2023届新高考数学（新高考Ⅰ卷）模拟试卷十（学生版+解析版）

绝密★启用前

2023年普通高等学校招生全国统一考试

新高考I卷数学模拟卷十

学校:姓名：___________班级：考号：

题号一二三四总分

得分

注意：本试卷包含I、H两卷。第I卷为选择题，所有,答案必须用2H铅笔涂在答即卡中相应的位置。第II卷为非

选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合”={-2,-1,0,1,2},/V={J|（X+1）（X-2）＜0},则MnN=（）

A.1-2,—1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{-1,2}D.{-2.1}

2.已知圆/+）心=1与抛物线y2=2px（p＞0）交于4/?两点，与抛物线的准线交于C.。两点,若四边形/NCO是

矩形，则p等于（）

A.在B.立C.2D.独

2525

3.函数y=/（幻的图像如图所示，则/•（.＜）的解析式可以为（）

A.y=

B.y=I

C.y=

D-y=，lnx

4.二项式（4+2的展开式中，其中是有理项的项数共有（）

A.4•项B.7项C.5项D.6项

5.已知向量|五|=匕•（五一：匕）=0,则五与面勺夹角为（）

A.30°B.60°C.90°D.150°

6.从甲地到乙地共有4、B、C、。四条路线可走，走路线4堵车的概率为0.08,走路线B堵车的概率为0.1,走路线

C堵车的概率为0.12,走路线。堵车的概率为0.04,若小李从这四条路线中等可能的任选一条开车自驾游，则堵

车的概率为（）

A.0.034B.0.065C.0.085D.0.34

7.已知直线，上有三点48,。，。为，外一点，又等差数列{册}的前?!项和为Sn,若m=（%+a3）OB+2alM，

则S[i=（）

A.yB.3C.yD.y

224

8.己知正三棱柱的高等于1,且球。与所有棱都相切，则球。的体积为（）

B.4痴D.4\，口万

A：27•T

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得

5分，部分选对得2分，有选错的得。分。

9.已知函数/（无）=手+访刈若/■（%）的图象存在两条相互垂直的切线，则Q的值可以是（）

A.-6B.-5C.-4D.-3

10.等差数列｛%｝的前71项和为S”，若S2+Qg=3,则下列选项一定正确的是（）

A.S7=7B.S10=10C.a4=1D.a2+ci6=2

11.将函数/Xx）=2sinx的图象向左平移，个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g（K）佬图象，

下面四个结论正确的是（）

A.药数g（x）在区间［0阁上单调递增

B.将函数g（x）的图象向右平移%个单位长度后得到的图象关于原点对称

C.点C,0）是函数g（x）的图象的一个对称中心

D.的数g（x）在阮,2用上的最大值为百

12.为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了新甬经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜

球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为9，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上

折叠而成，如图②.则下列结论正确的是（）

A.经过三个顶点48,。的球的截面圆的面枳为？

B.异面在线AD与CF所成的角的余弦值为?

O

C.多面体48CCET的体积为:

4

D.球面上的点离球托底面。EF的最小距离为8+1-1

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知随机变量《服从正态分布N3，），若P（f>3）=P（fV1），则〃=_

14.若复数z=缪，则|z|=.

3+41

15.已知长方体48。。一48［。］。1，AB=BC=1,AAX=2,在上取一点M,在B〔C上取一点M使得直线MN〃

平面44CC1，则线段MN的最小值是.

16.已知点。（2,0）,动点Q满足以PQ为直径的圆与旷轴相切，过点P作直线人+（加一1»+2?八一5=0的垂线，垂足

为R,则|QP|+|QR|的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.在①S】、52、S,成等比数列，②Ss=50,③S6=3（即+2）这三个条件中任选两个，补充到下面问题中,

并解答本题.

问题：已知等差数列｛Qn｝的公差为d（W工0）,前71项和为及，且满足___________.

⑴求每：

(2)若%-/>n-i=2an(n>2),且坊-%=1,求数歹U隹｝的前n项和

18.在4.48C中,角A,B,C所对边分别为a,瓦c,b=3,c=6,sin2C=sinB,且AD为8C边上的中线,E点在8c上,

满足荏〃（焉+焉）.（1）求cost;及线段BC的长：

（2）求4/1DE的面枳.

19.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9x9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格值数字，

并满足每一行，每一列,每一个粗线宫（3x3）内的数字均含1-9,不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路

杯”全国数独大赛初级组的比赛.

（1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度y（秒）与训练天数穴天）有关，经统计得

到如表的数据：

式天）1234567

y（秒）990990450320300240210

现用y=Q+%乍为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解

题的平均速度y约为多少秒？

(2)小明利小红在数独4Pp上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先

胜4局者赢得比赛若小明每局获胜的概率为：，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计

小明最终嬴得比赛的概率.参考数据(其中0=3

77

£q2-7x,

i

j=li=l

18450.370.55

参考公式：对于一组数据(小./)，(3,%)，…，Q”，%)，其回归直线方=2+的斜率和截距的最小二乘估

计公式分别为：B=比竺一臂,a=v-^u.

2-(=1wf-nM

20.如图，四边形/1BCD和CD£7嘟是正方形，且平面/1BCDJL平面CDEEM、N分别是8C、CD的中点，点P在线段

DEL.

(1)求证：AN工PM：

(2)若二面角P-MN-4的大小为45、求直线4N与平面PMN所成角的止弦值.

21.已知椭圆C：捷+'=l(a>b>0)的左、右焦点分别为%,尸2,离心率等于争点尸在y轴正半轴上，APF/z

为克角三角形H面积等于2.

(1)求椭圆C的标准方程:

(2)已如斜率存在日不为。的直线/与椭网C交于48两点,当点4关干y轴的对称点在直线P8卜时.育线i是否过

定点？若过定点，求出此定点：若不过，请说明理由.

22.已知函数/'(%)=Inx—QX?+x.

(1)若对任意实数4€(。，+8),都有f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围:

(2)当a=；时,若/Qi)+/(x2)=1.求%i+%2的最小值.

绝密★启用前

2023年普通高等学校招生全国统一考试

新高考I卷数学模拟卷十

学校:姓名：___________班级：考号：

题号一二三四总分

得分

注意：本试卷包含I、H两卷。第I卷为选择题，所有,答案必须用2H铅笔涂在答即卡中相应的位置。第II卷为非

选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷(选择题)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合”={-2,-1,0,1,2},/V={x|(x+l)(x-2)<0},则MnN=()

A.[-2,-1,0,1}B.{-1,04,2}C.{-1,2}D.{-21}

【答案】R

【解析】

【分析】

本题主要考杳了集合交集的运算，属于基础题.

解决此题的关键是根据一元二次不等式的解法解得集合N,再根据交集的定义求解..

【解答】

解：由(%+1)(%-2)-0解得一1W,42,得Mn/v={-l,o,l,2},

故答案选：B.

2.已知圆/+y2=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点，与抛物线的准线交于C,。两点，若四边形4BCD是

矩形，则P等于()

A.渔B.立C.迺I),独

2525

【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的标准方程与几何性质，属基础题.

利用对称性可得为通径，根据抛物线方程，可得力点坐标，代入圆得方程即可得p的值.

【解答】

解：由对称性可得48为通径，根据抛物线方程，可得4点坐标为《，土P),

又因为人点在圆上，所以g)2+p2=l,解得口=等.

故答案选：D.

3.函数y=八外的图像如图所示，则八。的解析式可以为（）

x

A.•v=X--e

5

B.*7=X--%

C.y=--x4

D.y=--Inx

・X

【答案】4

【解析】

【分析】

本题主要考杳函数图象和函数解析式，属于基础题.

根据定义域、零点个数、单调性和极限等方面逐个排除判断即可.

【解答】

解：选项B,、=三一必是奇函数，所以不正确：

选项C,当％T—8时，f（X）T_8,所以不正确；

选项D,y=！-lnx定义域为（0,+8）,所以不正确.

故答案选:A.

4.二项式（4+套丫°的展开式中，其中是有理项的项数共有（）

A.4项B.7项C.5项D.6项

【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查二项式系数的性质，关键是熟汜二项展开式的通项，属于基础题.

根据展开式进行分析即可.

【解答】

解:二项式（4+壶）3°的展开式中，

通项公式为Go•（正严-r•（2）r=%.”我

0<r<30,要使15-介为有理数，

D

r=0,6,12,18,24,30时满足题意,共6项.

故答案选：D.

5.已知向量|五|=b•（6一=0,则五与石的夹角为（）

A.30°B.60°C.90°D.150°

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力.

通过向量的数量积，转化求解向量的夹角即可.

【解答】

解：另•（五一;^）=万.B3片=0,ab=152.

设社与方的夹角为仇则cos0=£i=笠=*，

同网闻22

又0。weW180。，••.8=60。,即方与石的夹角为60。.

故答案选：B.

6.从甲地到乙地共有小B、C、。四条路线可走，走路线4堵车的概率为0.08,走路线B堵车的概率为0.1,走路线

C堵车的概率为0.12,走路线0堵车的概率为0.04,若小李从这四条路线中等可能的任选一条开车自驾游，则堵

车的概率为（）

A.0.034B.0.065C.0.085D.0.34

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了独立事件的概率，属于基础题.

求每条路线的概率，然后再求和.

【解答】

解：由概率公式得

P=0.25x0.08+0.25x0.1+0.25x0.12+0.25x0.04=0.085.

故答案选：C.

7.己知直线，上有三点48,C,。为，外一点，又等差数列｛时｝的前n项和为%,若65=（Qi+Q3）丽+2%ok，

则Sii=（）

A.7B.3C.yD.y

224

【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查门甸星共线定理、等差数列的性质、等差数列的前〃项和公式，考查「推理能力与“算能力，属于中档题.

利用直线2上有三点4B,C,0为的卜一点,以及瓦？=（%+a?）而+2a10OC=2a2OB+2a10OC，得出2a2+2a10=

1，进而可得出结果.

【解答】

解：因为直线，上有三点48,。，。为，外一点，

而。彳=（%+a3）O^+2a10OC=2a2OB+2a10OC»

所以2a2+2%（）=1,所以。2+为0=5

a

T7r-_llSi+a”）_ll（a2+io）_「I

乂%1—一2一—一2一—T-

故答案选：D.

8.已知正三棱柱的高等于1,且球。与所有棱都相切，则球。的体积为（）

A.?B.史史C.?D.咆

。2733

【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查简单多面体及其机构特征，球的表面积和体积的应用，考看了球和正棱柱的性质以及相应的运算能力

和空间形象能力，属于基础题.

由题意口;如相切关系得球与二条侧棱的切点确定的平而截球与二棱柱，得到的截而是大圆与内接正二角形，球。的

半径R等于底面等边三角形中线的右求出球的半径，即可求出球的体积.

【解答】

解：设球的半径为凡底面三角形的边长为%

由相切关系得，球与三条侧棱的切点确定的平面截球与三棱柱得到的截面，是大圆与内接正三角形，

故球。的半径R等于底面等边三角形中线的1

由底面等边三角形中线长为务，

即R=1Q，底面三角形被球截得的小圆半径为r，

由此小圆为底面三角形的内切圆得r=在如

6

所以睽="+(｝2,得a=i,R=g,

“皿3=史史.

327

故答案选：B.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得

5分，部分选对得2分，有选错的得。分。

9.已知函数/(©=手+mx,若/(x)的图象存在两条相互垂直的切线，贝布的值可以是()

A.-6B.-5C.-4D,-3

【答案】AB

【解析】

【分析】

本题考查了导数的几何意义和基本不等式，属于基础题.

利用导数和基本不等式得出/'(乃>2+^存在两条相互垂直切线的充要条件是/''(X)min<0，可得Q的取值范雨.

【解答】

解：f\x)=X+^+^>2^7^+^=24-^(x>0)»

当且仅当％=1时取等号，

存在两条相互垂直切线的充要条件是，(x)min<0，

所以2+T<0，即av—d.

故答案选：AB.

10.等差数列｛时｝的前n项和为无,若52+。9=3,则下列选项一定正确的是()

A.，7=7B.SIQ—10C.a4=1D.Q2+a6=2

【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的通项公式以及前八项和公式，关键是掌握与等差数列有关的公式，属于中档题.

根据题意，结合等差数列的前n项和公式以及通项公式，依次分析选项，综合即可得答案.

【解答】

解：%+。2+。9=3。4=3,

所以=1，贝U$7=7(14=7,a2+a6=2a4=2,

Si。不确定.

故答案选：ACD.

11.将函数f(x)=2sinx的图象向左平移*个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到gQ)的图象，

下面四个结论正确的是()

A.药数g(x)在区间冷]上单调递增

B.将函数g(x)的图象向右平移*个单位长度后得到的图象关于原点对称

C.点C,0)是函数g(x)的图象的一个对称中心

D.函数g(x)在阮,2封上的最大值为百

【答案】AD

【解析】

【分析】

本题考杳函数y=Asin(.u)x+㈤的图像和性质以及函数的图像的平移，属于基础题.

对题目中的四个选项依据三角函数的有关性质和函数的图像的平移法则一一判断即可.

【解答】

解：函数/(%)=2sE%的图像向左平移，个单位，得到函数〃%)=25访(％+£)的图像，再将y=2sin(x+器的图像

的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，行g(%)=2sinC+》.

A.若0EW手则已升牌条根据复合函数单调性可知函数g(x)在[0.等上单调递增，A正确：

B.将g(%)的图像向右平移汾单位得到y=2sin[|(x-^+^]=2sin《+刍所得函数不关于原点对称,B错误.

C.因为g©)=2sin《+?=bH0,所以点(90)不是函数g(x)的一个对称中心，C错误；

D.若"#42乃，则与今+三手所以当;+旨今时，g(x)取得最大值，且最大值g(Mmax=2sinq=K,D

正确.

故答案选：AD.

12.为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了行再经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由•个铜

球和•个托盘组成，如图①，已知球的体积为手，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上

折叠而成，如图②.则下列结论正确的是()

B

修过三个顶点的球的截面圆的面积为

A.34

B.异面直线4。与。产所成的角的余弦值为J

O

C.多面体谢谢的体积浅

D.球面上的点离球托底面DEF的最/，、距离为百十m一1

【答案】BCD

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理，余弦定理，球的表面积和体积，异面直线所成角和直线与平面所成角，考查了学生的空间想

象能力，属于较难题.

构建一个底血边长为2,高为8的止三棱柱。后尸一仇均居，由球的体枳公式得铜球的半彼R=l,再逐项分析即可.

【解答】

解：因为托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折会而成，

所以连接4B、8c和。4得几何体48C-。£凡

因此构建一个底面边长为2,高为次的正三棱柱CE■尸-%邑&,

取5尻、瓦。和F〔Di的中点分别为4、8和C,

则几何体4BC-DE尸就是题意中的几何体，如图：

这个几何体ABC-DEF的上底面4/1BC是边长为1的正三角形，

下底面是边长为2的正三角形，高为百.

因为铜球的体积为?，所以由球的体积公式得铜球的半径R=1.

对于小因为经过三个顶点4B,C的球的截面圆就是正△48C的外接圆，

1.

所以若边长为1的正三角形的外接圆半径为r，则*=＞，解得r=g，

因此经过三个顶点/,B,C的球的截面圆的面枳为—=左，所以4不正确：

V

对于8、取E户的中点G,连接AG,则由几何体4BC-0EF的构成知力c

因此四边形4GFC是平行四边形，所以。尸4力G，

因此4。"就是异面直线4。与CF所成的角.

连接。G,在AO/IG中，AD=CF=AG=2,DG=H，

4D2+AG「DG2

因此cos/DAG=4+4-3S

2ADAG8

即异面宜线与CF所成的角的余弦值为・所以B止确；

对于C、因为由几何体48C-Q"'的构成知：

多面体4BCDEF的体积为三棱柱的体积减去3个三棱锥的体积,

即qx22xV5_3xgx/xl2xV5=£此C正确；

对于0、由力知：经过三个顶点48,。的球的截面圆的半径一圣

所以铜球的球心到截而力8。的距离为付二声二/3若

因此球离球托底面DEF的最小距离为百-(1_手)=遍+4_1,所以D正确.

第H卷(非选择题)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知随机变量f服从正态分布NO，/),若P(f>3)=P(fV1)，则〃=

【答案】2

【解析】

【分析】

本题考杳了正态曲线以及性质，属于基础题.

利用正态分布的对称性易得答案.

【解答】

解:随机变量f服从正态分布N(〃《2),所以曲线关于％〃时称，

又PG>3)=P(f<1)，所以〃=早=2.

故答案为:2.

14.若复数2=缪，则|z|=___.

3+42

【答案】I

【解析】

【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题.

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由商的模等于模的商求解.

【解答】

(l+i)2_l+2i+j2_2i

解：•・"

3+4i3+4i3+4i

•••|z|=£|3+4i|v'32+42

故答案为：!

15.已知长方体力BCD-AiaGDi，AB=BC=1,441=2,在4道上取一点M,在反。上取一点N,使得直线MN//

平面AiACG，则线段MN的最小值是.

【答案w

【解析】

【分析】

本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、

考查推理论证能力、空间想象能力，属于中档题.

作MM114B于点M],作NNi1BC于点M,证明M[N]//4C.设8Ml=BN.=x,则=2x,NN.=2-2x,由

此能求出MN的最小值.

【解答】

解：作MM】_L48于点Mi，作NN】_L8C于点N[，

则MMJ/NNi，

所以M,Mi，M，N四点在一个平面MMiMN内，

•rMMJ/AAL平面小MGI,AAic平面

又MN〃平面4/ICCi，MNnMM]=M,

.••平面MMiMN〃平面4/1CG

二MiNiHAC

又48=BC则8Ml=BN>

设=BN]=x,

ADRr]

又而=瓯=则】

2，MM=2x,NNr=2-2x,

在直角梯形MNN1M1中，

222》

MN=(V2x)+(2-4x)=18(%-2+if

.•.当时,MN的最小值为M

故答案为：I

16.已知点P(2,0),动点Q满足以PQ为直径的圆与y轴相切，过点P作直线x+(m-l)y+2m-5=0的垂线，垂足

为R，则IQPI+IQRI的最小值为.

【答案】上至

2

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的几何性质，直线与圆的位置关系，关键是求出动点Q的轨迹方程，属于中档题.

根据题意，设Q(%y),可得Q的轨迹是抛物线必=8,过点Q作QM与准线垂直，且交准线于点M,分析可得直线

工+(巾-1)丫+2m一5=0经过定点。(3,-2),可得R在以0P为直径的圆上，则当£\Q、河三点共线时，|QP|+|QR|

取得最小值，即可求解.

【解答】

根据题意，设Q(%y)，以PQ为直径的圆的圆心为(早,乡，

又由动点Q满足以QP为直径的圆与y轴相切，

则有STM等-2『+(茅

变形可得：y2=8x,

则Q的轨迹是抛物线，其焦点为P(2,0),准线为工=一2.

过点Q作QM与准线垂直，且交准线于点M,

设直线1为x+(m-l)y+2m-5=0,变形可得m(y+2)=y-x+5,

分析可得直线，经过定点(3,-2),

设0(3,-2),设DP的中点为E,则E的坐标为G，-l)，但。|=今

若PRli,则R在以DP为宜径的圆上，

该圆的方程为(x—§+(y+1)2=其中r=|ED|=，,

又由IQP|=IQM|，则IQP|+IQR|=IQM|+|QR|，

则当E、Q、M三点共线时，|QP|+|QR|取得最小值，

且|QP|十|QR|取得的最小值为圆(X-1)2+(y+I)2=:上的点到直线无=-2的最小值,

过点E作％=一2的垂线，垂足为G,

此时(|QP|+|QR|)min=\EG\-r=l-^=^.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.在①S［、$2、54成等比数歹小②S5=50,③S6=3(。6+2)这三个条件中任选两个，补充到下而问题中，

并解答本题.

问题：已知等差数列｛册｝的公差为d(a/0),前?!项和为及，且满足

⑴求即；

(2)若%-%一1=2an(n>2),且瓦-%=1,求数歹U｛擀｝的前ri项和

【答案】解：(1)选择条件①②，

由$5=50,得5%+Ud=5(ai+2d)=50,即4+2d=10,

由S1S2,$4成等比数列,得宜=品54，

2

即4aq+4。屈+d=4a｝+即d=2at,

解得%=2,d=4,

因此即=4n-2.

选择条件②③，

由Ss=50,得5al+芋d=5(%+2d)=50,即%+2d=10,

由$6=3(。6+2),得"殁3=3%+34=3。6+6,即%=2,

解得d=4,

因此%=4n-2.

选择条件①③，

由Si，S2»S4成等比数列，得宜=S]S4，4优+401d+或？=4a：+6a/,

即d=2alf

由56=3(。6+2),得6(。；。6)_3/+3ae=3a6+6,即%=2,

解得d=4,

因此a?1=4n—2.

(2)由%=2,(in=4n-2可得=3,

当?1>2时，bn-bn_i=2an=8n-4,

二(%-%-1)+(bn.i-b_2)+…+血-瓦)

=(8n-4)+(8n-12)+-+12=【⑻i)；2j(n-i)=4n2_4,

即为一”=4n2-4,则生=4n2-1

当"=1时，瓦=3,符合瓦=4八2—1,

2

所以当nWN*时,bn=4n-1.

眠=高="表一篇)，

因此及="»3+：打一+为—高)=“1—力)=捻.

【解析】本题考查的是等差数列的通项公式和前n项和公式、等比数列的性质，考查运算能力和推理论证能力，考

查数学运算和逻辑推理核心素养，属于中档题.

(1)选定条件，然后列关于基本量为和d的二元一次方程组，解出的和d,从而求得a”：

(2)先由(1)求出b-益_1=2an=8n-4,再利用累加法求数列｛“J的通项公式，进一步得到数列｛2｝的通项公式，

通过裂项求和即可求出

18.在44BC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,b=3,c=6,sin2C=sinfi,且力。为BC边上的中线，E点在8c上,

满足荏〃(疆+禽).⑴求cosC及线段BC的长；

(2)求A4DE的面积.

【答案】解：⑴由正弦定理得白=肃，则2黑二合(

又sin2C=sinB,2sinCcosC=sinB,

八sine1

ACOSL=­2si：—nC=-4

•••cosC==7»解得Q=6(负值舍去)，即BC=6.

4

(2)由荏〃(黑+离)得力?为NB4c的角平分线，

过E作A&A8的垂线，垂足分别为M,N,则EM=EN,

.^AB-EN+^AC-EM=SQABC,

Ix(6+3)xEM=9监得EM=半

【解析】本题考杳应用正余弦定理解三角形，涉及角平分线的性质，关键是掌握余弦定理的形式和变形应用，属于

中档题.

(1)在448c中，先根据正弦定理得到E再由sin2C=sin8得cosC=片=；,再利用余弦定理计算BC；

''sinC22sinC4

(2)根据中线的定义及角平分线的性质能够得出EM=EN,%AB•EN+-EM=S-BC，结合题目条件解出EM

的值，又=S“CD-SMCE，代入数值即可求出答案.

19.数独是源自18世纪瑞士的•种数学游戏，玩家需要根据9x9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格生数字，

并满足每一行，每一列、每一个粗线宫(3x3)内的数字均含1-9,不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路

杯”全国数独大赛初级组的比赛.

(1)赛前小明在某数独工PP上进行•段时间的训练，每天的解题平均速度y(秒)与训练天数4天)有关，经统计得

到如表的数据：

K(天)1234567

y(秒)99099()450320300240210

现用y=Q+3作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解

题的平均速度y约为多少秒？

(2)小明和小红在数独4PP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先

胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为;，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计

小明最终嬴得比赛的概率.参考数据(其中A=?

£7心7短

之％t

I1-1

18450.370.55

参考公式：对于一组数据(%,%),(〃2»2)，.・.，(%,%)，其回归直线畲=2+3〃的斜率和截距的最小二乘估

计公式分别为：［=字第学a=v-p-u.

【答案】解：(1)由题意y=1(990+990+450+320+300+240+210)=500,

令t=\设y关于t的线性回归方程为夕=般+拼

£_£3例-7g_1845-7X0.37X500_

一瓦.5-O5H-'

则a=500-1000x0.37=130.

•••『=1000t+130

又t=\所以y关于％的回归方程为9=詈+130,

故x=100时，y=140,

所以经过100天训练后，小明每天解题的平均速度约为140秒

(2)设比赛再继续进行X同小明最终嬴得比赛，则最后局定是小明获胜，

由题意知，最多再进行4局，就有胜负.

当X=2时，小明4:1胜，.••P(X=2)=；x；=V：

当X=3时，小明4:2胜，.•.P(X=3)=Gx；x(l-mx；=5：

当X=4时，小明4:3胜，・•.P(X=4)=CTx三x(l—，2xW=牝.

\14\4/4256

二小明最终赢得比赛的概率为2+2+^=塞.

【解析】本题考查可线性化回归分析和概率的计算，属于一般题.

(1)设y关于t的线性回归方程为夕=£t+3求出合和合的值，先得出y与珀勺函数关系式，再得出y关于4的线性回归

方程，把x=100代入(1)式中的I可归方程，求出y的值即可；

(2)将X=2,X=3和X=4的概率计完出来，再相加即可.

20.如图，四边形/1BCD和CDEF都是正方形，且平面H8CD_L平面CDEF,M、N分别是8C、CD的中点，点P在线段

DEk.

(1)求证：ANJ.PM；

(2)若二面角P-MN-4的大小为45。，求育线4N与平面PMN所成角的正弦值.

【答案】解：(1)连接。M,在正方形4BCD中，M、N分别是BC、CD的中点，

-AD：DN=DC.CM,

:.Rt△ADN=RtDCM,

•••乙DAN=^CDM,

:.AN1DM.

•••平面力6co，平面CDEF,ED1CD,EDu平面COE产

•••ED1•平面ABCD,

RvANu平面48C。，

AN1EDr

又EDCDM=D,ED,DMu平面EDM,

:.AN_L平面EDM,

又•••PM二平面EDM,

.-.AN1PM.

(2)直线。4,DC,OE两两垂直，以。为坐标原点，DA,DC,0E分别为％,y,z轴建立如图所示坐标系,

由己知，N(O,1,O),M(l,2,0),4(2,0,0),P(0,0,a),

.•.丽=(1,1,0)，杆=(0,-l,a)，丽=(-2,1,0)，

设平面MNP的法向量沆=(x,yfz),

嚅累:,所以叩

0,

令x=1,解得一个法向量沅=(1,-1,--^),

取平面4BCD的法向量完=(0,0,1),

•••二面角P-MN-4的大小为45。，

-»、.|mn|1--|=当,解得a=¥，则沆=(1,一1,一夜),

•."cosv沆，">1=丽=高

设直级4V与平面PMN所成角等于6,

则5访。=|85＜而，沆＞，=粽=心，+|+2=*

•••直线AN与平面PMN所成角的正弦值为逆.

10

【解析】本题重点考查线面垂直的性质、线面角和二面角，属于中档题.

(1)通过求证4N，平面EDM,由线面垂直的性质定理即可求证；

(2)建立空间直角坐标系，设48=2,DP=a,求出平面MNP与平面的法向量，利用二面角P-MN-A的大

小为45。求出a,进而可求直线力N与平面PMN所成角的正弦值.

21.已知椭圆。：2+看=19>6>0)的左、右焦点分别为尸1，尸2,离心率等于浮点P在y轴正半轴上，△尸匕尸2

为宜角三角形且面积等于2.

(1)求椭圆。的标准方程：

(2)已知斜率存在且不为0的直线，与椭圆C交于4B两点,当点力关于y轴的对称点在直线PB上时，直线i是否过

定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.

【答案】解：(1)由对称性可知三角形P口述2为等腰直角三角形，4F］PF2=90°,

因为三角形FF/2面积等于2,所以;・2c-c=2,即c?=2,

而椭圆C的离心率°=£=渔=立，解得。=国，则炉=M-c2=l,

a3a

所以椭圆C的标准方程为9+y2=1.

(2)依题意,P(0,&),设直线/的方程为、=kx+m(k工0),力01,必)，B(x2fy2)»

由点力关于y轴的对称点在直线P8上，得斜率服「与心P互为相反数，

Vbb_及一―

^KAP­X„1，x2KBP—„，

即，［'2+_0,化简整理得©Qi—\/2)+%1(72—V2)=0,

又yi=Ax1+m,y2=kx2+m,

于是得次