第四章 不定积分

第4章不定积分

不定积分的概念与性质第一节换元积分法

第二节分部积分法

第三节2026/4/22第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分

微分学研究如何从已知函数求出导函数,其逆问题是求一个未知函数,使其导函数恰好是某一个已知函数.例如,我们已知t时刻的速度v(t)是位移s(t)的导数,v(t)=dsdt;加速度a(t)是速度v(t)的导数,a(t)=dv/dt.现在反过来,已知速度v(t),如何求位移s(t)?已知加速度a(t),如何求速度v(t)?又例如,我们已知曲线y=f(x)在点M(x,y)处的切线斜率k是f(x)在切点横坐标x处的导数,k=f′(x).反过来,如果已知某曲线在任意点M(x,y)处的切线斜率k(x),如何求出该曲线方程?

我们称这类由给定f′(x)求f(x)的运算为积分法.定义1设函数F(x)和f(x)在区间I上有定义,若对于I上每一点x,都有F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)是f(x)在区间I上的原函数.例如,由(x3)′=3x2可知,x^3是3x^2在区间(-∞,+∞)上的原函数;由(sinx)′=cosx可知,sinx是cosx在(-∞,+∞)上的原函数;lnx是1/x在(0,+∞)上的原函数;运动方程s=1/2at^2(a＞0,a为常数)是速度v=at在某区间上的原函数,等等.研究原函数,首先需要解决在什么条件下,函数的原函数存在?如果存在,原函数是否唯一?事实上,并不是每个函数都存在原函数,我们将在下一章中证明下述定理.定理

若函数f(x)在区间I上连续,那么f(x)在I上的原函数F(x)存在.由于初等函数在其定义域上处处连续,因此,每个初等函数在其定义区间上都存在原函数.设F(x)是f(x)在区间I上的原函数,即F′(x)=f(x),那么,对任意常数C,由［F(x)+C］′=F′(x)=f(x)知,F(x)+C也是f(x)的原函数.如果F(x),G(x)都是f(x)在区间I上的原函数,即有F′(x)=G′(x)=f(x),根据微分学拉格朗日中值定理的推论,存在某常数C,使G(x)=F(x)+C.上述表明,如果某函数存在原函数,那么原函数有无穷多个,并且,它们彼此之间只相差一个常数.因此,若把两个函数相差一个常数作为“等价”看待，则可认为原函数“基本上”只有一个.要把某函数的原函数求出来，只需求出其中任意一个，由它加上各个不同的常数便可得到全部原函数.根据全体原函数的这种结构，引入不定积分的概念.定义2函数f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在I上的不定积分，记作∫f(x)dx，其中，记号∫称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量.

由定义2可知不定积分与原函数是整体和个体的关系，f(x)的不定积分∫f(x)dx是f(x)的原函数的全体，是一族函数.若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则f(x)在I上的不定积分为

∫f(x)dx=F(x)+C，其中，C为任意实数，称为积分常数.

二、不定积分的几何意义

在直角坐标系中，f(x)的任意一个原函数F(x)的图形是一条曲线y=F(x)，这条曲线上任意点(x,F(x))处的切线的斜率F′(x)恰为函数值f(x)，称这条曲线为f(x)的一条积分曲线.f(x)的不定积分F(x)+C则是一个曲线簇，称为积分曲线簇.如图4-1所示，平行于y轴的直线与簇中每一条曲线的交点处的切线斜率都等于f(x)，因此积分曲线簇可以由一条积分曲线通过经y轴方向平移得到.

由不定积分和微分的关系可知：

［∫f(x)dx］′=f(x)或d∫f(x)dx=f(x)dx，

∫F′(x)dx=F(x)+C或∫dF(x)=F(x)+C.三、不定积分的基本公式

根据积分法是微分法的逆运算关系，我们可以从每一个导数公式相应地得到一个不定积分公式.下面为最常用的不定积分公式：四、不定积分的性质性质1若f(x)和g(x)的不定积分存在，则f(x)+g(x)的不定积分也存在，且∫［f(x)+g(x)］dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx.性质1对有限个函数的代数和也适用.性质2若f(x)的不定积分存在，k为非零常数，则kf(x)的不定积分也存在，且∫kf(x)dx=k∫f(x)dx.利用不定积分的性质和基本积分表，可以求得一些比较简单的函数的不定积分.第二节换元积分法

利用基本积分表中的公式和不定积分的性质只能求出一些比较简单的不定积分.本节讲述一种基本的积分方法——换元积分法.换元积分法的关键是通过适当的变量代换，将原来的不定积分化为对新变量的不定积分，使后者的积分容易求出.

换元积分法由运用时的方法不同而分为第一类换元法和第二类换元法.一、第一类换元法定理1设函数u=φ(x)具有连续导数，且∫f(u)du=F(u)+C，则∫f［φ(x)］φ′(x)dx=F［φ(x)］+C.(4-1)

公式(4-1)称为不定积分的第一类换元积分公式.利用第一类换元积分公式计算不定积分的方法为第一类换元积分法.

第一类换元积分法的关键是要能以被积函数g(x)中分离出因式φ′(x),φ′(x)与dx结合凑成微分d［φ(x)］.因此也称该换元积分法为凑微分法.

运用凑微分法求不定积分,需要熟悉以下常用的微分式:二、第二类换元法如果不定积分∫f(x)dx不易直接应用基本积分表计算，我们还可以通过适当代换x=φ(t),将不定积分∫f(x)dx化为比较容易计算的关于新积分变量t的不定积分∫f［φ(t)］φ′(t)dt,这就是第二类换元积分法.定理2设函数f(x)连续,x=φ(t)具有连续导数且导数不为零,t=φ-1(x)是其反函数.如果Φ(t)是f［φ(t)］φ′(t)的原函数,则∫f(x)dxx=φ(t)∫f［φ(t)］φ′(t)dt=Φ(t)+C=Φ［φ-1(x)］+C.(4-2)公式(4-2)称为第二类换元积分公式,相应的积分方法称为第二类换元积分法.第三节分部积分法通过前面内容的学习，利用基本积分法和换元积分法可以解决大量的不定积分计算问题，但是仍然有一些不定积分如∫xcosxdx，∫xexdx，∫xlnxdx等不定积分无法用上述方法求出，那么它们又是如何计算的呢？本节将要介绍另一种基本积分方法——分部积分法.定理设函数u=u(x)，v=v(x)均具有连续导数，则由两个函数乘法的微分法则可得d(uv)=udv+vdu