2023三维设计高考数学二轮新教材高考仿真模拟卷

高考仿真模拟卷

时间：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合八={2,3,4},B={x£N”+2r-3＜（）},则AUB中元素的个数是（）

A.2B.3

C.4D.5

解析：C因为5={xeN|.r+2x-3<0}={xeN|(x+3)(x-l)<0}={xeN|-3<v<l}=

{()),所以AU8={0,2,3,4},所以AU8中元素的个数为4.故选C.

2.若z(1—i)=2i,则z的虚部为()

A.IB.-1

C.iD.-i

,2i2i(1+i)-2+2i-&

解析：B由z(1-i)=2i,得z=-j"=z.rrz.,.==-1+i,所以z=

I—i(l—i)(1十i)2

—1—i,则z的虚部为一1.故选B.

3.(僦一;)的展开式中A-3项的系数为()

A.80B.-80

C.-40D.48

解析：B的展开式的通项为7b尸C§（2x）sr・（一f=（一1）£・25-#・C§-Z-2*,

令5—2左=3,得k=l.于是展开式中9项的系数为（一Dir-Q=-80,故选B.

4.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮

革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指占人以脚蹴、踢皮球的活动.已知某“鞠”的表面

2

上有四个点P,人，B,C,满足外=1,以_1"平面人AC,ACA-BC,若^三梗惟『-,版=7贝U该

“鞠”的体积的最小值为］）

25

A.?■兀B.9兀

-9卜9

C.Z7iD.五兀

取AB的中点为D,过点D作。。〃附，且OD=^PA

解析:

=5，因为%_L平面ABC,所以OOJ_平面ABC.由4cLBC,故DA=DB=DC,进而可知

OA=OB=OC=OP,所以。是球心，Q4为球的半径.由嗅-8C=(X；AC・CB•雨=

2

产AC・C8=4,又入序=4。2+8。2224c・8C=8,当且仅当AC=BC=2时，等号成立，

此时A8=2小，所以球的半径/?=。4=、/亦+&43)+(啦)2=1故R】［in=

故该“鞠”的体积的最小值为我3=表(1)3=17t•故选C.

5.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲

厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为白，白，

1U1J

现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为

()

A.().08B.().1

C.0.15D.().2

解析：A以4,4，4分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B

532II

表示取得的X光片为次品，尸(4)=而，尸(4)=行，P(4)=73,尸(8A)=诃，P(8H2)=B，

「(8|小)=击，则由全概率公式，得所求概率为P(B)=P(4)P(B|4)+P(42)P(B|4)+P(A3)?(B|4)

=而乂而+而乂出+正乂西=0.08.

6.如图，在杨辉三角中，斜线,的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：

1,3,3,4,6,5,10,…，记其前〃项和为S”则S22=()

1

A.361B.374

C.385D.395

解析：B根据杨辉三角的特征可以将数列继续写出到第22项：1,3,3,4,6,5,

10,6,15,7,21,8,28,9,36,10,45,11,55,12,66,13,522=(1+3+6+10+15

+21+28+36+45+55+66)+(3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13)=286+

(3+13)XII-

-----z------=374,故选B

7.已知函数/U)的图象与指数函数y=〃3>0,且aWI)的图象关于直线y=x对称，函

数段)的图象经过点A(4,2)与点8(8,。，若〃=犷，4=02,r=logQ.2,贝1」()

A.r<q<pB.，<p<q

C.q<KpD.p<q<r

解析：A因为凡Y)的图象与指数函数且的图象关于直线y=x称，

则於)=lo&x,又因为图象过点A(4,2),则2=logf/4,则。=2,则函数儿r)=log2X,因此/

22z3

=log28=3.则p=/0=3°->l,^=0.2=0.2,()<q<I,r=log/0.2=logs0.2<0,故Kq〈p,故

选A.

8.若关于x的不等式对一切正实数4恒成立，则实数。的取值范围是()

A.(-8,£)B.(-8,el

C.(一8,1]D.(一8,2]

解析：C设危尸e』一Inx一心>0),则於)20对一切正实数x恒成立，即危)mi会0,

由/(A)=ev-<,—令〃(t)=eL“-%x>0),则〃’(1)=尸"+">0恒成立，所以〃㈤在(0,

+8)上为增函数，当X一。时，以X)——8,当Xf+8时，/心.)f+8,则在(0,+8)上，

存在Xo使得〃5))=0,当0Wo时，〃(x)<0,当X>M)时，h(x)>0,故函数应力在(0,.⑹上单

调递减，在(xo,+8)上单调递增，所以函数7(x)在x=xo处取得最小值为人xo)=exo—a-1【1刖

一。20,因为ex。一〃=：,即&一a=—Inxo,所以J+项一a—恒成立，即2aWxo+1,

M)XOXQ

又xo+：22、/xo•J=2,当且仅当xo=1,即的=1时取等号，故2aW2,所以aWL故选

Ao\jXoXo

C.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知圆M：。+8$力2+。,一sin9)2=1,直线/：下列命题中正确的是()

A.对任意实数人和仇直线/和圆”有公共点

B.对任意实数以必存在实数匕使得直线/与圆M相切

C.对任意实数必存在实数仇使得直线/与圆M相切

D.存在实数2与以使得圆M上有一点到直线/的距离为3

解析：AC选项A,圆M：(x+cos/?)2+(v—sin0)2=1恒过原点0(0,0),所以A正确；

Ikeos夕+sina

圆心M(一cos。，sin0)到直线/的距离为d,d—=|sin(〃+3)|W1,...对于任意

A/T+F

实数A,直线/与圆相交或相切，所以选项C正确，选项B不正确；圆上的点到直线/距离

最大值为4+1W2,所以选项D不正确.故选A、C.

10.已知函数,/(x)=sin3工一小cos3x(s>0,R)的图象与x轴交点的横坐标构成一

个公差为刍的等差数列，把函数./U)的图象沿x轴向左平移方个单位长度，横坐标伸长到原来

的2倍得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的结论正确的是()

A.函数g(x)是偶函数

B.虑)的图象关于点(一名0)对称

C.四)在［一节卦上是增函数

D.当一去"时，函数g(x)的值域是［I,2］

解析：BD因为"r)=sin3x一小cos3X=2sin(①x—1)，又)，=%)的图象与x轴交点

的横坐标构成一个公差为割勺等差数列，所以9^=亮；，所以①=2,所以/U)=2sin(2i一

所以©向左平移矜单位长度得到y=2sin(2x+g,)，=2sin(2x+1)横坐标伸长到原来2倍

得至ijg(x)=2sin^.r+^.A,g(x)=2sin(x+§为非奇非偶函数，故错误;B,月(一=2sin(g+$

=2sin0=0,所以g(x)的图象关于点(一,，0)对称，故正确；C,因为工£一多号，所以x

+“()，用，又因为y=2sin同()，用上先增后减，所以g(x)在［一去对上不是增函数,

故错误；D,当一5，言时，x+等6,2，所以gQ)max=2si信=2,此时x=^^x)min

=2sin^=l,此时x=-器,所以g(x)的值域为［1,2］,故正确.故选B、D.

II.在正方体人8CQ-4由1GG中，点P是线段人向上的动点，以下结论正确的有()

A.3。〃平面A。/

B.DiPlAiC

C.DP与GD所成角的取值范围为,,

D.2是ABi中点时，直线PB与平面8GZ)所成的角最大

解析：ABD如图，在正方体ABCDAiSG。中，BD〃B\D\,BD

Ali

。平面ADiS,B0|U平面AGS,所以8。〃平面A。向，因为点P是线段上的切点，

所以平面4。/=平面AA囱，即B。〃平面AOiP,故A正确；在正方体A8C£＞-AiBiGOi

中，AiCi±BiDi,A4iJ_3GnBi5J_平面A\C\CA^B\D\LA\C,同理可证AALAC,从

而4C_L平面4。由1,因为点P是线段A31上的动点，所以。10U平面AQ|8i,因此O|P_L

AC,故B正确；在正方体A8CQ-A|4ICQI中，C\D//AB\,所以Q|P与G。所成角龙。产

与A历所成角，而△AA8为正三角形，所以SP与GD所成角的取值范围为^,故C

错误；在正方体A4CQ-A归iGd中，CiD//ABlt所以当。到4距离最小时，直线P3与平

面8G。所成的角最大，即夕是人81中点时，直线P8与平面8G。所成的角最大，故D正

确，故选A、B、D.

12.若加危。+—短加…）存在,则称

妈救十'‘刈为二元函数z=yu，），）在点。0,），o）处对x的偏导数，记为

&（X。，W）；--------------不存在，则称妈---------而为一兀

函数z=J（x,），）在点（xo,川）处对y的偏导数，记为fy'（.vo,yo）.若二元函数z=/（x,》）=『

-2寸+＞3a＞0,y＞0）,则（）

A.fy'（1,2）=10

B.P（l,2）=-2

4

C.於,y）的最小值为一百

D.fx'（m,〃）+为'On,〃）的最小值为一1

MHAMHAM/g—「/U，2+A、）一/（l,2）

解析：ABCA-JA,fy（l^—Jin^A、，

„1-2（2+绅）+（2+&，）3—5

-!四）A_y

=［凹）［10+6Ay+（Ay）2］=10,所以选项A正确；

升口「八r.穴1十Ar,2）一/（I,2）

对B,4（1，2）=11%-------------薮--------

..（1+Ax）2-2（+小）X2+23—5

=妈At

=［叫）（&v-2）=-2,所以选项B正确；

对C,.Ax,），）=『一2"+寸=。一＞）2一丁+v》）13—V（当且仅当工=y时等号成立），令g（y）

=9一）,2。＞0）,则g’。尸3）2—2『=），（3），一2）,当0＜）＜|时，g'。）＜0；当时，gf（y）＞0.

所以函数g（y）在（0,§上单调递减，在停，+8）上单调递增，所以当时，^（j0min=2J—

44

--24

9-=），=1时，fix,），）min=—万，所以选项C正确;

27

对D,//(〃?，〃)=[山)&〃+澳，&-顺，叽妈(⑥+2〃L2〃)=2,，L2〃,

/(〃?,〃+八))一/(〃7'〃)

.4（〃?，〃）=!四）=Jin^[—2m+3序+3/?Ay+(Ay)2]=­2m+3，户,

/（〃?，〃）+6。〃，〃）=3〃2—2〃，因为；2>0,所以当时，夕（〃?，〃）+/；.'（〃?，〃）

取得最小值，且最小值为一（所以选项D错误.综上，故选A、B、C.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共2（）分.

…―一八7t.出、巾sina

3已知°〈吨…限］。尸否则币、=--------

解析：因为0<混，所以一：v：—a号所以cos,所以一sin

.伊0.伊、7T小、.兀巫巫-理4乂X正=]一遮6"/s,.n

sin(<4-a-4j=sin^4-ajcos4-cos^4-aj<262-6""，所以

I...—~~—；VT7+Isincey[\7—\sin〃

a=cosa=yj1—(sina)/=——所以tana=,则

6COSQ―亚+11+tana

亚一]

64^17

1+行_厂51■

VI7+1

答案:挈

14.边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上

的动点，当弦MN的长度最大时，丽-丽*的取值范围是

解析：如图所示，设正方形A8CO的内切圆为圆0.当弦MN的

长度最大时，历N为圆0的一条直径，~PM•石『=（泞+砺）《MT

-~OM）=\~PO\2-\'OMf=\~POf-^当P为正方形A8CO的某边的

中点时，|而|min=g,当P与正方形4BC。的顶点重合时，|而|max

范

1范

此

-w因

V271V9

r1

答黑-

L4

14

15.已知随机变量4~M4,小)，且p4W3)=Pe2a+l),则；：十=7(04<〃)的最小值

CIX

为.

解析：由正态分布的对称性可知：“+1=5,解得a=4,因为0W4,所以4—入>0,由

基

等式

本不

得X-+-

.(4

4皇4

一-)4

X3所以十+E的最小值

9

答薪-

4

16.在楼长为6的正方体A4CO-A/iGQi中，点朋是线段4c的中点，点。在正方形

OCG。(包括边界)上运动，且满足NAPO=NMPC,则P点的轨迹长度为.

解析：如图，在棱长为6的正方体48axA由Ci。扎40_1_平、-r

D,--------------H

面。CGDi,MC_L平面Z)CG£>i,又DP,尸C在平面QCGDi上，F

：.AD±DP,MCA.CP,又/APO=NMPC,.,.RtAWPsRL",一

DECMx

PDAr)1>£1--------------VM

：'~PC=~MC=li即PO=2PC,如图，在平面。CGG中，以。为AB

原点，DC,。。所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系，则。(0,0),C(6,0),P(x,

y),由PD=2PC,知7(x—0)2+()，-0)2=2<.6)?+(厂0)2,化简整理得。一

8)2+/=16,0<xW6,即圆心(8,0),半径r=4的圆，所以。点的轨迹为圆(%—外2+产=

16与四边形。CG。的交线，即为图中的示其中CM=2,FM=4,则NFMC=1,由弧

长公式知病=三乂4=与.

答案卷

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)在①2加inC=5ccos8+csin8；喏筌=亍与•这两个条件中

cosv乙ac

任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.

在△ABC中，内角A,B,。所对的边分别是mb,c,且________.

⑴求角B；

(2)若。+。=小，点。是AC的中点，求线段的取值范围.

注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.

解：（1）选①，由2〃sinC=#ccos8+csinB及正弦定理可得2sin8sinC=，5sinCeosB

+sinCsinB,

所以sinCsinB=-\/3sinCeosB,

因为5,CG（0,n）,所以sinGO,

则sinB=y/5cosB＞0,所以tanB=3,所以

ccsRh

选②，由cc；及正弦定理可得sin8cosC=（2sinA-sinC）cosB,

cosv2ac

所以2sinAcos8=sin8cosc+cosBsinC=sin（8+C）=sinA,因为A,8£（0,兀）,

所以sinA＞0,所以cos所以8=?

（2）因为。+。=小，所以0＜。＜小，

由题意知而=灰＞,即协*一时=岳仁*一祐，

所以2与*=京+阮*,

所以4布2=（时+/）2=肃2+/2+2肃.碇,

即4802=，+层+2«。0$京=，+/+40=3+。）2—〃c=3—。（小一〃）=/一小。+3=

考

近

‘29993-

十---3

a-2444故线段8。的取值范围为H

、

18.(本小题满分12分)已知S〃是数列(而的刖〃项和，旦的=1,%+%*=2〃+1.

(1)求数列｛小｝的通项公式；

2a〃，〃为奇数,

(2)记儿=j闺%求数列出“｝的前2〃项和

(a„,八为偶数,

解:(l)a〃+a”+i=2〃+l变形为a”+i—(〃+1)=—(如一〃)，

因为。1-1=0,所以。“+[—(〃+1)=一(〃”一〃)=…=—(0-1)=0,故〃”=〃.

(2)当〃为奇数时，九=2",当〃为偶数时，bn=n,

则於〃=2+2+23+4+25+6+…+22”」+2〃

=2+4+6+…+2〃+(2+23+25+…+22n-1)

2

〃（2+2〃）।2—2?"|22〃十-

~+1-4=~3

19.(本小题满分12分)一台仪器每启动一次都随机地出现一个6位的二进制数4=

C3”必。6,其中A的各位数字中，0=1，。欧=2,3,4,5,6)出现0的概率为上出现

2

1的概率为Q.例如：A=100010,其中0=45=1，〃2="3=。4=。6=0.记f=。|+。2+6+出

+,“+%，当启动仪器一次时：

(1)求当岑=3时，有且仅有两个0连排在一起的概率；

(2)求4的概率分布列及E(J.

解：(1)由题意得当。=3时，后面5个数字是两个1和三个0,总的排法有Cg=10种，

其中有且仅有两个0连排在一起的排法有Ag=6种，

所以有且仅有两个。连排在一起的概率为治=/

(2)由题意J的所有可能取值为1，2,3,4,5,6.

%=1)=啕=击,

PG=2)=c4©xgj=a，

▽尹⑥乂小给

股=4)=啸)2嫡=翡

p(e=5)=ag)xg)=患

PG=6)=C既)’造，

故。的概率分布列为

q123456

11040808032

P243243243243243243

E©=1X志+2X号+3X貂+4X黑+5X貂+6乂条='^=呈

20.(本小题满分12分)如图甲，平面图形A8CQE中，AE=DE=BD=BC=\,BC上BD,

DE//AB,NEAB=60°,沿8。将△3CD折起，使点。到F的位置，如图乙，使8r_L8E,

EG=BF.

G

EI）

(1)求证：平面G£4P_L平面AEG；

(2)点M是线段FG上的动点，当AM与平面AEG所成角的正弦值为由时，求平面MAB

与平面AEG所成角的余弦值.

解：(I)证明：由题意知，BFLBD,因为BECBD=B,所以8尸_1_平面/WOE,

因为4EU平面4BDE,所以在四边形ABOE中，4E=QE=BQ=1,DE//AB,

所以四边形ABQE为等腰梯形，因为NE48=60°,所以NAED=N8DE=120°,

因为BD=DE,所以4BED=/DBE=30°,

所以NA£8=NAEO-N8£O=9(r,

所以又因为BECBF=B,

所以AE_L平面GE8E因为AEU平面AEG,所以平面GE8凡L平面AEG.

(2)由(1)知，在RtZLABE中，ZAEB=90°,NE4B=60°,4E=I,贝U8E=AElan600

=小，

因为罚则EG〃8尸且EG=8/=BC=1,

因为BEL平面4BOE,所以EG_L平面ABOE,

因为AE_LBE,所以EA,EB,EG两两垂直，以点E为坐标原点，EAtEB,EG所在

直线分别为x,)，，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则41,0,0）,B（0,小，0）,设点M（0,4，1）,其中0W4W小,

所以戒=(一1,4,1),易知平面AEG的一个法向量为m=(0,1,0),

\AM•m|A

由已知条件可得|cos<AM,m>|=览

|布存|m|，/+27，

因为0W2W小，解得2=乎，所以H=(—1,3，0),戒=(—1,坐，1),

设平面4BM的法向量为n=(x,y,z),

n—x+小y=0,

则n•丽=r+坐y+z=。，

取丁=/，可得n=(3,小,2),

|mn|工

所以cos<m,n)=——=号，因此平面M48与平面AEG所成角的余弦值为4.

|m|-|n|44

21.(本小题满分12分)己知椭圆C：，+卓=1(»〃>())的左、右顶点分别为4,4，椭

圆的离心率为坐，焦点三角形的周长为4+2小.

⑴求该椭圆的标准方程;

(2)证明：过点。(4,0)的动直线交该椭圆于P,。两点，直线AP,4Q相交于点E，

证明：点上在定直线上.

£=也

4=2,

解：(1)由题意可得。2，解得.

<=小.

2a+2c=4+2#,

又f=序+已可得方=1,则该椭圆的标准方程为。+产=1.

(2)证明：因为过点0(4,0)的动直线交该椭圆于P,Q两点，所以该动直线的斜率存在

且不为0,

设该动直线为/：x=）+4