浙江省温州市十校联合体2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷（含解析）

浙江省温州十校联合体2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题一、单选题1．复数的虚部是（

）A． B． C． D．2．设全集，集合，集合，集合，则等于（

）A． B．C． D．3．已知非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知命题是无理数是无理数；命题，使得是奇数，则（

）A．和都是真命题B．和都是真命题C．和都是真命题D．和都是真命题5．在的展开式中项的系数为（

）A．6 B．9 C．12 D．156．已知，则的最小值为（

）A．0 B． C．1 D．7．某公司有12名员工，其中4名是经理，8名是普通员工.现在需要从12名员工中选出6人组成一个至少有2名经理的项目小组，则不同的选择方案共有（

）A．560种 B．616种 C．672种 D．728种8．已知满足，且当时，，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为B．若，则C．，则D．若，则的最大值为210．下列说法正确的是（

）A．若随机变量满足：，则相互独立B．已知随机变量，若，则.C．若的展开式中二项式系数的和为64，则系数最大的项为第4项D．一组数据的经验回归方程为，则当时，残差为111．在四棱锥中，面，，点为的中点，点为的中点，则下列说法正确的是（

）A．B．点到平面的距离为C．三棱锥与三棱锥的外接球半径之比为D．与面交于点则三、填空题12．在中，，则的值是.13．某班级男女生比例，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据平均值为3，方差为4，女生样本数据的平均值为5，方差为2，则该班级全体学生周末在家学习时长的方差的值是.14．在中，是BC的中点，是AD的中点，过点作直线交线段AB、线段AC分别于点，记的面积为，四边形GDCF的面积为，则的最小值.四、解答题15．已知函数(1)求；(2)求的最小正周期和单调增区间.16．在中，分别是角所对的边，点在边上，且满足.(1)求的值；(2)若，求.17．如图，在矩形中，为AD的中点，，将沿BE翻折至的位置，点在上，且(1)求证：平面；(2)若平面平面，求二面角的余弦值.18．已知(1)当时，解关于的不等式；(2)已知有四个零点，且，求；(3)当时，求的最大值，最小值.19．《狼来了》是家喻户晓的寓言，讲述牧童屡次谎称“狼来了”以逗弄村民，结果当狼真的出现时，村民因屡次受骗而不再响应，导致羊群遭受损失的故事.假设在一片草场上有若干村民和一名牧童.每当牧童呼救时，只有当认为应当营救的村民数目不少于全体村民的一半时，全体村民才会赶来营救.若每位村民独立作出“救”与“不救”的决策，其营救意愿均为，求解下列问题：(1)当村民数为4时，求具有救援意愿的村民人数的期望；(2)当村民数为时，求全体村民赶来营救的概率；(3)假设村民数为2，牧童呼救时撒谎的概率为.在正常情况下，每位村民的营救意愿为；但若他们因虚假呼救而白跑，则下次的营救意愿降为.记牧童第次呼救时，村民白跑的概率为，求的表达式.

参考答案1．A【详解】由复数的虚部的定义可知：的虚部为.故选：.2．A【详解】，，故故选：A3．C【详解】因为为非零向量，所以.故选：C.4．D【详解】对于命题，若是无理数，但是是有理数，所以命题是假命题，则是真命题；对于命题由，因为和是两个连续的整数，则必是偶数，故命题是假命题，则为真命题.故选：D.5．B【详解】由于的展开式中的系数是，而.故选：B.6．A【详解】，令，可得：，易知对称轴为，所以当时，取到最小值0，故选：A7．C【详解】“至少有2名经理”包含三种情况：有2名经理，有3名经理，有4名经理，情况一，选2名经理和4名员工，选法有：种；情况二，选3名经理和3名员工，选法有：种；情况三，选4名经理和2名员工，选法有：种；所以不同的选择方案共有：.故选：C.8．B【详解】由，可知函数图像关于对称，又，由累加法可得：，又，所以，故选：B9．ABC【详解】对于A，，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，，当且仅当时取等号，故B正确；对于C，由可得，当时，显然；当时，，因为，所以，，所以，即，故C正确；对于D，由题意可得，则，当时，，不符合题意取不到最大值，故D错误.故选：ABC10．ABD【详解】A选项，，，故，即，则相互独立，A正确；B选项，已知随机变量，若，故和关于对称，故，B正确；C选项，由题意得，解得，展开式的通项公式为，，，令，解得，又，故，所以系数最大的项为第5项，C错误；D选项，，，数据的样本中心点为，将代入中得，解得，所以经验回归方程为，当时，，故残差为，D正确.故选：ABD11．ABD【详解】因为面所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，又面，，点为的中点，点为的中点，则，由中点坐标公式可得，对于A，，，所以，即，故A正确；对于B，设平面的法向量为，由可得，令，可得，又，所以点到平面的距离为，故B正确；对于C，因为面，所以三棱锥的外接球的球心为中点，又，所以其外接球半径为；因为，，，所以，又面所以三棱锥的外接球的球心为的中点，，所以其外接球半径为，所以外接球半径之比为，故C错误；对于D，设，，则，，设平面的法向量为，，由可得，令，则，因为，解得，所以，故D正确.故选：ABD12．【详解】由正弦定理，所以，又，所以，所以，即，即，即，所以.故答案为：13．/【详解】由题，该班全体学生周末在家学习时长的平均数为，所以方差.故答案为：.14．【详解】如图，不妨记的面积为，的面积为，设，因是BC的中点，是AD的中点，则，则，因三点共线，故，即.由图知，，，则，于是，，因，故得，因，则，当且仅当时等号成立，此时取得最小值为.故答案为：.15．(1)(2)，【详解】（1）;（2）则的最小正周期，由，，解得的单调增区间为.16．(1)(2)【详解】（1）法代入，得，，，故，，.法2.，由正弦定理得，代入，得，故，为直角三角形，则，代入，得，所以.（2）法1.中，由正弦定理得，中，由正弦定理得，，，可得，由（1），，所以.法2.Rt中，，，，由余弦定理，，.17．(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：连接BD交CE于点，连接FG，因为，所以，平面，平面，平面；（2）平面平面，平面平面，取中点O，则平面，所以平面，因为，所以，，过C作的平行线为z轴，以为轴，建立空间直角坐标系如图所示则，，，，所以，设平面的法向量，则，则平面的一个法向量，由上可取平面的一个法向量为，设二面角的平面角大小为，则由图可得二面角的余弦值为.18．(1)(2)(3)答案见解析【详解】（1）当时，，当时，，，当时，，综上可得，不等式的解集为.（2）由题可得，即有4个根，即方程或，由对称性得，.（3），当时，，故，同理，当时，，（i），（ii），当时，，（i），（ii），综上所述：（1）当时，，（2）当时，，（3）当时，，（4）当时，，（5）当时，.19．(1)2(2)(3)【详解】（1）当村民数为4时，每位村民的营救意愿相互独立且概率都为，设愿意营救的村民人数为，则满足二项分布，即，所以救援人数的期望值.（2）当村民数为2n时，全体村民赶来营救的条件是至少人选择营救.所以本题即求.而，则.故（*）