2026年湖南省长沙市高一下学期期中模拟考试自编卷01（范围：人教A版必修二第六-八单元）（解析版）

2026年湖南省长沙市高一下学期期中模拟考试自编卷01数学试题（解析版）题号12345678910答案BBBDABDBACDBCD题号11答案ABD1．B【分析】通过建立平面直角坐标系，将等腰三角形的顶点坐标化，利用中点坐标公式确定点的坐标，结合三角形面积、基本不等式求解线段的最小值.【详解】以中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，（）.的面积为.由，得为中点，..由基本不等式，，当且仅当时取等号，代入，得，即时等号成立.故，即的最小值为.2．B【详解】因为，，所以，所以，所以，解得或，所以实数a的取值范围是.3．B【分析】设内切圆圆心，将、、分解为从出发的向量；利用等边三角形“重心与内心重合”的性质，简化向量和为；通过三角形面积与内切圆半径的关系求得，进而计算向量和的模长.【详解】设点为内切圆圆心，则，则，因为是等边三角形，故点也是的重心，故，故，由等面积得，则，故.故选：B4．D【分析】通过相似三角形求出球的半径和球心到侧面的距离，求出截面圆的半径，利用圆的周长公式求解即可.【详解】设球与平面的切点为，与棱的切点为，球与正四面体的棱，，均相切，且和平面相切，球心在正四面体的高上，设球的半径为，则，设正四面体的棱长为，底面是正三角形，，，则，球与棱相切于，，，，，，，，，，过球心作平面的垂线，交平面于点，连接，则点在的底边的中线上，设的中点为，则，，，，，，，正四面体三个侧面，，截球的截痕长度共为.5．A【分析】由对称性及，不妨设，则，，根据韦达定理知，是方程，可得方程两根为、，不妨设，，则在复平面上的顶点坐标为，，，设的内心为，根据三角形内心的性质即可求解.【详解】由对称性及，不妨设，则，.由韦达定理知，是方程的两个根，则方程的两根为、.不妨设，，则在复平面上的顶点坐标为，，,则,设三角形内心为，由内心的性质知，所以，解得，又，所以.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了复数的几何意义及三角形的内心性质，解题的关键是要熟悉三角形内心性质.6．B【分析】利用复数的四则运算求出，即可求其实部.【详解】,故的实部为，故选：B.7．D【分析】首先设出几何图形，确定给定向量的位置，结合给定条件得到，再对的取值进行讨论，求解最值即可.【详解】设，，，所以，因为，所以，即，因为与的夹角为，所以，因为，，，所以，故，如图，取中点，作，作，连接，因为，所以，故，，由向量中线定理得，所以，故，，，因为，所以，因为，所以，得到，故，由可得，故，即，解得，故，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上，由题意得，而，当且仅当时，，此时，由三角形边长性质得，当且仅当共线时取等，在直角三角形中，所以，故，代入数据得，解得，此时，即的最小值是，当时，，此时的终点不在，通过平移，使其终点到达，同时设起点为，此时三点共线，所以，所以，由三角形边长性质得，当且仅当共线时取等，在直角三角形中，所以，故，代入数据得，解得，此时，即的最小值是，综上，的最小值是，故D正确.故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是作出图形，利用给定条件得到，然后对参数进行分类讨论，得到所要求的最值即可．8．B【详解】对于A，根据祖暅原理这两个平面图形的面积相等，故错误；对于B，满足祖暅原理，故正确；对于C，不满足祖暅原理，故错误；对于D，所有平行于两个平行平面的截面面积都相等，故错误.故选：B.9．ACD【分析】建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标表示、正弦函数的性质及辅助角公式即可判断选项ABC；取的中点，连接，求出的取值范围，再根据结合数量积的运算律求解即可判断选项D.【详解】以为原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，则，，，.选项A：，，所以，故A正确.选项B：取中点，则.设，则，所以，，所以，当即（或）时最大值为4，故B错误.选项C：，，，由得，则.所以，当，即时，取得最大值，为，故C正确.选项D：取的中点，连接，因为是边长为2的正方形，动点为图中半圆内（含边界）的动点，所以当在点或点时，取得最大值，当在弧中点时，取得最小值1，即又，，所以，故D正确.10．BCD【分析】化简得到，再根据数列的周期、复数的运算以及点到圆上一点的距离最值进行分析求解即可.【详解】.进一步，即数列周期为.已知，计算得，，以此类推，奇数项都为，偶数项都为.选项A.，A错误.选项B.，因此，B正确.选项C..因为，所以总和为，模长，C正确.选项D.，.表示复平面上以为圆心、半径为的圆，是圆上点到的距离，两定点距离为，因此的最小值为，D正确.11．ABD【分析】对A：借助空间垂直的转化可得线线垂直，结合线面角的定义计算即可得；对B：借助二面角的定义，作出平行直线且与相交的直线即可计算异面直线夹角；对C：找到底面外接圆圆心，作出过该点且垂直底面的直线，则球心必在该直线上，设出半径，结合勾股定理可得半径，即可得外接球体积；对D：借助二面角定义作出该二面角的平面角，结合意义计算即可得.【详解】对A选项：当时，因为，，所以，所以直线与平面所成角为，又因为，所以，因为，，所以，所以，故A正确；对B选项：如图，过A作，且，连接，，

则四边形为正方形，所以，所以（或其补角）即为直线与所成角，因为，四边形为正方形，有，所以，又因为，所以即为二面角的平面角，即，由、、且、平面，所以平面，又四边形为正方形，所以，所以平面，又平面，所以.由且四边形为正方形，，所以，所以，即，即直线与所成角为，故B正确；对于D，如图，作，且，则二面角的平面角为，不妨取，

由，在中，易得，在中，由余弦定理得，，过C点作交线段的延长线于点O，则平面，过O点作，交线段的延长线于点H，连接，则为二面角的平面角，易得，，，所以，故D正确；对C选项：同选项D可知，如图，分别取线段，的中点G，M，连接，过G点作平面的垂线，

则球心必在该垂线上，设球的半径为R，则，又的外接圆半径，而平面平面，所以平面，即的长为点到平面的距离，则，所以四面体的外接球的体积为，故C错误.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题C选项中外接球半径半径的计算关键是先找到底面外接圆圆心，则球心必在过外接圆圆心且垂直于底面的直线上.12．【详解】设，复数在复平面内对应的点记作，故；表示复平面内，点到的距离；表示复平面内，点到点的距离；故表示复平面内，点到两点的距离之和，显然当点在线段上时，其取得最小值，最小值为.13．①②④【分析】根据条件建立平面直角坐标系，再设，根据同角三角函数关系可判断①；表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断②③④．【详解】作，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图：则，设，则，由可得，且，对于①，若，由，解得或（舍去），故，①正确；对于②，若，由，则，所以，故②正确；对于③，，所以，由于，故，所以，故，故③错误；对于④，由于，故，而，所以，故（当取等号），故④正确，14．【分析】根据斜二测画法得到中，对应的高为，求出面积，并得到为等边三角形，并作出辅助线，得到三棱锥外接球的球心，由余弦定理得到，并求出外接球的半径.【详解】由斜二测画法原理可知中，，边上的高，所以；由勾股定理得，故为等边三角形，由得是边长为2的等边三角形.设D，E分别为，的外心，的中点为F，连接，，过点D，E分别作平面、平面的垂线，设两垂线交于点O，则点O为该三棱锥外接球的球心，连接，，则为外接球的半径，依题意，且，，由余弦定理得，所以，由E为的外心，所以，，因为，，，所以，所以，所以，所以，即外接球的半径.故答案为：，【点睛】方法点睛：几何体外接球问题，通常要找到几何体的一个特殊平面，利用正弦定理或几何性质找到其外心，求出外接圆的半径，进而找到球心的位置，根据半径相等列出方程，求出半径，再求解外接球表面积或体积.15．(1)(2)(3)【分析】（1）利用向量的线性运算可得，，结合数量积的定义运算求解即可；（2）根据题意整理可得，，利用三点共线求得，可求；（3）整理可得，两边平方，结合数量积运算律运算求解即可.【详解】（1）当时，，所以，所以，，又，所以；（2）当时，，所以，所以，，因为三点共线，所以存在，使，又因为三点共线，所以，解得，所以，所以；（3）因为，，所以，，所以，，，由题意知，所以当时，取到最小值，当时，，当时，，所以当时，取到最大值，所以的取值范围是.16．(1)(2)【分析】根据复数的三角形式及诱导公式计算即可.【详解】（1）（2）17．(1)①；②(2)证明见解析【分析】（1）①依题意，将相关数据代入三面角余弦定理求得，再求出；②依题证明面，将和分别用表示，求出的表达式，借助于二次函数的最值即得体积最大值；（2）在射线上一点，分别作，即得二面角的平面角，在和中，由余弦定理分别求出，消去，整理后利用直角三角形中三角函数定义即可推得结论.【详解】（1）由题意得：①因为所以②则因为点是点在面上的投影，所以平面，所以故当时，的最大值为．（2）过射线上一点在面作交于点，在面内作交于点，连接，则是二面角的平面角，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，两式相减得：，则，两边同除以，得18．(1)(2)①；②【分析】（1）在中，由内角和得，结合正弦定理得，整理得，代入数值计算得结果；（2）①利用三角形中正弦定理及三角恒等变换得化简得原式等于，代入得结果；②可证，由，将转化为关于的函数，结合锐角三角形得到的范围，换元用对勾函数求得的值域，再取倒数得到的范围.【详解】（1）在中，，由正弦定理可得，所以.（2）①由（1），同理可得，又在中，，可得，同理可得，所以；②由前可知，且，所以，下面将简记作，则，由正弦定理可得，即，所以，整理可得，记，则已知，故，又为锐角三角形，因此，，且，因此：，令，由得，化简得：，整理得：换元，，化简得：，由对勾函数性质，在的最小值为（时取得），端点值趋近，因此：，所以.19．(1)2，3．(2)(3)【分析】（1）利用根与系数的关系求解即可；（2）设，由可知计算可得，得出三角形三个点的坐标，利用等面积法计算即可求得内切圆半径；（3）设，可确定在每一段区间内单调递减，可确定直线与曲线的交点区间，可知不等式的解集为，结合韦达定理可求得所有区间长度之和.【详解】（1）利用根与系数的关系可得：，解得．（2）根据三次方程根与系数的关系可知，为的三个根，首先必定有一个为0，不妨设，则为的两个根，分解因式得，所以，所以三角形的三个顶点为，设三角形内切圆的圆心为，半径为，则三角形的面积，即．因为，所以．（3）设函数．反比例函数只存在递减区间，所以只存在递减区间，故函