第9章-常微分方程初值问题的数值解法

数值分析第九章常微分方程初值问题的数值解法/*NumericalMethodsforOrdinaryDifferentialEquations*/考虑一阶常微分方程的初值问题/*Initial-ValueProblem*/:只要f(x,y)在[a,b]

R1上连续，且关于y满足Lipschitz

条件，即存在与x,y无关的常数L使对任意定义在[a,b]上的y1(x)和y2(x)都成立，则上述IVP存在唯一解。（1）对于问题(1),要求它的数值解-----------(1)从(1)的表达式可以看出,求它的数值解的关键在于而数值微分或数值积分问题我们都已经学习过要计算出解函数y(x)在一系列节点a=x0<x1<…<xn=b

处的近似值节点间距为步长，通常采用等距节点，即取hi=h

(常数)。§1欧拉方法

/*Euler’sMethod*/

欧拉公式：x0x1向前差商近似导数记为亦称为欧拉折线法

/*Euler’spolygonalarcmethod*/

定义

在假设yi=y(xi)，即第i步计算是精确的前提下，考虑的截断误差Ri=y(xi+1)

yi+1称为局部截断误差/*localtruncationerror*/。定义若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p阶精度。

欧拉法的局部截断误差：欧拉法具有1阶精度。Ri的主项/*leadingterm*/例1.解:由前进Euler公式得依此类推,有01.00000.10001.10000.20001.19180.30001.27740.40001.35820.50001.43510.60001.50900.70001.58030.80001.64980.90001.71781.00001.7848

欧拉公式的改进：

隐式欧拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似导数x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+

)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiii由于未知数yi+1

同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/

欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式。一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。

隐式欧拉法的局部截断误差：即隐式欧拉公式具有1阶精度。Hey!Isn’ttheleadingtermofthelocaltruncationerrorofEuler’smethod?Seemsthatwecanmakeagooduseofit…

梯形公式/*trapezoidformula*/—显、隐式两种算法的平均注：的确有局部截断误差，即梯形公式具有2阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。方法

显式欧拉隐式欧拉梯形公式简单精度低稳定性最好精度低,计算量大精度提高计算量大Can’tyougivemeaformulawithalltheadvantagesyetwithoutanyofthedisadvantages?Doyouthinkitpossible?Well,callmegreedy…OK,let’smakeitpossible.

改进欧拉法

/*modifiedEuler’smethod*/Step1:先用显式欧拉公式作预测，算出),(1iiiiyxfhyy+=+Step2:再将代入隐式梯形公式的右边作校正，得到1+iy)],(),([2111+++++=iiiiiiyxfyxfhyy注：此法亦