《数学归纳法》示范公开课教学课件

数学归纳法导入新课情境一：口袋中有5个吃的东西，如何证明它们都是糖？问题1

数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝

（n∈N），求出数列前4项，你能猜想出这个数列的通项公式吗？（猜想：

）导入新课情境二：数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例．新知探究操作探究：展示多米诺骨牌的动画，探究多米诺骨牌如何才能全部倒下？①第一块骨牌必须要倒下相当于能推倒第一块骨牌②任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则后一块也倒下相当于第k块骨牌能推倒第k＋1块骨牌新知探究问题2

问题1中你的猜想一定是正确的吗？“多米诺骨牌”原理①第一块骨牌倒下；①n＝1验证猜想成立②若第k块倒下，则使得第k＋1块倒下②如果n＝k时，猜想成立．验证猜想验证猜想即

，则当n＝k＋1时，

即n＝k＋1时猜想成立．新知探究概念生成：一般地，证明一个与自然数n有关的命题，可以按照以下步骤进行：（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（n∈N*）时命题成立；（归纳递推）假设n＝k（k≥n0，k∈N*）时命题成立，证明当n＝k＋1命题也成立．完成这两个步骤后，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数n都成立．上述这种证明方法叫做数学归纳法．数学归纳法是完全归纳法的一种．典例分析例1

用数学归纳法证明，对任意的正整数n，都有

分析：按照数学归纳法证明命题的一般步骤，先验证n＝1时等式是否成立，再进行后续假设和论证．证明：（ⅰ）当n＝1时，左边＝12＝1，右边

，所以此时等式成立．（ⅱ）假设n＝k（k≥1）时，等式成立，即

所以，此时n＝k＋1也成立，根据（ⅰ）和（ⅱ）可知，等式对任何正整数都成立．则典例分析证明中的几个注意问题：在第一步中的初始值不一定从1取起，证明应根据具体情况而定．（找准起点，奠基要稳）在第二步中，证明n＝k＋1命题成立时，必须用到n＝k命题成立这一归纳假设，否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系，造成推理无效．（用上假设，递推才真）明确变形目标（写明结论，才算完整）典例分析变式训练：用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n（n＋1）＝

n（n＋1）（n＋2）（2）假设当n＝k时，等式成立，则当n＝k＋1时1×2＋2×3＋3×4＋…＋k（k＋1）＋（k＋1）（k＋2）所以n＝k＋1，公式成立，由（1）（2）可知，当n∈N*时，即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k（k＋1）＝

k（k＋1）（k＋2），＝

k（k＋1）（k＋2）＋（k＋1）（k＋2）＝

（k＋1）（k＋2）＝

（k＋1）[（k＋1）＋1][（k＋1）＋2]公式1×2＋2×3＋3×4＋…＋n（n＋1）＝

n（n＋1）（n＋2）成立．证明：（1）当n＝1时，左边＝1×2＝2，右边＝

×1×2×3＝2，左边＝右边，等式成立；典例分析例2

平面上n个圆把平面最多分成n2－n＋2个区域．证明：（i）显然，一个圆将平面分成2个区域．所以当n＝1时结论成立．（ii）假设当n＝k（k≥1）时，结论成立，即k个圆最多把平面分成k2－k＋2个区域．当n＝1时，n2－n＋2＝2，在此基础上增加一个圆，为使区域最多，应使新增的圆与前k个圆都交于两点，如图所示．于是新增了2k个交点，这2k个交点将新圆分成2k段弧，这2k段弧将所经过的区域一分为二，因此新增了2k个区域，这样k＋1个圆最多把平面分成（k2－k＋2）＋2k＝（k＋1）2－（k＋1）＋2个区域．即当n＝k＋1时结论也成立．所以，结论对任何正整数都成立．典例分析例3

求证：当n是大于或等于5的正整数时，2n＞n2．证明：（i）当n＝5时，25＝32，52＝25，显然25＞52，所以此时命题成立．因为k≥5，所以k2≥5k＞2k＋1，（ii）假设n＝k（其中k≥5）时命题成立，即2k＞k2．因此2k＋1＝2×2k＞2×k2≥k2＋5k＞k2＋2k＋1＝（k＋1）2．可知不等式当n＝k＋1时也成立．综上可知，不等式对任何大于或等于5的正整数n都成立．典例分析证明n＝k＋1时命题成立，要明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设里给出的形式，以便使用归纳假设，然后再去凑出当n＝k＋1时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性．典例分析提升演练：已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（a·b）＝af（b）＋bf（a）（Ⅰ）求f（0），f（1）的值；（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若f（2）＝2，un＝

（n∈N＋），求数列｛un｝的前n项的和Sn．解答：（Ⅰ）f（0）＝f（0·0）＝0·f（0）＋0·f（0）＝0．所以

f（1）＝0．因为

f（1）＝f（1·1）＝1·f（1）＋1·f（1）典例分析提升演练：已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（a·b）＝af（b）＋bf（a）（Ⅰ）求f（0），f（1）的值；（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若f（2）＝2，un＝

（n∈N＋），求数列｛un｝的前n项的和Sn．解答：（Ⅱ）f（x）是奇函数．f（－x）＝f（－1·x）＝－f（x）＋xf（－1）＝－f（x），因此，f（x）为奇函数．证明：因为

f（1）＝f〔（－1）2〕＝－f（－1）－f（－1）＝0，所以f（－1）＝0典例分析提升演练：已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（a·b）＝af（b）＋bf（a）（Ⅰ）求f（0），f（1）的值；（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若f（2）＝2，un＝

（n∈N＋），求数列｛un｝的前n项的和Sn．解答：（Ⅲ）由f（a2）＝af（a）＋af（a）＝2af（a），猜测f（an）＝nan－1f（a）．f（a3）＝a2f（a）＋af（a2）＝2a2f（a），典例分析提升演练：已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（a·b）＝af（b）＋bf（a）（Ⅰ）求f（0），f（1）的值；（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若f（2）＝2，un＝

（n∈N＋），求数列｛un｝的前n项的和Sn．下面用数学归纳法证明：（2）假设当n＝k时，等式成立，即f（ak）＝kak－1f（a）成立，（1）当n＝1时，f（a1）＝1·a0·f（a），等式成立；典例分析提升演练：已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（a·b）＝af（b）＋bf（a）（Ⅰ）求f（0），f（1）的值；（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若f（2）＝2，un＝

（n∈N＋），求数列｛un｝的前n项的和Sn．那么当n＝k＋1时，所以当n＝k＋1时等式仍成立．f（ak＋1）＝akf（a）＋af（ak）＝akf（a）＋kakf（a）＝（k＋1）akf（a），由（1）（2）可知，对任意n∈N＋，f（an）＝nan－1f（a）成立．典例分析提升演练：已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（a·b）＝af（b）＋bf（a）（Ⅰ）求f（0），f（1）的值；（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若f（2）＝2，un＝

（n∈N＋），求数列｛un｝的前n项的和Sn．所以因为

f（2）＝2，f（1）＝＝0，所以（n∈N），因此

（n∈N）．归纳小结归纳推理是合情推理．用归纳推理得到的结论不一定正确．证明和自然数n有关的命题时可以考虑用数学归纳法．数学归纳法：一般地，证明一个与自然数n有关的命题，可以按照以下步骤进行：（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（n∈N*）时命题成立；（归纳递推）假设n＝k（k≥n0，k∈N*）时命题成立，证明当n＝k＋1命题也成立．完成这两个步骤后，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数n都成立．上述这种证明方法叫做数学归纳法．用数学归纳法证明时，一般需要严格按照上面过程中的两个步骤进行，一个是递推的基础，一个是递推的保证，缺一不可．课堂练习1用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＝

（a≠1，n∈N）”在验证n＝1成立时，左边计算所得的结果是（

）A．1

B．1＋a

C．1＋a＋a2

D．1＋a＋a2＋a3B2已知：

，则f（k＋1）等于（）A．

B．C．

D．C课堂练习3用数学归纳法证明：1＋3＋5＋……＋（2n－1）＝n2．证明：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝1（2）假设当n＝k时，等式成立，即1＋3＋5＋……＋（2k－1）＝k2，所以，当n＝1时，左边＝右边，等式成立．那么，当n＝k＋1时，＝k2＋[2（k＋1）－1