简单超静定梁

2026/4/221基本静定系在原有均布荷载q和“多余”未知力FB作用下(图b)当满足位移相容条件(参见图c,d)

时该系统即为原超静定梁的相当系统。若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系(参见教材中的附录Ⅳ)所得的补充方程为2026/4/222从而解得“多余”未知力所得FB为正值表示原来假设的指向(向上)正确。固定端的两个约束力利用相当系统由静力平衡条件求得为2026/4/223该超静定梁的剪力图和弯矩图亦可利用相当系统求得，如图所示。思考

1.该梁的反弯点(弯矩变换正负号的点)距梁的左端的距离为多少？

2.该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？如何求解？2026/4/224

例题1

试求图a所示系统中钢杆AD内的拉力FN。钢梁和钢杆的材料相同，弹性模量E已知；钢杆的横截面积A和钢梁横截面对中性轴的惯性矩I亦为已知。2026/4/225

解:

1.

该系统共有三个未知力(图b)FN,FB,FC，但平面平行力系仅有两个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。

2.

取杆和梁在点A处的连接铰为“多余”约束，相应的“多余”未知力为FN。位移(变形)相容条件(参见图b)为wA=DlDA。2026/4/2263.

物理关系(参见图c,d)为需要注意，因DlDA亦即图b中的是向下的，故上式中wAF为负的。2026/4/2274.于是根据位移(变形)相容条件得补充方程：由此求得2026/4/228

例题2

试求图a所示等截面连续梁的约束力FA,FB,FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度EI=5×106N·m2。2026/4/229

解:

1.

两端铰支的连续梁其超静定次数就等于中间支座的数目。此梁为一次超静定梁。2026/4/2210

2.

为便于求解，对于连续梁常取中间支座截面处阻止左,右两侧梁相对转动的内部角约束为“多余”约束，从而以梁的中间支座截面上的弯矩作为“多余”未知力，如图b。

此时基本静定系为两跨相邻的简支梁，它们除承受原超静定梁上的荷载外，在中间支座B处的梁端还分别作用有等值反向的“多余”未知力矩──弯矩MB，图b中的“多余”未知力矩为一对正弯矩。位移相容条件(参见图b)为2026/4/22113.

利用教材中的附录Ⅳ可得物理关系为

应该注意，在列出转角

的算式时每一项的正负号都必须按同一规定(例如顺时针为正，逆时针为负)确定。2026/4/2212

4.

将物理关系代入位移相容条件补充方程，从而解得

这里的负号表示实际的中间支座处梁截面上的弯矩与图b中所设相反，即为负弯矩。5.

利用图b可得约束力：2026/4/2213(c)(d)然后绘出剪力图和弯矩图如图c,d。2026/4/2214(二)梁的上,下表面温度差异的影响

图a所示两端固定的梁AB在温度为

t0时安装就位，其后，由于梁的顶面温度升高至

t1，底面温度升高至

t2，且

t2>t1，从而产生约束力如图中所示。

由于未知的约束力有6个，而独立的平衡方程只有3个，故为三次超静定问题。l(a)2026/4/2215

现将右边的固定端B处的3个约束作为“多余”约束，则解除“多余”约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。它在上,下表面有温差的情况下，右端产生转角qBt和挠度wBt(见图c)以及轴向位移

Bt。l(a)(b)(c)2026/4/2216

如果忽略“多余”未知力FBx对挠度和转角的影响，则由上,下表面温差和“多余”未知力共同引起的位移符合下列相容条件时，图b所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统：l2026/4/2217式中一些符号的意义见图c,d,e。(c)(d)(e)2026/4/2218

现在先来求qBt和wBt与梁的上,下表面温差(t2-t1)之间的物理关系。

从上面所示的图a中取出的微段dx,当其下表面和上表面的温度由t0分别升高至t2和t1时，右侧截面相对于左侧截面的转角dq由图b可知为

上式中的负号用以表示图a所示坐标系中该转角

dq为负。2026/4/2219将此式积分，并利用边界条件得根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠曲线微分方程为2026/4/2220从而有至于