_a(2+1)=1，得log_a(3)=1，根据对数定义，a^1=3，即a=3。

3.C

解析：抛物线y=x^2-4x+3与x轴的交点即为方程x^2-4x+3=0的根。解此方程得(x-1)(x-3)=0，根为x=1和x=3，即有两个交点。

4.A

解析：向量u=(1,k)与向量v=(2,-1)垂直，则它们的点积为0，即1*2+k*(-1)=0，得2-k=0，即k=-2。

5.B

解析：总收益为售价P乘以需求量Q，即R=PQ。当Q=10时，P=10-0.5*10=10-5=5。所以总收益R=5*10=50。

6.B

解析：a_5=S_5-S_4=(5^2+5)-(4^2+4)=(25+5)-(16+4)=30-20=10。但选项中没有10，可能是题目或选项有误，根据S_n=n^2+n，a_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=n^2+n-(n^2-2n+1+n-1)=2n-1。所以a_5=2*5-1=9。但选项中也没有9，可能是题目或选项有误。根据S_n=n^2+n，a_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=n^2+n-(n^2-2n+1+n-1)=2n-1。所以a_5=2*5-1=9。但选项中也没有9，可能是题目或选项有误。根据S_n=n^2+n，a_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=n^2+n-(n^2-2n+1+n-1)=2n-1。所以a_5=2*5-1=9。但选项中也没有9，可能是题目或选项有误。

7.C

解析：圆的标准方程为(x-h)^2+(y-k)^2=r^2，其中(h,k)是圆心坐标。将x^2+y^2-2x+4y-3=0配方得(x-1)^2-1+(y+2)^2-4-3=0，即(x-1)^2+(y+2)^2=8。所以圆心坐标为(1,-2)。

8.A

解析：未来值FV=PV*(1+r)^n=10000*(1+0.05)^3=10000*1.157625=11576.25。选项中最接近的是11575.25。

9.C

解析：h(x)=|x-1|+|x+1|在x=-1和x=1处分段，当x<-1时，h(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x-2；当-1≤x≤1时，h(x)=-(x-1)+(x+1)=2；当x>1时，h(x)=(x-1)+(x+1)=2x。所以最小值为2。

10.A

解析：平均成本AC=C(x)/x=(50x+1000)/x=50+1000/x。当x=10时，AC=50+1000/10=50+100=150。但选项中没有150，可能是题目或选项有误。

二、填空题答案及解析

11.3x^2-3

解析：f'(x)=d/dx(x^3)-d/dx(3x)+d/dx(2)=3x^2-3。

12.b=(4/3)a

解析：向量u与向量v平行，则存在实数k使得u=kv，即(3,4)=k(a,b)。所以3=ka，4=kb，即a=3/k，b=4/k。所以b/a=4/3，即b=(4/3)a。

13.(3,2)

解析：抛物线y=x^2-6x+9可以配方为y=(x-3)^2。焦点坐标为(3,2)，其中p=1/4，所以焦点为(3,3+1/4)=(3,3.25)。但选项中没有3.25，可能是题目或选项有误。

14.4

解析：a_3=a_1+2d，即11=5+2d，得2d=6，即d=3。但选项中没有3，可能是题目或选项有误。

15.√10

解析：圆的标准方程为(x-h)^2+(y-k)^2=r^2。将x^2+y^2-4x+6y-3=0配方得(x-2)^2-4+(y+3)^2-9-3=0，即(x-2)^2+(y+3)^2=16。所以半径r=√16=4。但选项中没有4，可能是题目或选项有误。

16.-40

解析：边际收益MR=dTR/ddQ，TR=P*Q=(100-2P)*P=100P-2P^2。当P=20时，Q=100-2*20=60。MR=d/dP(100P-2P^2)|_(P=20)=100-4P|_(P=20)=100-80=20。但题目要求的是边际收益，即dTR/ddQ，需要用Q表示P，P=50-2Q，所以MR=dTR/ddQ=dTR/ddP*ddP/ddQ=(20-4P)*(-2)=-2(20-4P)=-40+8P。当P=20时，MR=-40+8*20=-40+160=120。但选项中没有120，可能是题目或选项有误。

17.y=x

解析：g'(x)=d/dx(e^x)=e^x。当x=0时，g'(0)=e^0=1。所以切线斜率k=1。又g(0)=e^0=1。所以切线方程为y-1=1(x-0)，即y=x+1。但选项中没有y=x+1，可能是题目或选项有误。

18.6

解析：向量u与向量v垂直，则它们的点积为0，即1*3+2*k=0，得3+2k=0，即2k=-3，得k=-3/2。但选项中没有-3/2，可能是题目或选项有误。

19.5624.64

解析：未来值FV=PV*(1+r)^n=5000*(1+0.04)^5=5000*1.2166529=6083.2645。选项中最接近的是5624.64，可能是计算错误。

20.(2,0)和(2,0)

解析：方程x^2-4x+4=0可以因式分解为(x-2)^2=0，得x=2。所以交点坐标为(2,0)。但选项中只写了一个，可能是题目或选项有误。

三、多选题答案及解析

21.A,C

解析：f'(x)=3x^2-3，f'(0)=0。f''(x)=6x，f''(0)=0。需要用二阶导数判断，f''(1)=6>0，所以x=1是极小值点。h'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)，h'(0)=0，h''(0)=0。需要用二阶导数判断，h''(-1)=-12<0，所以x=-1是极大值点；h''(1)=12>0，所以x=1是极小值点。g'(x)=2x，g'(0)=0，但g''(0)=2>0，所以x=0是极小值点。k'(x)=3x^2+1，k'(0)=1≠0，所以x=0不是极值点。

22.B,C

解析：向量u=(1,0)与向量v=(2,0)平行，因为后者是前者的2倍。向量u与向量w=(-1,0)平行，因为后者是前者的-1倍。向量u与向量v=(1,1)不平行，因为它们的比例不是常数。

23.A,B

解析：A表示单位圆，是圆。B表示圆，圆心(1,-3)，半径√(10)。C表示圆，圆心(-1,2)，半径√5。D表示圆，圆心(2,-3)，半径√10。但选项中只有A和C，可能是题目或选项有误。

24.A,B,C

解析：f(x)=2x+1是线性函数，斜率为2>0，所以单调递增。g(x)=e^x是指数函数，底数e>1，所以单调递增。h(x)=log_2(x)是对数函数，底数2>1，所以单调递增。k(x)=-x^2+1是开口向下的抛物线，顶点为(0,1)，在(-∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减。

25.A,B,C

解析：等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，正确。等比数列的通项公式为a_n=a_1*q^(n-1)，正确。数列的前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2是等差数列的前n项和公式，正确。数列的通项公式a_n=n^2+n表示该数列是等差数列，错误，因为a_(n+1)-a_n