2026信号与系统不稳定系统考试题及答案解析

2026信号与系统不稳定系统考试题及答案解析1.（单选）连续时间线性时不变系统函数为H(s)=\frac{2s-1}{s^{2}+2s+5}，该系统属于A.稳定系统 B.临界稳定系统 C.不稳定系统 D.无法判断答案：C 解析：分母多项式s^{2}+2s+5的根s=-1±2j位于左半平面，但系统函数分子阶数等于分母阶数，且分子2s-1在s→∞时使|H(jω)|→2≠0，不满足BIBO稳定充分条件（严格真分式），故为不稳定系统。2.（单选）离散系统差分方程y[n]-3y[n-1]+2y[n-2]=x[n]，其冲激响应h[n]的Z变换收敛域为|z|>2，则系统A.稳定 B.临界稳定 C.不稳定 D.稳定但非因果答案：C 解析：极点z=1,2均位于单位圆外，收敛域|z|>2不包含单位圆，故BIBO不稳定。3.（单选）某系统输入x(t)=e^{2t}u(t)时零状态响应y(t)=e^{3t}u(t)，则系统A.稳定 B.不稳定 C.临界稳定 D.无法判断答案：B 解析：输入有界但输出无界，违反BIBO定义。4.（单选）若连续系统冲激响应h(t)=e^{t}\cos(2t)u(t)，则其阶跃响应终值A.0 B.1/5 C.∞ D.-∞答案：C 解析：H(s)=\frac{s-1}{(s-1)^{2}+4}，极点s=1±2j位于右半平面，阶跃响应含发散项，终值∞。5.（单选）系统函数H(z)=\frac{1}{1-1.2z^{-1}+0.36z^{-2}}，|z|>0.6，其稳定性A.稳定 B.临界稳定 C.不稳定 D.无法判断答案：A 解析：极点z=0.6（二阶）位于单位圆内，收敛域包含单位圆，BIBO稳定。6.（单选）连续系统特征方程s^{4}+s^{3}+3s^{2}+s+2=0，Routh表第一列符号变化次数为A.0 B.1 C.2 D.3答案：C 解析：Routh表第一列：1,1,2,-1,2，符号变化两次，右半平面两个根，系统不稳定。7.（单选）离散系统极点为0.5,-0.8,1.1e^{jπ/4},1.1e^{-jπ/4}，则系统A.稳定 B.临界稳定 C.不稳定 D.无法判断答案：C 解析：1.1e^{±jπ/4}模大于1，位于单位圆外。8.（单选）系统函数H(s)=\frac{s+1}{s^{2}-4}的极点-零点图表明系统A.稳定 B.临界稳定 C.不稳定 D.无法判断答案：C 解析：极点s=±2，右半平面极点s=2，不稳定。9.（单选）若系统频率响应H(jω)=\frac{jω+1}{-ω^{2}+4jω+3}，则其幅频特性在ω→∞时趋于A.0 B.1 C.∞ D.常数非零答案：A 解析：分子阶数1，分母阶数2，|H(jω)|∼1/ω→0。10.（单选）系统函数H(z)=\frac{z}{z^{2}+0.25}，|z|>0.5，其冲激响应h[n]为A.2^{-n}\cos(\frac{πn}{2})u[n] B.2^{-n}\sin(\frac{πn}{2})u[n] C.0.5^{n}\cos(\frac{πn}{2})u[n] D.0.5^{n}\sin(\frac{πn}{2})u[n]答案：A 解析：极点z=±0.5j，逆Z变换得2^{-n}\cos(\frac{πn}{2})u[n]。11.（多选）下列系统函数中，一定不稳定的是A.H(s)=\frac{1}{s-1} B.H(z)=\frac{1}{z-0.9} C.H(s)=\frac{s}{s^{2}+1} D.H(z)=\frac{z}{z^{2}-1.1z+0.3}答案：A,D 解析：A有右半平面极点；D极点z=0.5,0.6均位于单位圆内，但题目要求“一定不稳定”，A明确右半平面极点，D实际稳定，故仅A。12.（多选）关于不稳定系统的描述正确的是A.冲激响应绝对可积则系统稳定 B.极点位于右半平面则连续系统不稳定 C.离散系统极点模大于1则不稳定 D.不稳定系统输出一定发散答案：B,C 解析：A是稳定定义；D错误，特定输入下输出可能暂态收敛。13.（多选）系统函数H(s)=\frac{s+2}{(s+1)(s-3)}，可能的收敛域有A.Re(s)<-1 B.-1<Re(s)<3 C.Re(s)>3 D.全平面答案：A,B,C 解析：极点s=-1,3，三个可能收敛域。14.（多选）离散系统差分方程y[n]+0.8y[n-1]-0.2y[n-2]=x[n]-x[n-1]，系统A.稳定 B.不稳定 C.极点位于0.2,-1 D.收敛域|z|>1答案：B,C 解析：极点z=0.2,-1，单位圆上极点z=-1，临界稳定，但严格说BIBO不稳定。15.（多选）连续系统特征方程s^{3}+2s^{2}+s+2=0，则A.系统稳定 B.有纯虚根 C.Routh表第一列无符号变化 D.有右半平面根答案：B,C 解析：Routh表第一列：1,2,0,2，出现零行，辅助方程2s^{2}+2=0，纯虚根±j，无右半平面根，临界稳定。16.（填空）连续系统H(s)=\frac{1}{s^{2}-s-2}，其冲激响应h(t)=________。答案：\frac{1}{3}(e^{2t}-e^{-t})u(t) 解析：部分分式分解得\frac{1}{3}\left(\frac{1}{s-2}-\frac{1}{s+1}\right)。17.（填空）离散系统H(z)=\frac{z}{z^{2}-z-1}，|z|>\phi，其中\phi=________。答案：\frac{1+\sqrt{5}}{2} 解析：极点z=\frac{1±\sqrt{5}}{2}，最大模\frac{1+\sqrt{5}}{2}。18.（填空）系统函数H(s)=\frac{s+1}{s^{2}+4s+5}，其阶跃响应的初值g(0^{+})=________。答案：1 解析：初值定理\lim_{s→∞}sH(s)\frac{1}{s}=1。19.（填空）若离散系统冲激响应h[n]=2^{n}u[-n-1]，则系统________（稳定/不稳定）。答案：不稳定 解析：\sum|h[n]|=\sum_{n=-∞}^{-1}2^{n}=\sum_{k=1}^{∞}2^{-k}=1，但h[n]非因果且收敛域|z|<2不包含单位圆，BIBO不稳定。20.（填空）连续系统特征方程s^{4}+s^{3}+2s^{2}+2s+1=0，Routh表第一列符号变化次数为________。答案：0 解析：Routh表第一列全正，无符号变化，系统稳定。21.（填空）系统函数H(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}+\frac{1}{1-2z^{-1}}，若系统因果，则收敛域为________。答案：|z|>2 解析：因果要求|z|>2。22.（填空）连续系统H(s)=\frac{s-1}{(s+1)^{2}}，其冲激响应h(t)=________。答案：(e^{-t}-2te^{-t})u(t) 解析：部分分式\frac{1}{s+1}-\frac{2}{(s+1)^{2}}。23.（填空）离散系统极点为0.5e^{±jπ/3}，则系统________（稳定/不稳定）。答案：稳定 解析：模0.5<1。24.（填空）系统函数H(s)=\frac{1}{s^{2}+1}，输入x(t)=\sint，则稳态输出幅值________。答案：∞ 解析：共振，系统临界稳定，输出幅值随时间线性增长。25.（填空）若连续系统冲激响应h(t)=e^{-|t|}，则系统________（稳定/不稳定）。答案：稳定 解析：\int_{-∞}^{∞}|h(t)|dt=2，绝对可积。26.（简答）简述连续系统BIBO稳定的充分必要条件，并给出数学表达式。答案：充分必要条件是冲激响应绝对可积，即\int_{-∞}^{∞}|h(t)|dt<∞，等价于系统函数H(s)收敛域包含虚轴且所有极点位于左半开平面。27.（简答）离散系统稳定性与极点位置的关系。答案：离散系统BIBO稳定当且仅当所有极点位于单位圆内，即|p_i|<1，对任意i成立；若极点位于单位圆上或外，系统不稳定或临界稳定。28.（简答）解释为何系统函数H(s)=\frac{1}{s}不稳定。答案：极点s=0位于虚轴，冲激响应h(t)=u(t)不绝对可积，阶跃输入下输出无界增长，违反BIBO稳定。29.（简答）Routh-Hurwitz判据的基本思想。答案：通过构造Routh表，检查特征多项式系数符号变化次数，确定右半平面极点数目，无需直接求根，符号变化次数等于右半平面极点数。30.（简答）给出离散系统差分方程y[n]-y[n-1]=x[n]的稳定性结论并说明理由。答案：系统函数H(z)=\frac{1}{1-z^{-1}}，极点z=1位于单位圆上，冲激响应h[n]=u[n]不绝对可和，BIBO临界不稳定。31.（计算）已知连续系统H(s)=\frac{s+3}{s^{2}-4s+3}，(1)求极点并判断稳定性；(2)求冲激响应h(t)；(3)若输入x(t)=e^{-t}u(t)，求零状态响应y(t)。答案：(1)极点s=1,3，位于右半平面，不稳定。(2)部分分式得H(s)=\frac{2}{s-1}-\frac{1}{s-3}，故h(t)=(2e^{t}-e^{3t})u(t)。(3)Y(s)=H(s)X(s)=\frac{s+3}{(s-1)(s-3)(s+1)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s-3}+\frac{C}{s+1}，解得A=-2,B=1,C=1，故y(t)=(-2e^{t}+e^{3t}+e^{-t})u(t)。32.（计算）离散系统H(z)=\frac{z}{z^{2}-1.8z+0.81}，|z|>0.9，(1)求极点并判断稳定性；(2)求冲激响应h[n]；(3)输入x[n]=u[n]，求阶跃响应g[n]。答案：(1)极点z=0.9（二阶），位于单位圆内，稳定。(2)H(z)=\frac{z}{(z-0.9)^{2}}，逆Z变换得h[n]=n(0.9)^{n-1}u[n]。(3)G(z)=H(z)\frac{z}{z-1}=\frac{z^{2}}{(z-0.9)^{2}(z-1)}，部分分式得G(z)=\frac{Az}{z-1}+\frac{Bz}{z-0.9}+\frac{Cz}{(z-0.9)^{2}}，解得A=100,B=-100,C=-90，故g[n]=(100-100(0.9)^{n}-90n(0.9)^{n})u[n]。33.（计算）连续系统特征方程s^{3}+6s^{2}+11s+6=0，(1)用Routh表判断稳定性；(2)求极点并验证。答案：(1)Routh表：s^{3}:1 11s^{2}:6 6s^{1}:10 0s^{0}:6第一列全正，无符号变化，稳定。(2)因式分解(s+1)(s+2)(s+3)=0，极点s=-1,-2,-3，均左半平面，验证稳定。34.（计算）系统函数H(s)=\frac{s^{2}+1}{s^{3}+s}，(1)求极点-零点图；(2)判断稳定性；(3)求冲激响应h(t)。答案：(1)零点s=±j，极点s=0,±j。(2)极点s=0,±j位于虚轴，临界稳定。(3)部分分式H(s)=\frac{1}{s}+\frac{-s}{s^{2}+1}，故h(t)=u(t)-\costu(t)。35.（综合）反馈系统如图（略），前向通路H(s)=\frac{1}{s-1}，反馈通路G(s)=k，(1)求闭环系统函数Q(s)；(2)用Routh判据确定使系统稳定的k范围；(3)当k=2时，求闭环冲激响应。答案：(1)Q(s)=\frac{H(s)}{1+H(s)G(s)}=\frac{1}{s-1+k}。(2)特征方程s-1+k=0，极点s=1-k，稳定需1-k<0，即k>1。(3)k=2时Q(s)=\frac{1}{s+1}，冲激响应q(t)=e^{-t}u(t)。36.（综合）离散系统如图（略），前向H(z)=\frac{z}{z-0.5}，反馈G(z)=-0.5，(1)求闭环系统函数Q(z)；(2)判断稳定性；(3)输入x[n]=δ[n]，求输出y[n]。答案：(1)Q(z)=\frac{H(z)}{1+H(z)G(z)}=\frac{z}{z-0.5-0.5z}=\frac{z}{0.5z-0.5}=\frac{2z}{z-1}。(2)极点z=1位于单位圆上，临界不稳定。(3)y[n]=2u[n]。37.（综合）连续系统H(s)=\frac{s+2}{s^{2}+(4-k)s+4}，(1)求系统稳定的k范围；(2)当k=4时，求冲激响应；(3)讨论k=5时系统行为。答案：(1)特征方程s^{2}+(4-k)s+4=0，Routh表：s^{2}:1 4s^{1}:4-k 0s^{0}:4稳定需4-k>0，即k<4。(2)k=4时H(s)=\frac{s+2}{s^{2}+4}，h(t)=\cos(2t)u(t)+\frac{1}{2}\sin(2t)u(t)。(3)k=5时特征方程s^{2}-s+4=0，极点s=0.5±1.936j，实部为正，不稳定，冲激响应含e^{0.5t}发散项。38.（综合）离散系统H(z)=\frac{z^{2}}{z^{2}-1.2z+0.35}，(1)求极点并判断稳定性；(2)输入x[n]=\cos(\frac{πn}{3})u[n]，求稳态响应幅值；(3)若系统初始松弛，求阶跃响应终值。答案：(1)极点z=0.5,0.7，均单位圆内，稳定。(2)频率响应H(e^{jω})在ω=π/3处计算得|H(e^{jπ/3})|=0.735，稳态幅值0.735。(3)终值定理\lim_{z→1}(z-1)G(z)=\lim_{z→1}(z-1)\frac{z}{z-1}H(z)=H(1)=\frac{1}{1-1.2+0.35}=4。39.（综合）连续系统H(s)=\frac{s-1}{(s+1)(s-2)}，输入x(t)=e^{t}，(1)求零状态响应y(t