二根次式的加法与减法课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

第十九章二次根式19.3二根次式的加法与减法第十九章二次根式19.3二根次式的加法与减法第1课时二次根式的加减目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入新课导入教学目标教学重点1.了解二次根式的加、减运算法则.（重点）2.会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.

（难点）学习目标问题1满足什么条件的根式是最简二次根式?问题2化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点?（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.化简后被开方数相同新课导入讲授新课典例精讲归纳总结aaaaaaaaaa=+在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考.由上图，易得2a+3a=5a.当a=时，分别代入左右得

;当a=时，分别代入左右得

;......

一、被开方数相同的二次根式你发现了什么？讲授新课因为

，由前面知两者可以合并.

你又有什么发现吗?

当a=,b=时，得2a+3b=.a2a+3bb=+bba这两个二次根式可以合并吗？前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：归纳总结一般地，可以先将二次根式化成最简二次根式，对于被开方数相同的二次根式可以进行合并.

注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：导引：首先把选项中每个根式化成最简二次根式，然后

找出被开方数不是3的二次根式．即例1下列根式中，不能与

合并的是(

)A.

B.

C.

D.C变式1

若最简根式

与可以合并，求的值.解：由题意得解得即

确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，根指数都为2，列关于待定字母的方程求解即可.归纳1.下列各式中，与是同类二次根式的是（）A.B.C.D.C2.与最简二次根式能合并，则m=_____.1练一练：二、二次根式的加减问题现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？7.5dm5dm问题1

怎样列式求两个正方形边长的和?S=8dm2S=18dm2问题2

所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.（化成最简二次根式）（逆用分配律）∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．解：列式如下：在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立.归纳总结二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简；加减法的运算步骤：(2)找——找出被开方数相同的二次根式；(3)并——把被开方数相同的二次根式合并.

“一化

二找

三合并”化为最简二次根式用分配律合并整式加减二次根式性质分配律整式加减法则依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.

基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．例2

计算:解：例3计算:解：有括号，先去括号1下列计算是否正确？为什么？

(1)(2)(3)解：(1)错误；(2)错误；(3)正确.练一练：解：2.计算当堂练习当堂反馈即学即用2.下列计算正确的是(

)A.B．

C．D.D

1.与

是同类二次根式的是(

)A.B.C.D.C当堂练习3.若最简二次根式与可以进行合并，则m的值为(

)A．－1B．0C．1D．2D4.三角形的三边长分别为则这个三角形的周长为__________.

5.计算:解：6.计算:解：7.下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02m2和150.72m2，求圆环的宽度d（π取3.14）.d解：设大圆和小圆的半径分别为R，r，面积分别为，，由，

可知则答：圆环的宽度为d8.

已知a,b,c满足.(1)求a,b,c的值；(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.解：(1)由题意得；(2)能.理由如下：∵即a＜c＜b，又∵∴a+c＞b，∴能构成三角形，周长为分析：(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必须为零；(2)根据三角形的三边关系来判断.课堂小结归纳总结构建脉络二次根式加减法则注意运算顺序运算原理一般地，二次根式的加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.运算律仍然适用与实数的运算顺序一样课堂小结第十九章二次根式19.3二根次式的加法与减法第2课时二次根式的混合运算目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入新课导入教学目标教学重点学习目标1.掌握二次根式的混合运算的运算法则.（重点）2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.（难点）问题1

单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么?问题2多项式与单项式的除法法则是什么?m(a+b+c)=ma+mb+mc；(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb回顾复习(ma+mb+mc)÷m=a+b+c新课导入分配律

单×多

转化

前面两个问题的思路是：思考若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？

单×单

讲授新课典例精讲归纳总结

一、二次根式的混合运算

二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.例1计算：

解：讲授新课解：此处类比“多项式×多项式”即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.

二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要先算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.归纳解：(1)原式(2)原式【变式题】计算：

有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.归纳问题1

整式乘法运算中的乘法公式有哪些?平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.二、利用乘法公式进行二次根式的运算问题2

整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用哟例2

计算：

解：

解：

进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式、因式分解等来简化运算.归纳【变式题】计算：

计算：练一练：例3

已知试求x2+2xy+y2的值.解：x2+2xy+y2=（x+y)2把代入上式得原式=

三、求代数式的值解:∵，∴∴x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy]【变式题】

已知，求x3y+xy3.归纳：用整体代入法求代数式值的方法：求关于x,y的对称式(即交换任意两个字母的位置后，代数式不变)的值，一般先求x+y,xy,x-y,等的值，然后将所求代数式适当变形成只含x+y,xy