《工程光学》第一章习题及答案

《工程光学》第一章习题及答案一、基础概念题习题1简述几何光学的三大基本定律，说明各定律的核心内容及适用条件。答案几何光学三大基本定律分别为光的直线传播定律、反射定律和折射定律，核心内容及适用条件如下：光的直线传播定律：核心内容——在同种均匀透明介质中，光沿直线传播。适用条件——介质均匀、透明，且不考虑光的衍射效应（光的波长远小于传播路径上的障碍物尺寸）。光的反射定律：核心内容——反射光线、入射光线和法线在同一平面内（反射面的法平面），反射光线与入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角（即∠i=∠i'，其中i为入射角，i'为反射角）。适用条件——光照射到两种介质的分界面上，且分界面为光滑平面（镜面反射）；粗糙表面会发生漫反射，仍遵循反射定律，但反射光线向各个方向发散。光的折射定律（斯涅尔定律）：核心内容——折射光线、入射光线和法线在同一平面内，入射光线与折射光线分别位于法线两侧，入射角的正弦与折射角的正弦之比等于两种介质的折射率之比（即n₁sini=n₂sinr，其中n₁为入射介质折射率，n₂为折射介质折射率，i为入射角，r为折射角）。适用条件——光从一种均匀透明介质入射到另一种均匀透明介质的光滑分界面，且不发生全反射。习题2解释折射率的物理意义，说明真空中的光速与介质中光速的关系，并简述影响介质折射率的因素。答案1.折射率的物理意义：折射率（n）是表征介质光学性质的重要参数，反映了光在介质中传播速度相对于真空中传播速度的减慢程度，也反映了光从一种介质入射到另一种介质时的偏折程度。2.真空中光速与介质中光速的关系：设真空中的光速为c，介质中的光速为v，则折射率与光速的关系为n=c/v，变形可得v=c/n。由此可知，介质折射率越大，光在其中传播的速度越慢。3.影响介质折射率的因素：①介质本身的性质（不同介质的折射率不同，如水的折射率n=1.333，冕牌玻璃n=1.51）；②光的波长（同一介质对不同波长的光折射率不同，即色散现象，如可见光中，介质对紫光的折射率大于对红光的折射率）；③温度（多数介质的折射率随温度升高而略有减小，温度变化会影响介质的密度，进而影响光速）。习题3什么是全反射现象？简述全反射的发生条件及实际应用（列举2个）。答案1.全反射现象：当光从光密介质（折射率较大的介质）入射到光疏介质（折射率较小的介质）时，若入射角大于某一临界角，折射光线会消失，入射光线全部被反射回光密介质，这种现象称为全反射。2.全反射的发生条件（缺一不可）：①光从光密介质入射到光疏介质（n₁>n₂）；②入射角大于等于临界角（i≥i₀，其中临界角i₀满足sini₀=n₂/n₁）。3.实际应用：①光纤通信：利用光纤芯（光密介质）和包层（光疏介质）的全反射效应，使光信号在光纤内沿芯线传播，减少信号损耗；②全反射棱镜：如潜望镜、binoculars中的直角棱镜，利用全反射改变光的传播方向，替代反射镜，减少反射损耗，提高成像质量。二、计算题习题1已知真空中的光速c=3×10⁸m/s，求光在水（n=1.333）、冕牌玻璃（n=1.51）、火石玻璃（n=1.65）、加拿大树胶（n=1.526）、金刚石（n=2.417）等介质中的光速。答案根据折射率与光速的关系n=c/v，变形可得v=c/n，代入各介质的折射率计算如下：水中（n=1.333）：v=3×10⁸/1.333≈2.25×10⁸m/s；冕牌玻璃（n=1.51）：v=3×10⁸/1.51≈1.99×10⁸m/s；火石玻璃（n=1.65）：v=3×10⁸/1.65≈1.82×10⁸m/s；加拿大树胶（n=1.526）：v=3×10⁸/1.526≈1.97×10⁸m/s；金刚石（n=2.417）：v=3×10⁸/2.417≈1.24×10⁸m/s。结论：介质折射率越大，光在其中传播的速度越慢，金刚石中光速最慢，水中光速最快。习题2一物体经针孔相机在屏上成一60mm大小的像，若将屏拉远50mm，则像的大小变为70mm，求屏到针孔的初始距离。答案针孔相机的成像原理基于光的直线传播，物、针孔、像三者构成相似三角形，根据相似三角形对应边成比例的性质求解。设屏到针孔的初始距离为x（单位：mm），物体的实际大小为y（单位：mm）。初始状态：像长60mm，屏到针孔距离x，根据相似三角形可得：y/60=物到针孔距离/x①；屏拉远后：屏到针孔距离变为x+50mm，像长70mm，同理可得：y/70=物到针孔距离/(x+50)②；联立①②两式，消去y和物到针孔距离，可得：60/70=x/(x+50)；交叉相乘求解：60(x+50)=70x→60x+3000=70x→10x=3000→x=300mm。结论：屏到针孔的初始距离为300mm。习题3一厚度为200mm的平行平板玻璃（n=1.5），下面放一直径为1mm的金属片。若在玻璃板上盖一圆形的纸片，要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属片，问纸片的最小直径应为多少？答案要使玻璃板上方任何方向都看不到金属片，需让金属片发出的光线在玻璃与空气的分界面上发生全反射，无法折射到空气中，因此纸片的最小直径需满足：光线从金属片边缘射向玻璃上表面时，入射角恰好等于全反射临界角。步骤1：计算全反射临界角i₀。玻璃（n₁=1.5）为光密介质，空气（n₂=1）为光疏介质，根据临界角公式sini₀=n₂/n₁，代入数据得：sini₀=1/1.5≈0.6667，因此i₀=arcsin(0.6667)≈41.81°。步骤2：根据几何关系计算纸片最小半径。设玻璃厚度为d=200mm，纸片最小半径为x，金属片直径为1mm（半径为0.5mm）。由几何关系可知，tani₀=（纸片半径-金属片半径）/玻璃厚度，即tani₀=(x-0.5)/d；已知tan41.81°≈0.8944，代入d=200mm，得：0.8944=(x-0.5)/200→x-0.5=0.8944×200≈178.88→x≈179.38mm。步骤3：计算纸片最小直径。直径=2×半径=2×179.38≈358.76mm，约为358.8mm。结论：纸片的最小直径约为358.8mm。习题4光纤芯的折射率为n₁，包层的折射率为n₂，光纤所在介质的折射率为n₀，求光纤的数值孔径（即n₀sinI₁，其中I₁为光在光纤内能以全反射方式传播时在入射端面的最大入射角）。答案光纤的数值孔径（NA）反映了光纤接收光线的能力，其核心是利用光纤芯与包层的全反射效应，结合折射定律推导得出。步骤1：分析入射端面的折射过程。光从光纤所在介质（折射率n₀）入射到光纤芯（折射率n₁），根据折射定律：n₀sinI₁=n₁sinI₂①，其中I₁为入射端面的入射角，I₂为折射角。步骤2：分析光纤芯与包层分界面的全反射条件。光在光纤芯内传播，到达芯与包层的分界面时，需满足全反射条件才能持续传播，即：①光密介质到光疏介质（n₁>n₂）；②入射角（I₃）≥临界角（i₀）。由几何关系可知，折射角I₂与芯包层分界面的入射角I₃互余（I₂+I₃=90°），因此sinI₃=sin(90°-I₂)=cosI₂②。步骤3：结合全反射临界角公式。全反射临界角i₀满足sini₀=n₂/n₁，当I₃=i₀时，I₁达到最大，此时sinI₃=n₂/n₁③。步骤4：联立推导数值孔径。将②③代入①，结合三角恒等式cosI₂=√(1-sin²I₂)，可得：n₀sinI₁=n₁sinI₂=n₁√(1-cos²I₂)=n₁√(1-(n₂/n₁)²)=√(n₁²-n₂²)。结论：光纤的数值孔径NA=n₀sinI₁=√(n₁²-n₂²)，其大小仅与光纤芯和包层的折射率有关，与光纤的几何尺寸无关。习题5一束平行细光束入射到一半径r=30mm、折射率n=1.5的玻璃球上，求其会聚点的位置。如果在凸面镀反射膜，其会聚点应在何处？如果在凹面镀反射膜，则反射光束在玻璃中的会聚点又在何处？反射光束经前表面折射后，会聚点又在何处？说明各会聚点的虚实。答案本题可利用单个折射面和反射面的高斯公式求解，设玻璃球的凸面为第一面，凹面为第二面，玻璃球直径d=2r=60mm，入射光束为平行光（物距l=∞）。###（1）无镀膜时，平行光入射玻璃球的会聚点位置使用单个折射面高斯公式：n'/l'-n/l=(n'-n)/r，其中n为入射介质折射率（空气n=1），n'为折射介质折射率（玻璃n'=1.5）。①第一面（凸面，r₁=30mm）：l₁=∞，代入公式得：1.5/l₁'-1/∞=(1.5-1)/30→l₁'=(1.5×30)/0.5=90mm（光线在玻璃内传播，位于第一面后90mm处）。②第二面（凹面，r₂=-30mm）：光线到达第二面时，物距l₂=l₁'-d=90-60=30mm（玻璃内的物，n₂=1.5），出射介质为空气（n₂'=1），代入公式得：1/l₂'-1.5/30=(1-1.5)/(-30)→1/l₂'-0.05=0.05→l₂'=10mm？修正：重新计算：(1-1.5)/(-30)=0.5/30≈0.0167，因此1/l₂'=1.5/30+0.0167≈0.05+0.0167=0.0667→l₂'=15mm。结论：无镀膜时，会聚点位于第二面（玻璃球凹面）后15mm处，为实像（实际光线会聚形成）。###（2）凸面（第一面）镀反射膜，会聚点位置凸面镀膜后，相当于凸面镜，反射公式为：1/l'+1/l=2/r（符号约定：凸面镜r为正）。入射光束平行（l=∞），代入公式得：1/l'+1/∞=2/30→l'=15mm。结论：会聚点位于第一面（凸面）右侧15mm处，为虚像（反射光线的反向延长线会聚形成）。###（3）凹面（第二面）镀反射膜，玻璃内的会聚点位置①先经过第一面折射：同（1）中①，l₁'=90mm，光线到达第二面时，物距l₂=90-60=30mm（玻璃内的实物，n=1.5）。②第二面镀反射膜，相当于凹面镜（r₂=-30mm，凹面镜r为负），反射公式：1/l'+1/l=2/r，代入l₂=30mm，r=-30mm得：1/l₂'+1/30=2/(-30)→1/l₂'=-2/30-1/30=-1/10→l₂'=-10mm。结论：玻璃内的会聚点位于第二面（凹面）前10mm处，为实像（反射光线实际会聚形成）。###（4）凹面镀反射膜，反射光束经前表面折射后的会聚点位置由（3）可知，玻璃内的反射会聚点位于第二面前10mm处，该点作为前表面（第一面）的物，物距l₃=d-|l₂'|=60-10=50mm（玻璃内的物，n₃=1.5），出射介质为空气（n₃'=1），代入折射公式：1/l₃'-1.5/50=(1-1.5)/30→1/l₃'-0.03=-0.5/30≈-0.0167→1/l₃'=0.03-0.0167=0.0133→l₃'=75mm。结论：经前表面折射后，会聚点位于第一面（凸面）后75mm处，为虚像（折射光线的反向延长线会聚形成）。三、综合应用题习题1一直径为400mm、折射率为1.5的玻璃球中有两个小气泡，一个位于球心，另一个位于1/2半径处。沿两气泡连线方向在球两边观察，问看到的气泡在何处？如果在水中观察，看到的气泡又在何处？答案设玻璃球半径R=200mm，折射率n₁=1.5，空气折射率n₂=1，水的折射率n水=1.333；气泡A位于球心（距离球心O=0mm），气泡B位于1/2半径处（距离球心O=100mm），沿两气泡连线观察，即光线沿球的直径方向入射。###（一）在空气中观察（n₂=1）利用单个折射面高斯公式：n₂/l'-n₁/l=(n₂-n₁)/r，其中r为球面半径（观察侧球面的半径，若从左侧观察，r=-200mm；从右侧观察，r=200mm），l为气泡到观察侧球面的距离。1.观察气泡A（球心处）：无论从左侧还是右侧观察，气泡A到观察侧球面的距离l=R=200mm，代入公式：1/l'-1.5/200=(1-1.5)/r；由于气泡在球心，r与l同方向，且l=R，代入r=±200mm，均可解得l'=200mm（与实际位置重合）。结论：空气中观察球心处的气泡A，看到的位置与实际位置一致（球心处），为实像。2.观察气泡B（1/2半径处）：①从左侧观察：气泡B到左侧球面的距离l=200-100=100mm，r=-200mm，代入公式：1/l'-1.5/100=(1-1.5)/(-200)→1/l'=0.015+0.0025=0.0175→l'≈57.14mm（位于左侧球面后57.14mm处）。②从右侧观察：气