10.2 事件的相互独立性 课件（24） 人教A版2019高中数学必修二

10.2事件的相互独立性1.了解两个事件相互独立的概念，掌握判断事件是否相互独立的方法.2.结合古典概型，利用独立性事件计算概率问题.三个臭皮匠，抵个诸葛亮问题1：如何用概率知识解释呢？问题2：若事件A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)，那么对于积事件P(AB)=P(A)P(B)会成立吗？什么条件下能成立？事件的关系或运算含义符号表示概率表示包含A发生导致B发生A⊆BP(A)≤P(B)并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A+B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=ϕ互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=ϕA∪B=ΩP(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B)P(A∪B)=P(A)+P(B)可推广P(A)+P(B)=1下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，

A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.试验2：一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异，

采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.

A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.

（一）事件的相互独立性

1010第一枚第二枚解：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”.

（1，1）（1，0）（0，1）（0，0）

第二次第一次12341234若改为“大于等于3”，即

呢？

第二次第一次12341234直接法：必然事件Ω总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；

不可能事件ϕ总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响.注意：①必然事件Ω、不可能事件ϕ与任意事件A相互独立.定义法：P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)、P(Aϕ)=P(ϕ)=P(A)P(ϕ)要点生成1.事件的相互独立性的定义定义法判断事件是否相互独立对任意两个事件A与B，如果

P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.若事件A发生与否不影响事件B发生的概率，则事件A与B相互独立，从而有P(AB)=P(A)P(B)直接法判断事件是否相互独立计算积事件的概率(前提:A,B独立)②若事件A,B相互独立，则A与B、A与B、A与B也相互独立.举例说明：甲、乙各自射靶，结果互不影响，A=“甲中靶”，B=“乙中靶”③三个事件A、B、C两两互斥，则P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立，但三个事件A、B、C两两独立时，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.推理证明：2.判断事件是否相互独立的方法3.转化法：事件A与事件B是否相互独立，与事件A与

,

与B,

与

是否具有独立性可互相转化.

1.直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.2.定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.

提示：1.列出样本空间；2.找出满足的事件，计算对应的概率；3.进行利用定义（直接法）判断。

第二次第一次12341234

例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:(1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶.析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则A=“甲脱靶”，B=“乙脱靶”.由于两个人射击的结果互不影响，∴A与B相互独立，且A与B，A与B，A与B都相互独立.(1)

“两人都中靶”=AB，∴P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72(2)“恰有1人中靶”=AB∪AB，且AB与AB互斥，∴P(AB∪AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26(3)

“两人都脱靶”=AB，∴P(AB)=P(A)P(B)=0.2×0.1=0.02例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:(1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶.析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则A=“甲脱靶”，B=“乙脱靶”.由于两个人射击的结果互不影响，∴A与B相互独立，且A与B，A与B，A与B都相互独立.[变式]天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内:(1)甲、乙两地都降雨的概率;(2)甲、乙两地都不降雨的概率;(3)至少一个地方降雨的概率.=0.2×0.3=0.06=0.8×0.7=0.56(拆分事件)P(M)=________________________(并事件)P(M)=P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)

=0.2+0.3－0.2×0.3=0.44P(A)=0.2P(B)=0.3P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)－－－－事件M(对立事件)P(M)=1－P(AB)－－=1－0.56=0.44=0.2×0.7+0.8×0.3+0.2×0.3=0.441.甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为

.练一练0.88

即两轮活动中“甲对1个,乙对2个”或“甲对2个,乙对1个”解：设A=“星队两轮活动猜对3个成语”，J1=“甲两轮猜对1个成语”，J2=“甲两轮猜对2个成语”，Y1=“乙两轮猜对1个成语”，Y2=“乙两轮猜对2个成语”，则A=J1Y2∪J2Y1,且J1Y2与J2Y1互斥,且J1,Y2独立,J2,Y1独立,∴P(A)=P(J1Y2∪J2Y1)=P(J1Y2)＋P(J2Y1)

=P(J1)P(Y2)＋P(J2)P(Y1)想一想：

互斥事件和相互独立事件一样吗？如何区分呢？互斥事件和相互独立事件是两个不同概念:两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生;（计算和事件概率）两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.（计算积事件概率）不一样P(A+B)=P(A)+P(B)

P(AB)=P(A)P(B)2.判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．(1)掷一枚骰子一次，事件M:“出现的点数为奇数”；事件N:“出现的点数为偶数”.(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．M＝{1,3,5}，N＝{2,4,6}，MN＝ϕP(MN)≠P(M)P(N)M、N互斥但不相互独立M＝{2,4,6}，N＝{3,6}，MN＝{6}P(MN)=P(M)P(N)M、N相互独立但不互斥注：若P(A)>0，P(B)>0，则事件A、B相互独立与事件A、B互斥不能同时成立练一练3.(问题解决）假设已知诸葛亮独自解出问题的概率为0.8，臭皮匠老大独自解出问题的概率为0.5，老二独自解出问题的概率为0.45，老三独自解出问题的概率为0.4，问三个臭皮匠中至少有一个人解出问题的概率与诸葛亮一人解出问题的概