2023中考数学(北师大版)图形的相似讲义

第四章图形的相似

一本章知识点

1、线段的比：在同一单位长度下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。

2、成比例线段：对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的长度的比与另外两条线段的长

度的比相等，即£,£（或a：b=c：d）,那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

bd

此时也称这四条线段成比例。

注：在油二cd中，a叫做第一比例项，6叫做第二比例项，c叫做第三比例项，d国做第四比

例项。

如果a:b=c:d,那么ad=cbo特别地，假设a:b=6:d,即b2=ad,那么b叫a,d的比

例中项，

3、根本性质：@=£Oad=cb比例式与乘积式互化：

bd

如果那么a庐A；反之亦成立；如果a:g那么反之亦成立

*等积式先变4个比例式一上下颠倒或左右互换

①如果a由be,那么q=£；②更换内项q=2；

bcl\cd

③更换外项g=£；④同时更换内外项4=2；

baca

4、合比定理：9=£=包=包（在分子上进行加或减）（了解）

bdbd

如果q=£,那么①上=£1U②i=匕旦①+②得也=£±旦

bdbdbda-bc-d

5、母笙匚卜J卜/E京理理..—a=—c=m=>a-+-C-+----+--H1-=a—.（,,/?+，,/+•••+〃w0小）

bdn"+4+••,+〃b

6、比例尺：比例尺=图上距离，即图上距离=实际距离X比例尺。

实际距离

7、平行线分三角形两边成比例

平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例.

【如图，..・DE〃BC,・・・1,1,二,及其变形书写】

8、黄金分割：点C把线段AB'分虚两余线段AC、BC,且满足AC'AB・BC（或BCJAC,AB）,那么

点C即为线段AB的黄金分割点，人口八8之（：用（：（或取：法8）即为黄金比.

9、相似三角形的判定

预备定理：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边的延长线），所得的三角形与原三

角形相似.

应用格式：・・・DE〃BC,/.AADE^AABC

作EF〃AB,证Z7BDEF,.\DE=BF；

判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似.D/\E

判定定理2：三边对应成比例，两三角形相似./—7\

判定定理3：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.8“----喉

判定结论4：斜边、直角边对应成比例，两直角三角形相似.'

10、相似三角形的性质

⑴相似三角形的对应角相等，对应边成比例；

（2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；

⑶相似三角形周长的比等于相似比；

⑷相似三角形面积的比等于相似比的平方.

注：相似多边形有类似的性质

11、利用相似三角形测高

1.利用阳光下的影子测物体的高度

测量工具：皮尺

测量方法：量出观侧者的身高以及同一时刻观测者和被测物体的影子的长度。

测量数据：观测者身高、影长和被测物体的影长

测量原理：由太阳光线是平行线得出两个直角三角形相似。

优点：除观测者外不需要其它工具，简单易行，好操作。

缺点：受太阳光的限制，只能在有太阳光时进行操作。

2.利用标杆测物体的高度

测量工具：标杆（高度要高于观测者的身高），皮尺。

测量方法：观测者的眼睛要与标杆的顶端和被测物体的顶端在一条直线上。

测量数据：观测者的眼睛到地面的距离、观测者与标杆的距离、标杆与被测物体的距离。

测量原理：由标杆和被测物体平行得出两个直角三角行相似。

优点：只需要标杆和观测者即可，不受太阳光的限制。

缺点：计算量大。

3.利用镜子的反射测物体的高度

测量工具：小镜子、皮尺。

测量方法：在镜子上做标记，使被测物体顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合。

测量数据：观测者的眼睛与地面的距离、观测者和镜子的距离、镜子和被测物体的距离。

测量原理：由入射角等于反射角得出两个直角三角形相似。

优点：只需要镜子和观测者即可，不受太阳光的限制。

缺点：操作过程稍显复杂。

12、位似：如果两个多边形不仅相似，而旦对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，

像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

13、图形的放大（缩小）

所谓图形的放大与缩小，实际上就是画原图形的相似图形.方法有：位似图形法、平行线法、

测量法、格点法等。

位似图形法：1.确定位似中心；2.连接并延长对应点；3.连接关键点。

14、平面直角坐标系中的图形的位似

在平面直角坐标系中，将一人多边形每个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数k（kWO）,所对

应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为Ik|。

15、证明等积式（比例式）策略

1、直接法：通过证明三角形相似

观察比例式分子中两条线段（三个顶点字母）与分母中两条线段是否在两个（相似）三角形

中；变化：等号同侧的分子与分母组成二角形

2、间接法：（1）3种代换①等线段代换；②等比代换；③等积代换；

⑵创造条件①添加平行线一一创造“A〃字型、“X〃字型②先证其它三角形相似一一创造

边、角条件

二规律与方法

1根本图形及变化图一一给出一对角相等证相似

ED翻转△ADED

给出一对角相-----AD

几个重要模旋转△ADEA

等证相似重要模型（射影无ABAAACD

①ZADE=NABCCB1

s"D的CB

平移平移DE

或NAED=NACB,几个重DEA

对转△ADE-

证平行得相似⑴ADE

②或：根据所给⑵龙公Du，AL:AB二/汽C三CDTBC=ACJAD•AB

条件（同上）加上

⑶△CDBE?ZAttiTW):AB=BC:AOB地段游B

隐含条件（公共⑷⑵亍后)彳；Z:BC2=AD:BD

谦(法得八就麻也・BCf比例式

角或对顶角相⑸

等）证相似(6)特..然.-图--形-----ZACD=ZR(ZA=ZA)^

NB二AD4南©至油

△ABCACDfCD:BC二

“双垂直〃中的计算：

例如图，在RtAABC中，ZACI^9O角盘城

，平移DE

(1)AB=29,AD=4,求CD和AC；//

⑵BC=5,CD=4,求AD和BD；减少字母

⑶BOIO,AD=6,求BD和AC〃

13

(4)CD=10,ADM,求BC和AS:C

B

重要模型2-“一线三等角〃D

（图1）(图2)

例

（1）如图1：三角形ABC中，AB=AC,NADE二NB,那么一定存在的相似三角形有

（2）如图2：三角形ABC中，AB=AC,NDEF二NB,那么一定存在的相似三角形有

见多识广：其他常见的一线三等角图形

例:如，矩形ABCDAB=(DC边上I/BC于F,连结AF.

在E与△CEYAADE与△/EF中,

⑴如桑=似，请证明;相似,浮

⑶如果不尔请指出当Bb时相似.

重要模型三上角形内（外）J等腰梯形中底边

等腰三角形中底用：

三角形内角平分线定理：三角信于它们上一线三等角

边上一线三等角边之比。

三角形外角平分线定理：三角yQUU寸J其夹角的外角平分线外分对边之比

k：!

按以

①过

长线二

直角坐标系

中一线三等角

一选择题

1.以下四组图形中，不是相似图形的是()

3.梯形两底分别为小〃，过梯形的对角线的交点,引平行于底边的直线被两腰所截得的线

段长为()

m+n

(A)竺也(B)迦©必(DJ

mnm+nm+n2nin

4.如图，在正三角形力比中，D,£分别在四上,且AE=BE,那么()

AC3

(A)/\AED^/\BED⑻△他S△物(C)△4垃b△力微(D)△BAMXBCD

题4题6题7

5.尸是7JY△力a'斜边8c上异于B、。的一点,过点产作直线截△484使截得的三角形与

△月以相似，满足这样条件的直线共有()

(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条

6.如图，ZABD=ZACD,图中相似三角形的对数是()

(A)2(B)3(C)4(D)5

7.如图，力露是正方形，£是⑦的中点，尸是勿边上的一点，以下条件中，不能推出△力批

与△£作相似的是()

(A)/APB=/EPC(B)/川的=90°(C)〃是比的中点(D)BP\BC=2：3

8.如图，△力弘中，ADLBC于D,且有以下条件：

(1)N夕+N物。=90°；(2)/B=/DAC；(3)—=—；(4)A#=BD*BC

ADAB

其中一定能够判定笫是直角三角形的共有()

(A)3个⑻2个(C)1个(D)0个

题8题9题10

9.如图，将△/1然绕正方形仍々T顶点力顺时针旋转90。,得△力出；连结3交"于"那

么以下结论中错误的是()

(A)AEVAF(B)EF：AF=41：1(C)力/=加・FE(D)FB：FC=HB：EC

10.如图，在矩形业蛆9中，点少是”上任意一点，那么有()

(A)△力族的周长十△期的周长=△仇万的周长

(B)△力龙的面积+△©宏的面积=2\奴的面积

(C)AABEsADEC(D)XABEs丛EBC

11.如图，在/JABCD中,E为AD上一点,DE：CE=2：3,连结仍BE、BD,且被劭交于

点F,那么8碎.•SM册等于()

(A)4：10：25(B)4：9：25(C)2：3：5(D)2：5：25

题11题12题13

12.如图，直线allb,":FB=3:5,BC-6p=3：1,那么AE'EC为().

(A)5：12(B)9：5(C)12：5(D)3：2

13.如图，矩形纸片力仇》的长4?=9cm,宽力8=3cm,将其折叠，使点〃与点8重合，那

么折叠后庞、的长和折痕的长分别为()

(A)4cm、V10cm(B)5cm、V10cm(C)4cm、273cm(D)5cm^2、Qcm

AED

14.某学生想测量学校旗杆的高度，如图测得学生身高和其影子长均为1.75口，影子长为

13.8m,那么学校旗杆的高度约为〔)

A.15.55mB.13.8m

C.12.05mD.数据不够不能确定

15.如图，小李用长为4m竹竿做测量工具测量学校，竹移动竿，使竹竿、顶端影子恰好落在

地面同一点.此时，竹竿与这一点相距8m,与相距22m,那么高为()

A.llmB.15mC.30mD.60m

16.小红所在的数学兴趣小组运用的反射来测教学楼的，其中不需要测量的量为(

A.人到镜子的距离

B.镜子到教学楼的距离

C.人眼到地面的距离

D.镜子到人眼的距离

17.两个相似三角形的相似比是1:2,其中较小三角形的周长是6CM,那么较大的三角形的周长

3

是（）

A.3CMB.6CMC.9CMD.12CM

18.（2023•鄂州三模）如果两个多边形的比为16：9,那么这两个多边形的比为（）

A.16：9B.4：3C.2：3D.256：81

19.（2023•河北）图中的两个三角形是图形，它们的中心是（）

A.位似图形可以通过平移而相互得到

B.位似图形的对应边平行且相等

C.位似图形的位似中心不是只有一个

D,位似图形上对应点到位似中心的距离都相等

21.以下五个图案：其中，位似图形共有（）

43含个偏

A.1个B.2个C.3个D.4个

一填空题

1.假设AB=lm,CD=25cm,那么AB：CD=；假设线段AB=m,CD=n,那么AB：CD=

2.假设MN：PQ=4：7,那么PQ：MN=,MN=PQ,PQ=MN。

3.假设线段a,b,c,d成比例，其中a=5cm,b=7cm,c=4cm,那么，d=.

4.假设a•b=c•d那么有a:d=___；假设m：x=n：y,那么x:y=.

5.4x—5y=0,那么(x+y):(x—y)的值为.

6.假设x：y：z-2：7：5,且x—2y+3z=6,那么x=,y：,z-；

7.设：［,那么口=,.

357y-----3y-2z-----

8.点C是线段AB的黄金分割点,且AOBC,那么AC：AB=.

9.线段a=6cm,b=2cm,那么a、b、a+b的第四比例项是cm,a+b与

a—b的比例中项是cm.

10.如图，L1ABCD中，E是AB中点，F在AD匕且AF=5FD,EF交AC于G,那么AG：AC

题10题11题12

11.如图，AB〃CD,图中共有对相似三角形.

12.如图，/XABC,P是AB上一点，连结CP,要使△ACPS/XABC,只需添加条件（只

要写出一种适宜的条件）.

13.如图,AD是AABC的角平分线,DE〃AC,EF〃BC,AB=15,AF=4,那么DE的长等于.

题13题14

14.如图，AABC中，AB=AC,AD_LBC于D,AE=EC,AD=18,BE=15,那么

△ABC的面积是.

15.要测量旗杆的高度，己测得旗杆的影长为20m,如果此时附近小树影长为2.5m,且小树

高为1.5m,那么旗杆的高度是m.

16、41.（2023•朝阳）如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻

该项同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m,那么旗杆的高度为m.

17.（2023•龙岗区模拟）如图；课外活动小组测量学校旗杆的高度.如图，在地面上C处放

一小镜子，当镜子离旗杆AB底端6米，小明站在离镜子3米的E处，恰好能看到镜子中旗杆

的顶端，测得小明眼睛D离地面1.5米，那么旗杆AB的高度约是米.

18.为了测量操场中旗杆的高度，小明学习了“太阳光与影子〃，设计了如下列图的测量方案,

根据图中标示的数据可知旗杆的高度为.

19.小华要测量铁塔AB的，他在地面上放置一个平面镜E.与铁塔的距离EB=20m.小华距离

4

ED=2m.此肘小华刚好从中看到铁塔的顶端A.假设小华的眼睛距离地面CD=1.5m,那么铁塔

的是m.

20.如图，空白局部的与阴影局部的相似比是,阴影局部的与大三角形的相似比.

21.,如图，A'B'〃AB,B'C‘〃BC,且0A'：A'AM：3,那么aABC与是位似图

形，比为；△OAB与是位似图形，位似比为

三解答题

1.%格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线

边

的三角形叫做格点三角形.请你在图示的10X10的方格B

中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明(要所

画三角形是钝角三角形，并标明相应字母).

2.如图，AABC与AADB中，ZABC=ZADB=90°,AC=5cm,AB=4cm,如果图中的两个直角三

角形相似，求AD的长。A

3.如图，/ABC是等边三角形，点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相

交于点F.

⑴试说明/ABDg/BCE。(2)/AEF与/ABE相似吗？说说你的理由。

⑶BD』D・DF吗？请说明理由。

4.：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF〃BC,FG〃AD.求

AECG

证A8+=i

5.在正方形ABCD中，AB=2,P是BC边上与B、C不重合的任

意点，DQ_LAP于Q。

(1)试说明ADQASAABP。

(2)当P点在BC上变化时，线段DQ也随之变化。设PA=x,,

D&y,求y与x之间的函数关系式？

6.如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EFJ_EC交AB于F,连结FC(AB>AE).

(1)Z\AEF与aEFC是否相似？假设相似，证明你的结论；假设不相似，请说明理由;

AB

(2)设8C=k,是否存在这样的k值，使得△AEFSZ\BFC,假设存在，证明你的结论并求

出k的值；假设不存在，说明理由.

7.如图，在RtAABC中，ZC=90°,BC=6cm,CA=8cm,动AEp

点P从点C出发，以每秒2cm的速度沿CA、AB运动到点B,

1

么从C点出发多少秒时，可使SZ\BCP=4SZXABC?

8.如图，小华家(点A处)和公路(L)之间竖立着一块35m•长飞需

行于公路的巨型广告牌IDE).广告牌挡住了小华的视线，请在图

出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC.一辆以60km/h--------匀速

行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s,广告牌和公路的距离是40m,

求小华家到公路的距离(精确到1m).

9.阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区(如下列图)，亮区到窗口下的墙脚

距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.

10、如图，在MBC中，AB=ScmfBC=16c”点尸从点A开始，沿A8边向点B以2。〃/$的

速度移动；点。从点8开始，沿边8c向点4c7〃/s以的速度移动，如果尸、Q同时出发，经

过几秒钟，"3Q与AA8C相似?

11、如图，在中，ZC=90°,AC=3f8C