函数奇偶性 讲义 高中数学人教A版（2019）必修第一册

函数奇偶性类别偶函数奇函数图象特征函数图象关于y轴对称函数图像关于原点对称定义1.定义域关于原点对称；2.f(-x)=f(x)1.定义域关于原点对称；2.f(-x)=-f(x)注意：若0在定义域，则f(0)=0；判断函数奇偶性的方法：1.2.；判断奇偶性的步骤（定义法）：题型一：判断函数的奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性（用定义法）（1） （2）（2） （4)（6） (7)(8) (9)题型二：已知函数奇偶性，求参数、求函数值、求解析式（1）求参数例2：若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a−1,2a],求a,b的值.变式1：已知f(x)=ax2+bx是定义在[a−1,2a]上的偶函数，那么a+b的值是____________.变式2：已知f(x)=−ax3+b是定义在[−3a,3a2−6]上的奇函数，那么a−b的值是_________.例3：若函数f(x)=ax2+2x是奇函数，求a值.变式1：若函数f(x)=(x+a)(x−4)是偶函数，求a的值;变式2：若函数f(x)=(x+a)(x+1)/x是奇函数，求a的值.（2）求函数值例4：已知f(x)=x4−3x2(a,b∈R)，f(m)=5,则f(−m)=_________.变式1：已知f(x)=ax3−bx(a,b∈R)，f(m)=5,则f(−m)=_________.变式2：已知f(x)=ax3−bx+4(a,b∈R)，f(m)=5,则f(−m)=_________.变式3：已知f(x)=ax5+bx3+x−8(a,b∈R)，f(−2)=10,则f(2)=_________.（3）求解析式例5：已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x<0时，f(x)=x(x−1),则当x>0时,求此时f(x)的解析式.变式1：已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f(x)=x(x+1),则f(x)在R上的解析式为_________.题型三：抽象函数奇偶性的证明例6：已知函数f(x)为R上的函数，且对于任意实数a,b，都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证f(x)为奇函数.变式1：已知函数G(x)是R上的函数，且G(x)=f(x)−f(−x),则G(x)为_________.(奇函数、偶函数)题型四：函数奇偶性与单调性综合偶函数在对称区间上单调性相反奇函数在对称区间上单调性相同例7：已知f(x)是偶函数且在(0，+∞)上单调递减，则f(−1)____f(−2)例8：若对于任意实数x

总有f(−x)=f(x),且f(x)在区间(−∞，−1]上是增函数，请比较f()、f(−1)、f(2)的大小例9：已知定义在[−2，2]的函数f(x)在区间[−2，2]上是减函数，若f(1−m)<f(m),求实数m的取值范围.变式1：已知定义在[−2，2]的偶函数f(x)在区间[0，2]上是减函数，若f(1−m)<f(m),求实数m的取值范围.变式2：已知定义在[−2，2]的奇函数f(x)是减函数，若f(m−1)+f(1−2m)>0,求实数m的取值范围.题型五：利用函数奇偶性，求抽象函数函数值例10：已知函数f(x)，g(x)满足，f(x)=2g(x)+1,且g(x)为R上的