第九章 线性代数

第9章线性代数

行列式第一节矩阵及其运算

第二节矩阵的秩和矩阵初等变换

第三节

线性方程组解的结构第五节

高斯消元法和相容性定理第四节2026/4/22第一节行列式一、二阶和三阶行列式

在初等代数中，用加、减消元法求解一个二元一次方程组a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2(9-1)的具体步骤是：先从方程组(9-1)里消去x2而求得x1，这只要将方程组(9

1)的第1、第2两个式子分别乘以a22与-a12，然后再相加，就得到(a11a22-a12a21)x1=a22b1-a12b2同理，也可以从方程组(9-1)里消去x1而求得x2，这只要将方程组(9-1)的第1、第2两个式子分别乘以-a21与a11，然后再相加，得到(a11a22-a12a21)x2=a11b2-a21b1即(a11a22-a12a21)x1=a22b1-a12b2(a11a22-a12a21)x2=a11b2-a21b1如果未知量x1，x2的系数a11a22-a12a21≠0，那么，这个线性方程组(9-1)有唯一解：x1=a22b1-a12b2a11a22-a12a21，x2=a11b2-a21b1a11a22-a12a21为了便于使用与记忆，我们引进二阶行列式的概念.如果把线性方程组(9-1)中未知量x1，x2的系数按原来的位置写成两行两列的数表，并用两根竖线加以标出，那么，便得到一个二阶行列式，对此除引入字母D作为记号外，还规定：D=a11a12a21a22=a11a22-a12a21(9-2)式(9-2)最右边的式子称为二阶行列式D的展开式.于是，线性方程组(9-1)的解可以表示为x1=b1a12b2a22a11a12a21a22，

x2=a11b1a21b2a11a12a21a22【例1】解方程组x1+2x2+x3=2-2x1+x2-x3=-1x1+3x2-x3=-2.【解】方程组的系数行列式为D=121-21-1

13-1=-11≠0,又计算得D1=221

-11-1

-23-1=5，D2=121

-2-1-1

1-2-1=-2，

D3=122

-21-1

13-2=-23,所以方程组的解是x1=D1/D=-5/11，

x2=D2/D=2/11，

x3=D3/D=23/11.

显然，对于未知数个数等于方程个数的二元、三元线性方程组，当它们的系数行列式不等于零时，利用行列式这一工具求解十分简便，结果也容易记忆.因此我们想到：对于未知数的个数等于方程的个数的n(n>3)元线性方程组，是否也有类似的结果?这就需要引入n(n>3)阶行列式的定义.二、n阶行列式的定义

前面，我们首先定义了二阶行列式，并指出了三阶行列式可通过转化为二阶行列式来计算.下面,按照这种思路给出n阶行列式的一种归纳定义.需要指出的是:当n=1,2,3时,可以利用上述规定求行列式的值,但是当n＞3时,如何求解呢?为了寻求普遍有效的展开方法,下面介绍行列式元素的余子式与代数余子式的概念.定义

在n阶行列式D中,划去元素aij所在第i行、第j列的元素，剩余元素按原顺序组成的一个n-1阶行列式，称为aij的余子式，记为Mij.在Mij前乘上（-1）i+j,称为aij的代数余子式，记为Aij=(-1)i+jMij.定理行列式D等于它的任意一行（列）所有元素与其对应代数余子式的乘积之和.设D的第i行元素ai1,ai2,…,ain对应的代数余子式分别是Ai1，Ai2，…，Ain,则D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin=∑nk=1aikAik.(i=1,2,…,n).(9-6)(9-6）式称为行列式D按第i行展开的展开式.若按第j列展开，则展开式为D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj=∑nk=1akjAkj.(j=1,2,…,n).(9-7)三、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等，即D=DT.性质2交换行列式的两行(列)，行列式变号.交换i，j两行(列)记为ri

rj(ci

cj).推论1若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式为零.证明互换D中相同的两行(列)，有D=-D，故D=0.性质3用数k乘行列式的某一行(列)，等于用数k乘此行列式.将D的行列互换就得到行列式DT称为行列式D的转置行列式.推论2行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.推论3行列式中若有两行(列)元素成正比例，则此行列式为零.性质4:若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,则D等于下列两个行列式之和.性质5:把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.五、利用“三角化”计算行列式

计算行列式时，常用行列式的性质，把它转化为三角形行列式来计算.例如，化为上三角形行列式的步骤是：

如果第一列第一个元素为0，先将第一行与其他行交换，使得第一列第一个元素不为0，然后把第一行分别乘以适当的数加到其他各行，使得第一列除第一个元素外其余元素全为0；再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式；如此继续下去，直至使它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.第二节矩阵及其运算一、矩阵的概念

矩阵这一概念亦如行列式一样，是从研究线性方程组的问题中引出来的.不过行列式是从未知数个数与方程个数相同这种特殊的线性方程组引出的，而矩阵则是从线性方程组的一般形式引出的，所以矩阵比行列式的应用广泛得多.线性方程组的一般形式为：

定义:由m

n个数aij(i

=1,2,···,m;j

=1,2,···,n)排成的m行n列的数表:称为m行n列的矩阵.简称m

n矩阵.记作简记为:A=Am

n=(aij)m

n=(aij).

这m

n个数aij称为矩阵A的(第i行第j列)元素.

横的各排称为矩阵的行，纵的各排称为矩阵的列，aij称为此矩阵的第i行第j列的元素.通常用大写黑体字母A，B，C等表示矩阵，有时为了标明一个矩阵的行数和列数，用Am×n或A=(aij)m×n表示一个m行n列的矩阵.其中有以下7种特例：(1)当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵或（n阶方阵）；(2)当m=1时，矩阵A称为行矩阵，此时A=(a11,a12,…,a1n)；(3)当n=1时，矩阵A称为列矩阵，此时A=a11a21

…

am1(4)当所有的aij=0(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)时，称A为零矩阵，一般记为Om×n或O.（5）n阶矩阵中，主对角线（从左上角到右下角）以外元素皆为零的方阵：A=a10…00a2…0

…………

00…an称为n阶对角矩阵.(6)主对角线上元素皆为1的n阶对角矩阵：E=10…0

01…0

…………

00…1称为n阶单位矩阵，简记为E或En.(7)主对角线下（上）方元素皆为零的矩阵：A=a11a12…a1n

0a22…a2n

…………

00…annB=a110…0a21a22…0

…………an1an2…ann称为上（下）三角矩阵.定义2若矩阵A和矩阵B的行数、列数分别相等，则称A，B为同型矩阵.定义3若矩阵A=(aij)和矩阵B=(bij)为同型矩阵，并且对应的元素相等，即aij=bij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B.二、矩阵的运算1.矩阵的加法定义4设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n为同型矩阵，把矩阵A，B对应元素相加得到新的矩阵C，则称矩阵C为矩阵A与矩阵B的和，记为C=A+B，即C=A+B=a11a12…a1na21a22…a2n

这样就引进了矩阵的加法运算.由定义知，只有同型矩阵才可以相加，不难验证，矩阵加法具有和实数加法相同的性质.矩阵的加法具有以下运算律(设A，B，C都是m×n矩阵)：(1)交换律:A+B=B+A;(2)结合律：A+(B+C)=(A+B)+C.其特例为：O+A=A+O=A定义5设A=(aij)，则(-aij)称做A的负矩阵，记为-A，即-A=-a11-a12…-a1n-a21-a22…-a2n…………-am1-am2…-amn定义6设A=(aij)，B=(bij)，且A，B为同型矩阵，则A-B=A+(-B)=a11a12…a1na21a22…a2nam1am2…amn+-b11-b12…-b1n-b21-b22…-b2n…………-bm1-bm2…-bmn=a11-b11a12-b12…a1n-b1na21-b21a22-b22…a2n-b2n…………am1-bm1am2-bm2…amn-bmn

定义:数

与矩阵A=(aij)的乘积定义为(

aij),记作

A或A

,简称为数乘.即注意：

与不同！数乘矩阵具有以下运算律(设A，B都是m×n矩阵，k，l是任意常数)：(1)分配律：k(A+B)=kA+kB，(k+l)A=kA+lA;(2)结合律：(kl)A=k(lA)=l(kA);(3)0·A=O,1·A=A，(-1)A=-A.3.矩阵的乘法

定义:设A

=

(

aij)是一个m

s矩阵,B

=

(

bij)是一个s

n

矩阵,定义矩阵A与矩阵B的乘积C

=

(

cij)是一个m

n矩阵,其中(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n).并把此乘积记作C=AB.

是A

中的第i

行元素与B

中第j

列的对应元素相乘再相加.例1:例2:当运算可行或作为运算结果时，一阶矩阵可以与数等同看待！例3:

求AB,其中

注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘.例如:不存在.矩阵乘法的运算规律结合律:(AB)C

=

A(BC);分配律:A(B+C)

=

AB+AC,(B+C)A

=BA+CA;(3)

(AB)

=

(

A)B

=

A(

B),其中

为数;当AB有意义时，BA可能无意义！例如:不存在.有意义，但是注意:（1）矩阵乘法一般不满足交换律,即:AB

BA，因此要注意矩阵相乘的次序.一般，AB称为A左乘B，或者B右乘A.四、矩阵的转置

定义:

把矩阵A的行列互换,所得到的新矩阵,叫做矩阵A的转置矩阵,记作AT.例如:(1)(AT)T=A;(