有限样本空间与随机事件课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第十章概率10.1随机事件与概率10.1.1 有限样本空间与随机事件1.结合具体实例，理解样本点、样本空间的含义；会表

示试验的样本空间；2.结合实例，理解随机事件与样本点的关系，会用集合

表示随机事件；3.了解必然事件、不可能事件的概念.学习目标重点：用集合表示样本空间和随机事件.难点：样本空间、随机事件的概念.一.随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，随机试验具有以下特点：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.知识梳理二.随机试验的样本点随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间.一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.在本书中，我们只讨论Ω为有限集的情况.如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.样本点有如下特征：1.样本点是试验中不能再分的最简单的结果；2.样本空间是全体样本点的集合，在书写时要注意表达形式，可用列举法写，也可用描述法写；3.样本空间相当于集合中的全集，样本点是样本空间的元素；4.同一个试验，由于观察目标的不同，其样本点、样本空间一般也会不同；5.样本点有无限多个的随机试验不在本书的范围内.

三.随机事件随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.

常考题型

【解题提示】写出试验的样本空间，就是写出试验的所有可能结果，并且要注意（男，女）与（女，男）是两种不同的结果.【解析】用坐标法表示：将第一个孩子的性别放在横坐标位置，第二个孩子的性别放在纵坐标位置，可得到4个不同的样本点：（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）.【答案】C变式训练依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是（）A.第一枚是3点，第二枚是1点B.第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点C.两枚都是4点D.两枚都是2点B◆表示随机试验的样本空间的一般思路表示随机试验的样本空间一般分两步完成：1.确定试验的基本结果，即样本点是什么，共有多少个.2.选择适当的方法表示出来（是用列举法还是用描述法，是用文字表示，字母表示，还是用数字表示）.题组二用列举法表示随机试验的样本空间1.利用树状图写样本空间例

口袋中有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出1个球，求这个试验的样本空间和样本点的总数.【解题提示】由于4个人按顺序各摸1球，所以只需4个人与4个球一一对应即可，为了便于写出样本点，可将球编号后再与人对应.【解】把两个白球和两个黑球分别编号为1，2，3，4，所以将4个人按顺序依次从袋中摸出1球的所有可能结果用树状图直观表示如图所示.

变式训练某人做试验，从一个装有标号为1，2，3，4的四个小球（小球除标号外完全相同）的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对（x，y）.（1）写出这个试验的样本空间.（2）写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件包含的样本点.解：（1）列树状图如图.由树状图可知，这个试验的样本空间Ω为{（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）}.（2）记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{（2，1），（2，3），（2，4）}.（方法二）采用列表法，设5个球的编号为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球.列表如下：

abcdea

（a，b）（a，c）（a，d）（a，e）b（b，a）

（b，c）（b，d）（b，e）c（c，a）（c，b）

（c，d）（c，e）d（d，a）（d，b）（d，c）

（d，e）e（e，a）（e，b）（e，c）（e，d）

由于每次取2个球，每次所取2个球不相同，而摸到（b，a）与（a，b）是相同的情况，故共有10个样本点.（2）由（1）中方法一知，事件“2个都是白球”包括（1，2），（1，3），（2，3），共3个样本点；由（1）中方法二知，事件“2个都是白球”包含（a，b），（b，c），（a，c），共3个样本点.◆列举法列举法也称为穷举法，对于一些情况比较简单，样本点个数不是很多的试验，可以用列举法把样本空间写出来，只需一一列举即可得出随机事件所含的样本点.列举法适合比较简单的试验.◆树状图法对于较复杂事件的样本空间问题可以考虑树状图法.一般来说，需要分步完成的试验结果可以用树状图进行列举.用树状图法解答有顺序的问题时，只需作出树状图然后乘上元素个数即可.2.利用列表法写样本空间例

一个口袋内装有形状、大小完全相同的5个球，其中有3个白球、2个黑球，从中一次摸出2个球.（1）这个试验共有多少个样本点？（2）事件“2个球都是白球”包含几个样本点？

（方法二）采用列表法，设5个球的编号为

a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球.列表如下：由于每次取2个球，每次所取2个球不相同，而摸到（b，a）与（a，b）是相同的情况，故共有10个样本点.（2）由（1）中方法一知，事件“2个都是白球”包括（1，2），（1，3），（2，3），共3个样本点；由（1）中方法二知，事件“2个都是白球”包含

（a，b），（b，c），

（a，c），共3个样本点.◆列表法列表法就是利用表格的形式列出所有可能的结果，通常用来解决试验中包含两个或两个以上的元素，且所有可能结果的数量不是很多的样本空间求解问题.表格的行与列分别代表不同的元素，根据试验的要求，直接在表格中标出相应的结果，这种方法直观、简便、不易出错.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏.变式训练两个袋内，分别装着写有0，1，2，3，4，5六个数字的6张完全相同的卡片，现从每个袋中各任取一张卡片，计算两张卡片上的数字之和.（1）共有多少种不同的结果？（2）写出所有两数之和等于7的取法及结果数.

0123450012345112345622345673345678445678955678910解：（1）列表如下：由于结果是两张卡片上的数字之和，由表可知不同的结果共有11种.（2）从（1）表中可以看出，和为7的取法有（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），结果数为4.【方法总结】1.抽取问题是概率中的常见题型，解决此类问题时，需要注意两点：（1）所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分；（2）看抽取的方式是有放回还是无放回，两种抽取方式对样本点的数目是有影响的.2.不放回抽样看作无序抽取或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取.题组三求样本点或样本点的个数例

在一个不透明的口袋中装有大小、质地相同，标号不同的5张卡片，其中3张红色，2张白色.（1）从中一次摸出两张卡片，此试验共有多少个样本点？（2）从中先后各取一张卡片（每次取出后立即放回），此试验共有多少个样本点？【解题提示】（1）一次摸出两张卡片，这两张卡片是没有顺序的，是无序问题；（2）先后各取一张卡片，则这两张卡片是有顺序的，前后是有区别的.【解】不妨记3张红色卡片为1，2，3号，2张白色卡片为4，5号.（1）事件“从中一次摸出两张卡片”，无顺序，故这个试验中等可能出现的结果有10种，分别为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）（其中（1，2）表示摸到1号、2号卡片，依此类推），故共有10个样本点.

（2）事件“从中先后各取一张卡片（每次取出后立即放回）”，有顺序，故这个试验中等可能出现的结果有25种，列表如下：故共有25个样本点.

第一张卡片号数

第二张卡片号数123451（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）变式训练某种饮料每箱装6听，已知某箱饮料其中有4听合格，2听不合格，现检测人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有1听不合格饮料的样本点有

个.9

题组四随机事件的判断例

下列事件中是随机事件的是 （）①当x>10时，lgx≥1；②当x∈R，x2+x＝0有解；③当a∈R时，关于x的方程x2+a＝0有解；④当sinα>sinβ时，α>β. （）A.①② B.②③ C.③④ D.①④【解题提示】根据随机事件的定义，结合对数函数的单调性、一元二次方程根的判别式、正弦函数的性质进行判断即可.【解析】①lgx≥1x≥10，因为当x>10时，一定有x≥10成立，因此①是必然事件，故①不符合题意；②x2+x＝0x＝0或x＝-1，因此当x∈R时，x2+x＝0一定有解，因此②是必然事件，故②不符合题意；③只有当a≤0时，方程x2+a＝0在实数集内才有解，因此③是随机事件，故③符合题意；④当α＝0°，β＝181°时，显然sinα>sinβ成立，但是α>β不成立，因此④是随机事件，故④符合题意.故选C.【答案】C变式训练1.在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是（

）A.必然事件 B.不可能事件C.随机事件 D.以上选项均有可能

2.［多选题］在10件同款式衣服中，有8件红色，2件白色，从中任意抽取3件，则下列事件是随机事件的是（

）A.3件都是红色 B.3件都是白色C.至少有1件红色

D.有1件白色AAD◆随机事件的判断方法判断一个事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件，关键看它在一定的条件下的发生情况.若可能发生，也可能不发生，则是随机事件；若一定会发生，则是必然事件；若一定不会发生，则是不可能事件.需要注意的是这里的条件对事件是否发生的判断十分关键.

【提示】随机事件应满足的三个条件（1）试验可以在相同条件