第十四讲 概率与统计

第十四讲概率与统计

目录一、概率与统计主题知识的结构性理解二、2016-2019年概率与统计全国新课标一卷试题与特点分析三、概率与统计的典型题型一概率与统计主题知识的结构性理解数据分析选择合适的模型进行分析均匀抽样随机思想对数据的分析处理样本估计总体作出统计推断和解释概率计算统计量的计算计数原理的应用统计量的估计数学运算二、2016-2019年全国新课标（Ⅰ）卷概率与统计

试题与特点分析

1.文理科试题分布2015年2016年2017年2018年2019年第4题相互独立事件第4题几何概型第2题几何概型第3题统计第6题排列组合、古典概型第19题线性回归方程第19题分布列与期望第19题概率、期望、正态分布第10题概率第15题独立事件、分类计数原理第20题概率、函数、二项分布第21题离散型随机变量分布列、统计推断、数列文科2015年2016年2017年2018年2019年第4题古典概型第3题古典概型第4题几何概型第3题统计第5题系统抽样第19题线性回归方程第19题函数、柱形图、平均数第19题相关系数、均值、标准差第19题频率分布直方图、平均数第17题列联表、独立性检验2．近五年全国新课标卷概率与统计试题的特点分析:

全国新课标卷对概率统计的考查比较稳定，基本为一小一大，但2018年为两小一大，分值17分-22分，难度中等偏难。在大数据的时代背景下加强概率与统计的考查可能会成为一种趋势。小题主要考查：抽样方法、用样本估计总体、古典概型、几何概型、二项分布、数学期望、方差等，一道基础小题，试题难度不大，要求较低；大题主要考查：离散型随机变量的分布列、超几何分布、相互独立事件的概率、二项分布、分布列、数学期望与方差、用样本估计总体、线性回归方程、正态分布、独立性检验等，特别注意考查与生活实际问题的联系，学会用数学期望帮助决策。试题特点：（1）题目较长，阅读量较大；（2）题目背景多为生产、生活实际问题；（3）数据多、关系复杂、运算量较大.

从历年的概率与统计试题来看，本主题考题阅读量大，理解难度高，对学生能力要求高，充分考查了考生的抽象概括能力、数据处理能力，还综合考查了运算求解能力、推理论证能力、应用意识等。全国新课标卷数学试题强调以能力立意，突出考查数学建模、数据分析等数学学科核心素养。2015年第19题、2017年第19题、2018年第20题、2019年第21题的题难度较大，变成了高考的压轴题。3、关注易错点

在概率与统计复习中，要准确理解概念，特别要明确概率计算的核心是事件之间的关系，统计问题的核心是样本数据的收集和整理，即随机抽样和用样本估计总体。易错点主要有：套公式计算出错；

事件之间的关系理解不正确；使用排列组合公式时出错；频率分布直方图、茎叶图的基本概念理解不清；二项分布、超几何分布分辨不清；应用独立性检验方法解决问题时出现K2值计算错误。4、2019年全国新课标（Ⅰ）概率与统计试题的特点特点1：基础性全国Ⅰ卷（文科）第6题：某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（

）A．8号学生

B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生分析：本题考查的是抽样方法中的系统抽样，理解系统抽样的特点是关键。抽取100名学生，可分为100组，由于组距为10，因此选出的号码所成为的数列是以10为公差的等差数列，46号学生被抽到，可知被抽的标号为6，16,26……,尾号都为6，故选C.特点2：应用性全国Ⅰ卷（理科）第15题：甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．解析：本题从试题中体现体育，引入非常普及的篮球运动比赛，以普遍存在的比赛结果的预估和比赛场次的安排提出问题，考查学生应用独立事件、统计推断等数学知识、方法解决问题.特点3：创新性

全国Ⅰ卷（理科）第21题信息量大、情景陌生，除了考查概率与统计的知识外，还综合考查等比数列的证明与数列求和等相关知识，具有较大的创新性.三、概率与统计的典型题型1.离散型随机变量的期望与方差随机变量判断是否符合两点分布、二项分布、超几何分布符合公式求值两点分布

二项分布

超几何分布

M为次品数N为总数不符合理解X的含义写出X的可能取值求出X取每个值的概率写出X的分布列

根据定义根据定义

二项分布与超几何分布的区别联系在含有M件次品的N（N>M）件产品中，任取n件，其中恰有X件次品．①若采用无放回抽样方式，则X服从超几何分布；②若采用有放回抽样方式，则X服从二项分布；③若采用无放回抽样方式，当N很大而n较小时，每次抽出产品后，次品率近似不变，每次抽样的结果可以近似看成是相互独立的，X近似服从二项分布．2.二项分布与超几何分布的区别联系超几何分布二项分布2.用样本估计总体从总体中抽取样本形一表三图数数字特征频率分布直方图频率分布折线图茎叶图频率分布表组距频率/组距频率小长方形的面积叶和茎上数字的区别与联系利用茎上数据判断中位数大致位置制图、识图、用图众数中位数平均数方差标准差理解含义并知道如何求解3.正态分布正态分布形正态分布曲线数单峰性对称性对称轴最高点坐标非标准正态转化为标准正态决定左右位置

决定曲线“高矮胖瘦”

了解曲线走势

转化

转化

标准正态分布

4.线性相关已知数据散点图

非线性回归

形描点数

线性关系根据曲线形状判断回归方程类型数学变换求得方程系数最小二乘估计线性回归方程数学变换数学运算非线性回归方程线性回归

代入公式

代入公式

5.独立性检验已知数据作出2×2列联表

数学运算公式法

6.概率与统计综合概率与统计概率随机事件的概率等可能事件的概率互斥事件的概率相互独立事件的概率应用随机变量离散型随机变量的分布列离散型随机变量的期望与方差统计抽样方法总体分布的估计正态分布线性分布独立性检验审清楚题意识别模型找数量关系建解决方案识别模型处理所给数据得题目答案

批判性不足问题所在：部分“一题多解”只是平铺直叙、平行并列、缺少亮点、高潮和深层结构的揭示一题多解的潜在功能多角度审视有助于接近问题的深层结构一个问题沟通的不同的知识，有助于形成优化的认知结构难点的确定与突破有待改善虽在分析思路时，针对重难点讲解，但未明确难点个数及位置，采用什么方法及方法的实质，从中可获得的解题或教学启示。讲解缺少思路揭示，过程过于条理化和流畅；

方向的思路分析和思想的本质提炼有待提高难点的确定与突破例2.某电子设备厂生产一种电子元件，质量控制工程师要在产品出厂前将次品检出.估计这个厂生产的电子元件的次品率为0.2%，且电子元件是否为次品相互独立.一般的检测流程是：先把n个（n>1）电子元件串联起来成组进行检验，若检测通过，则全部为正品；若检测不通过，则至少有一个次品，再逐一检测,直到把所有的次品找出.若检验一个电子元件的花费为5分钱，检验一组(n个)电子元件的花费为4+n分钱.

例3.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

例6.某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案A和方案B进行治疗，统计结果如下：

(1)列联表如下：

估计明年常规稻A的单价平均值；在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年