云南省普洱市高三上学期期末教学质量监测试题数学

云南普洱市高三上学期期末教学质量监测数学试卷一、单选题1．已知复数为纯虚数，则实数的值为（

）A． B． C． D．2．已知全集，集合，则集合中元素的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．33．已知随机事件和相互独立，且，则（

）A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.94．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集的数据如下表所示：零件数个1020304050加工时间4050607090由上表的数据求得关于的经验回归方程为，则（

）A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.45．已知向量满足，则的最小值为（

）A．4 B．3 C．2 D．16．已知过原点且斜率为的直线与交于、两点，若，则（

）A． B． C． D．7．已知函数的最小值为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．如图，在棱长为2的正方体中，是AB的中点，动点在正方体内部或表面上，若平面，则动点的轨迹所形成的区域面积为（

）A．4 B． C．6 D．二、多选题9．已知中，内角所对的边分别为，则（

）A．B．C．的面积为D．外接圆的面积为10．已知函数，则（

）A．函数在上单调递减B．曲线在点处的切线方程为C．恒成立D．恒成立11．已知椭圆的左，右顶点分别为是上位于第一象限内的一点，直线分别与轴交于点为坐标原点，则（

）A．的离心率为B．C．若是的上顶点，则存在点，使得是线段的中点D．当四边形的面积最大时，点的横坐标为三、填空题12．已知角的终边经过点，则.13．已知双曲线的左焦点为是右支上的一个动点，记点到双曲线过第一象限的渐近线的距离为，则的最小值为.14．已知数列的通项公式，给出定义：使得数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在内所有的好数之和为.四、解答题15．已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的单调区间；(3)求函数在区间上的值域.16．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有且仅有两个零点，求的取值范围.17．如图，在直三棱柱中，是上靠近点的五等分点.(1)证明：平面；(2)若是四棱锥的外接球的球心，求直线BO与平面所成角的正弦值.18．小张抛掷一枚硬币，若硬币正面朝上，则得1分；若硬币背面朝上，则得0分.已知小张的初始积分为0分.记小张重复拋掷一枚硬币次后的总得分为．(1)求；(2)当为奇数时，证明：；(3)记，求数列的前项和.19．已知抛物线的焦点为，过点且斜率存在的直线与交于两点，点是以线段为直径的圆的圆心，点在圆上（在的右边），且轴，直线与交于另一点，直线与交于另一点.(1)证明：圆与的准线相切；(2)证明：；(3)求.

参考答案1．A【详解】依题意，，由复数为纯虚数，得，解得，所以实数的值为.故选：A2．D【详解】令，解得，而，则，因为，所以，则集合中元素的个数为3，故D正确.故选：D3．B【详解】因为事件和相互独立，，∴故选：B.4．B【详解】由题意得，，因为经验回归直线必过点，即点，所以可得，解得.故选；B5．C【详解】由，得，而，则，，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为2.故选：C6．D【详解】圆心为，半径为，易知，因为，所以是腰长为的等腰直角三角形，且，故圆心到直线的距离为，由题意可知直线的方程为，即，由点到直线的距离公式可得，解得.故选：D.7．C【详解】由题意得，当时，，由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时解得，此时的最小值为，符合题意，当时，可得，由题意得的最小值为，则，即恒成立，可得恒成立，令，解得，令，解得，令，解得，当时，可得恒成立，令，则恒成立，可得在上单调递增，此时，得到，当时，恒成立，符合题意，此时，当时，恒成立，由已知得，则在上单调递增，当时，，此时，综上，可得，即的取值范围为，故C正确.故选：C8．B【详解】分别取中点，连接，则由正方体结构性质可知，，所以四边形、、均为平行四边形，所以，所以，因为平面，在平面外，所以平面，平面，又，所以平面平面，取中点，连接，则，则，所以四点唯一确定一个平面，所以平面即为平面，所以由题意若平面，则动点的轨迹为平面四边形，因为，所以四边形为等腰梯形，且该梯形的高为，由正方体结构性质可得面积为.故选：B9．AC【详解】因为，所以由二倍角公式得，在中，可得，则，得到，解得，得到，故A正确，对于B，由题意得，由余弦定理得，解得（负根舍去），故B错误，对于C，由三角形面积公式得，则的面积为，故C正确，对于D，设外接圆的半径为，外接圆面积为，由正弦定理得，解得，由圆的面积公式得，则外接圆的面积为，故D错误.故选：AC10．BCD【详解】由，得，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，故A错误；由，,可得在点处的切线方程为，故B正确；由，构造，则，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，即，故恒成立，故C正确；由，求导得，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，所以，即，则，当时,上式两边取对数可得:，则由，可知恒成立，故D正确.故选：BCD11．ABD【详解】对于A，由题意得，则离心率为，故A正确，对于B，如图，作出符合题意的图形，连接，由题意得，，设，则，，可得的方程为，的方程为，对于，令，解得，即，对于，令，解得，即，得到，，故，因为是上位于第一象限内的一点，所以，化简得，则，故B正确，对于C，由题意得，若是线段的中点，则由中点坐标公式得，化简得，联立方程组，解得，即，此时不在第一象限，即不存在点，使得是线段的中点，故C错误，对于D，设四边形的面积为，由题意得，而，，则，因为，解得，可得，令，则，而，即，令，，令，，则在上单调递增，在上单调递减，可得在处取得最大值，即当四边形的面积最大时，点的横坐标为，故D正确.故选：ABD12．/【详解】依题意，，所以.故答案为：13．【详解】如图，作出符合题意的图形，作出双曲线的右焦点，作垂直于渐近线，连接，可得，由题意得，则，由双曲线的定义得，则，则，当且仅当共线时取等，因为垂直于渐近线，所以垂直于渐近线，由题意得渐近线方程为，由点到直线的距离公式得，则.故答案为：14．6108【详解】依题意，数列的前项和，由正整数为数列的“好数”，得，且为正整数，由，得，由，得，即，而数列是递增数列，，因此，在内所有的好数之和为.故答案为：610815．(1)(2)答案见解析(3)【详解】（1）由题意得，则函数的最小正周期为.（2）令，解得，令，解得，综上可得，的单调递增区间为，的单调递减区间为.（3）因为，所以，则，即函数在区间上的值域为.16．(1)答案见解析(2)【详解】（1）函数，定义域为，则，若，则，故函数在上单调递增，若，则得；得，故函数在上单调递减，在上单调递增，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，函数在上单调递增，故函数至多有一个零点；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，且的最小值为，，若函数有且仅有两个零点，则，，所以，即，当时，函数在上有一个零点，且函数在内有一个零点，所以当时，函数有且仅有两个零点.17．(1)证明见解析；(2)【详解】（1）由题可得，所以，即，又由直棱柱性质可知平面，平面，所以，因为且平面，所以平面；（2）分别取中点，连接，则，所以平面，由（1）可知即，连接交于点O，则且为中点，，则由题意可知四棱锥的外接球的球心为点O，取中点，则点为外接圆圆心，连接，则平面，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，为平面的一个法向量，所以直线BO与平面所成角的正弦值为.18．(1)；(2)证明见解析；(3).【详解】（1）因为每次抛掷硬币正面朝上的概率为，且各次抛掷相互独立，所以服从参数为的二项分布，即，所以，得（2）当为奇数时，设，则，，所以只需证.根据二项分布的概率公式，，所以，故原不等式成立.（3）由二项分布的期望公式为，其中，即所以，得所以.故.19．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)3【详解】（1）如图，作出符合题意的图形，当的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意，排除，当的斜率不为0时，设方程为，，联立，消得，，则，得到，由中点坐标公式得线段的中点坐标为，则到准线的距离为，由焦半径公式得，则，即圆