河北保定市2026届高三第一次模拟考试数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河北保定市2026届高三第一次模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在复平面内，复数z=A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设集合A=xx≥1，BA．xx>−1 B．xx≥3．在空间直角坐标系中，平面α经过点P01,2,1，且以v=A．2x+y+z−5=04．已知Sn为等差数列an的前n项和，a3=2，SA．190 B．180 C．130 D．1105．已知a，b是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则“a与A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．平面内三个向量a，b，c满足a=b=a·b=A．2−3 B．2+3 C．7．抛物线C:y2=4x的焦点为F，动点P在抛物线C的准线上，O为坐标原点，当A．24 B．22 C．2 8．已知a∈R，b>0，若∀x∈0A．12lnπ2 B．14ln二、多选题9．已知函数fx=sinA．fx最小正周期为B．当x∈−π4C．fx的图象关于直线xD．将函数y=sin2x的图象向左平移10．圆x2+y2=A．−1,−43 B．−111．某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片良品率为p0<pA．若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74B．若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9C．甲设备检测该芯片为良品的概率为0.8D．甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为9三、填空题12．若1+2x513．已知函数fx=alnx+e14．在数列每相邻两项之间插入此两项中后一项的3倍与前一项之差，形成新的数列．现将数列2，1进行这样操作，第一次得到数列2，1，1，第二次得到数列2，1，1，2，1，…，将上述数列排成如图所示的数阵，则数阵中第10行共有______项，第n行所有项的和为______．四、解答题15．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c(1)求fA(2)若a2+b2<16．某市体育局为调研市民体育锻炼情况与健康水平的关联性，随机抽取了120名18岁~60岁市民进行调查．将每周锻炼不少于3次的市民归为“高频锻炼组”，不足3次的归为“低频锻炼组”；体质检测达到《国民体质测定标准》优秀和良好等级的定为“体质达标”，否则为“体质不达标”．调查结果整理为如下不完整的2×体质达标体质不达标合计高频锻炼组m1560低频锻炼组25vu合计st120附：χ2=nα0.0500.0100.0050.001x3.8416.6357.87910.828(1)请根据列联表中的数据，写出m，v，s，t，u的值；(2)依据小概率值α=(3)该市计划从抽到的120人中体质不达标市民中抽取部分人员开展“科学健身指导”活动，现按高频锻炼组和低频锻炼组分层，通过分层抽样抽取10人展开指导活动，再从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，求抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率．17．已知函数fx(1)当a=2时，求这个函数图象在(2)证明：当a>3时，∃x18．在平面直角坐标系中，定义Ax1,y1，Bx2,y(1)请分析“曼哈顿椭圆”的对称性，并求出它的面积（用a,(2)当a=4，c=6017时，该“曼哈顿椭圆”的顶点都在椭圆C上，过点D0,（ⅰ）求椭圆C的方程；（ⅱ）判断直线EF与圆M19．某个圆锥容器的轴截面是边长为8的等边三角形（容器壁厚度忽略不计），一个半径为r的小球在该容器内自由运动，小球能接触到的容器内壁侧面的区域可以形成一个圆台侧面，设该圆台上下底面圆心为O1和O(1)求圆台O1O2(2)设小球半径r=3，圆台O1O2的轴截面为等腰梯形A1ACC1，B为底面圆周上一点，且AB(3)在第（2）问条件下的圆台O1答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《河北保定市2026届高三第一次模拟考试数学试题》参考答案题号12345678910答案CDABADBBACABC题号11答案ACD1．C【详解】试题分析：1−2i考点：复数的代数运算及几何意义．2．D【详解】由x≥1解得：x≤-1或x由x-2x+1所以A3．A【分析】根据平面经过点P0x0,y【详解】结合题意，由平面的点法式方程可得2x−14．B【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式，先求得首项a1和公差d，再结合前n项和公式，即可求得S【详解】设等差数列an的首项为a1，公差为根据题意，可得a3=a解得a1=−所以S155．A【解析】根据面面平行的判定定理分析即可.【详解】过b作平面γ，使平面γ∩平面α=l，由线面平行的性质定理可得l∥b，因为a异面直线，所以l与a必然相交，（否则有l∥a，l∥b得到a∥b，与a与b是异面直线矛盾），所以由面面平行的判定定理知α∥β；反过来若α∥β，则a与b不一定为异面直线，可能a∥b，故“a与b为异面直线”是“α∥β”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到面面平行的判定定理，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.6．D【分析】建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，并分析该方程的几何意义，将要求的c的最大值，转化为求圆上的点到原点距离的最大值，利用几何图形的性质求解.【详解】根据点积公式a⋅b=ab即cosθ=12​，故建立平面直角坐标系，设a=2,0，记点A(2,0)，B(1,3题意给出a−c,得AB=(2−1)代入得2sinπ6=4=2AB的中点D32,3过点D,O1分别作垂线，垂足为M,N又DM=32，所以O1N=即满足∠ACB原点到圆心的距离OO原点到圆上点的最大距离为OO即c的最大值为2+7．B【分析】先根据抛物线的标准方程，确定焦点的坐标和准线方程，所以设出点P的坐标−1,t,t≠0【详解】由题意知抛物线C:y2=4设P−1,在△OPF中，显然=1令t2+2由于−2u2故当1u=14时，此时cos∠OP此时1u=14，即则△OPF8．B【分析】根据x∈(0,π2]以及sinbx的符号变化将b的范围分成三类0<b【详解】由题意可知，对任意x∈(由sinb当0<b≤2时，有πb此时只要求lnx-a故ab≥lnπ2当2<b≤4时，πb∈0此时要求lnx-a在x∈(πb,π2由此可得a=lnπ令fb=ln由于eπ≈8.54>因此，fb的最小值为f4=lnπ当b>4时，2πb<π2，因此，在x在x∈πb,2πb在x∈(2πb,π2]因此需要同时满足a=lnπ综上所述，即ab的最小值为19．AC【详解】对于A，fx最小正周期为T对于B，当x=π6对于C，令2x+π6=kπ对于D，将函数y=sin2x的图象向左平移10．ABC【分析】首先求出两圆的圆心与半径，再利用公切线方程求解交点坐标即可.【详解】如图，作出符合题意的图形，

由题意得x2+y2=将x2+y2-6x圆心距O1所以共有三条公切线，两两相交可得三个交点.外公切线交点在连心线延长线上，由位似性质得交点为P-由图可得一条外公切线为l1设另一条外公切线方程为y+由圆心到切线距离等于半径得4k解得k=724两圆联立且内公切线的切点在连心线O1所以切点坐标为35,45，内公切线斜率为此时两两交点l1l1∩l故选项D不是公切线交点.11．ACD【分析】设事件A表示“甲设备检测为良品”，事件B表示“乙设备检测为良品”，事件C表示“芯片为良品”，事件C表示“芯片为次品”，选项A，若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率如下，为PA|CPB|C【详解】设事件A表示“甲设备检测为良品”，事件B表示“乙设备检测为良品”，事件C表示“芯片为良品”，事件C表示“芯片为次品”，则PA|C=0.9PB|C=0.2选项A，若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率如下，为P=0.9选项B，若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率如下，是1-选项C，由题意得甲设备检测该芯片为良品的概率如下，为PA=0.9选项D，而甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率如下，为PC12．32【分析】利用赋值法求解即可.【详解】令x=1213．−【分析】根据函数的单调性与导数的关系，将问题转化为不等式恒成立的问题，再通过参数分离即可求出.【详解】函数fx=alnx因为函数fx=a所以f′x≥0在1,所以a≥−xex因为x∈1,+∞故gx在1故gxmax=g114．5133【详解】设第n次操作后所得数阵的项数为an，则a1=所以an+1所以an所以an−1=2因为a10=2设第n行的各项构成数列bi，i=1,2因为每操作一次，是在数列每相邻两项之间插入此两项中后一项的3倍与前一项之差，形成新的数列，所以增加的所有项的和为：i=12n−13bi所以Sn+1=Sn+2S且S1所以Sn−52是以所以Sn−515．(1)π(2)2,【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简fA=2（2）由fA=0求出A，由a2+b2<c【详解】（1）由fA化简得fA令z=2A+π因为y=sinz，z由π2≤2∴函数y=fA（2）∵fA=0又∵A∈0,π,由已知条件a2+b2<c2∴π2则cb∴0<B<∴cb的取值范围为216．(1)m=45，v=35，u=(2)认为该市市民体育锻炼频次与体质达标有关联(3)4960【分析】（1）利用列联表中行和、列和与总数之间的关系，通过简单的加减法运算求出m,（2）根据第（1）问求出的数据，代入卡方公式计算χ2（3）先求出高频锻炼组和低频锻炼组人数，然后根据分层抽样求出每组应抽取的人数，然后计算抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率.【详解】（1）由列联表数据关系可知，m=60−15=45，u=120−60=60，v=60−（2）零假设H0根据列联表数据，计算χ由于χ2≈13.714>10.828因此，认为该市市民体育锻炼频次与体质达标有关联．（3）体质不达标者，高频锻炼组15人，低频锻炼组35人，按分层抽样抽取10人，则高频锻炼组抽取人数为3人，低频锻炼组抽取人数为7人．从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，事件总数有C10设“抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组”为事件A，则事件A包含“0人来自高频组”和“一人来自高频组”两种情况．则PA所以抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率为496017．(1)e(2)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求函数在点1,（2）方法1：设gx=f′x方法2：令f′x=x−【详解】（1）当a=2∵f1=1−2即切线方程为e+（2）方法1：当a>3，令gx=f令hx=g令h′x>0⇒令h′x<0⇒∵h0=∴∃x0∈a∴gx在0,xgx∴当a>3时，∃x方法2：当a>3，令f′x=令hx=g令h′x>0⇒令h′x>0⇒∵h0=0，∴∃x0∈1∴gx在0,xgx∴当a>3时，∃x18．(1)“曼哈顿椭圆”关于x轴对称，关于y轴对称，关于原点对称；2a(2)（ⅰ）x216+y2【分析】（1）根据曼哈顿距离定义推导轨迹方程，利用绝对值性质判断对称性，分段讨论第一象限图形并求总面积；（2）代入顶点坐标求椭圆标准方程；设切线联立方程，用韦达定理与距离公式判断直线与圆的位置关系.【详解】（1）设“曼哈顿椭圆”上任意一点为Px,y即x+c+所以“曼哈顿椭圆”的方程为x+将方程中x替换为−x，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于y将方程中y替换为−y，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于x同时将方程中x替换为−x，y替换为−只需分析出第一象限的图象即可，当y≥0，0≤当y≥0，x≥其面积为c+（2）（ⅰ）∵a=4，∴椭圆C的左右顶点分别为−4,0设椭圆C的方程为x216+y2即152+64b2（ⅱ）直线EF与圆M设过点D0,1与圆M:x−2y=kx+1设点Fx1,k1x1直线EF的斜率为k故直线EF的方程为y+32k1216因此，圆心M2,0到直线EF的距离为d=【点睛】根据距离定义建立方程；韦达定理处理斜率；圆心到直线的距离可以用于判断直线与圆位置关系.19．(1)−(2)0(3)3个，理由见解析【分析】（1）根据题意求出上下底面圆的半径，然后按照圆台的体积公式求解即可；（2）以O2为原点，以O2B，O2C，O2O1分别为x，（3）根据题意分析小球在圆台O1【详解】（1）设圆台上下底面圆的半径分别为r1，r∵O1F=∴EF=3r，GF=8设上下底面圆的面积为S1，S2，则S1圆台的高h=4（2）延长AA1，CC1交于点H，∵H∈AA1⊂平面A1AB，H∈CC1⊂平面C1C以O2B，O2C，O2O1O20,0,0，A0,−设BQ=λ设平面A1AB的法向量为令x=3，则y=−3同理可求平面O2CQ的法向量为令y=4λ2