初中八年级数学（下册）提公因式法（进阶）精讲教案

初中八年级数学（下册）提公因式法（进阶）精讲教案

一、教材与学情深度分析

（一）学科知识结构定位与课标解读

提公因式法是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域的重要内容，隶属于“代数式”主题下的“整式与因式分解”部分。在本单元中，学生已经系统学习了整式的概念、整式的加减运算以及幂的运算性质，并初步接触了整式乘法的基本法则（如同底数幂的乘法、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式）。从知识发展的逻辑脉络来看，因式分解是整式乘法的逆运算，是沟通“数”的运算与“式”的变形的重要桥梁，体现了数学中“互逆”与“转化”的核心思想。

“提公因式法”作为因式分解的奠基性方法和首要策略，其掌握程度直接决定了后续学习“公式法”（平方差公式、完全平方公式）、“分组分解法”乃至高中阶段更深层次代数变形（如部分分式、多项式理论）的成败。本节课作为“提高”或“进阶”篇，意味着教学重心应从对公因式概念和基本步骤的识别与模仿，转向对公因式本质内涵的深度理解、在复杂情境下的灵活提取以及数学思想方法的自觉运用。课标要求“能用提公因式法进行因式分解（指数是正整数）”，并强调在探索因式分解方法的过程中，发展学生的符号意识、运算能力和推理能力。

（二）学情前测与认知障碍诊断

八年级学生正处于从具体运算思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。经过前期的学习，他们具备了以下基础：

1.知识储备：熟练进行单项式与多项式的乘法运算；理解单项式系数、字母因式及次数的概念；掌握幂的运算性质（特别是同底数幂的乘法与除法）。

2.技能基础：具备一定的观察、比较、归纳能力。

然而，在“提公因式法”的进阶应用上，普遍存在以下认知障碍与思维误区：

1.概念层面：对“公因式”的理解停留在“公共的字母和指数”，容易忽略数字系数的最大公约数，对“多项式整体作为公因式”的认识尤为薄弱。

2.技能层面：

1.3.符号障碍：当多项式的首项系数为负，或公因式为负时，提取后括号内各项符号的变换极易出错（如-a+b

提取-1

后变为-(a-b)

）。

2.4.指数混淆：在提取字母因式时，对“最低次幂”原则应用不熟练，尤其是当字母在不同项中以不同幂次出现时。

3.5.提取不彻底：满足于提取了部分公因式，而未能一次提取出最大公因式。

6.思维层面：缺乏“整体思想”和“化归思想”，无法识别经过简单变形（如调换项的位置、符号变换）后可出现公因式的结构，更难以处理需要“提公因式后继续分解”的嵌套式问题。

7.心理层面：认为方法简单，产生轻视心理，但在面对综合性、变式性问题时，又容易因挫败感而丧失信心。

（三）教学资源整合与跨学科视角

本教案以北师大版八年级数学下册教材为核心蓝本，深度融合“同步精练本双测AB卷”中的“提高”部分资源。A卷侧重基础巩固与技能熟练，B卷聚焦能力拓展与思维深化，本设计将对其进行有机拆解与重组，融入教学各环节。

从跨学科视野看，因式分解在物理学（如公式变形）、化学（配平复杂方程式）、计算机科学（算法简化、编码理论）乃至经济学（模型简化）中均有广泛应用。教学设计中可创设源于真实世界的简化问题情境，体现数学作为基础学科的工具性价值，培养学生跨学科解决复杂问题的意识。

二、核心素养导向的教学目标

（一）三维目标

1.知识与技能：

1.2.深刻理解公因式（特别是多项式公因式）的概念，能准确、彻底地找出多项式各项的公因式。

2.3.熟练掌握提公因式法的步骤与规范书写，能处理系数为负、指数含参等复杂情况。

3.4.能灵活运用提公因式法分解因式，包括需要变形后提取、连续提取（即提取后括号内可继续分解）的综合题型。

4.5.初步感知提公因式法在简化计算、解决实际问题中的应用。

6.过程与方法：

1.7.经历从具体到抽象、从特殊到一般的探究过程，通过观察、对比、归纳，提炼提公因式法的本质。

2.8.在解决复杂问题的过程中，体验“整体换元”、“符号转化”、“化归”等数学思想方法。

3.9.通过“尝试-错误-反思-修正”的循环，发展数学探究能力和自我监控能力。

10.情感、态度与价值观：

1.11.在克服复杂问题的挑战中，获得成功的体验，增强学习代数的自信心。

2.12.体会数学运算的对称美、简洁美，感悟因式分解作为“分解与组合”的思维魅力。

3.13.养成严谨、细致、有条理的数学思维习惯和书写习惯。

（二）核心素养细化

1.抽象能力与符号意识：能从复杂的多项式结构中抽象出公共的“式”，并用规范的数学符号语言表达分解过程。理解符号“-”既可表示运算，也可表示性质符号，并能灵活转换。

2.运算能力：将因式分解视为一种高级的、逆向的运算，提升运算的灵活性、策略性和准确性。

3.推理能力：能根据幂的运算性质、乘法分配律的逆用，对提取公因式的每一步进行逻辑推理和说理。

4.几何直观（辅助）：通过几何图形面积的不同表示方法（如矩形面积=长×宽），直观理解因式分解的几何意义，为数形结合奠定基础。

三、教学重难点及突破策略

1.教学重点：复杂情形下（含负号、多项式公因式、需连续提取）公因式的准确识别与彻底提取。

2.教学难点：

1.3.“整体思想”的应用：将某个多项式整体视为一个“字母”或“项”来寻找公因式。

2.4.符号的灵活处理与变式识别：主动变形多项式以构造公因式。

5.突破策略：

1.6.难点1突破：采用“换元法”进行铺垫，例如将(x+y)

设为t

，将原式化为关于t

的简单多项式，提取公因式后再代回，让学生体会“整体”的实质。设计从“显式整体”到“隐式整体”的阶梯式例题。

2.7.难点2突破：设置认知冲突，如对比(b-a)

与(a-b)

的关系，通过(b-a)=-(a-b)

的恒等变形，打通符号障碍。设计“找朋友”游戏，让学生为多项式中的项寻找“失散”的、符号相反的“另一半”，以构造公因式。

四、教学准备与课时安排

1.教学课时：1课时（40分钟）+1课时拓展深化（可选）

2.教具准备：多媒体课件（含几何动画演示）、交互式白板、学习任务单（分A/B层）、实物投影仪。

3.学生准备：复习整式乘法运算，完成课前诊断小练习。

五、教学实施过程详案（第一课时：探究与建构）

第一环节：情境创设，温故孕新（预计用时：5分钟）

【活动设计】

1.计算竞赛，逆向激疑：

1.2.快速计算：127×58+127×41+127

。

2.3.学生口答后，追问：“你是如何快速算出的？”（预设：利用乘法分配律127×(58+41+1)

）。

3.4.教师板书：127×58+127×41+127=127×(58+41+1)=127×100=12700

。

4.5.教师引导：“在代数中，如果我们把具体的数字‘127’换成抽象的字母或代数式，这种‘逆用分配律’的变形就叫作——因式分解中的‘提公因式法’。今天，我们要挑战它的‘进阶版’。”

6.几何切入，直观感知：

1.7.课件展示：一个由两个小矩形拼成的大矩形。设两个小矩形的长分别为a

和b

，宽均为h

。

2.8.提问1：大矩形的面积可以如何表示？S=a*h+b*h

。

3.9.提问2：从“整体”角度看，大矩形的长和宽分别是多少？面积又如何表示？S=(a+b)*h

。

4.10.得出结论：a*h+b*h=(a+b)*h

。再次从几何角度验证了“提公因式”的合理性。

【设计意图】从数字简便运算到代数式，实现从算术到代数的自然过渡，唤醒学生对乘法分配律逆用的记忆。几何直观的引入，为抽象的代数运算提供了形象支撑，体现了数形结合思想，同时暗示了因式分解的几何意义。

第二环节：探究新知，层层进阶（预计用时：18分钟）

【探究一：公因式内涵的深度挖掘】

1.基础回顾：多项式6x²y³-9x³y²+3x²y²

，找出公因式。

1.2.学生独立完成，教师巡视。请学生阐述寻找步骤：①系数取最大公约数（3）；②字母取各项都有的（x,y）；③指数取最低次幂（x²,y²）。故公因式为3x²y²

。

2.3.关键提问：为什么字母指数要取“最低次幂”？引导学生用乘法分配律的逆运算进行解释：提取后，括号内该项的指数为原指数减去公因式中的指数。

4.进阶挑战一：当系数为负时

1.5.出示例1：分解因式-4m³n²+12m²n³-8m²n²

。

2.6.让学生尝试。预设出现两种结果：4m²n²(-m+3n-2)

或-4m²n²(m-3n+2)

。

3.7.小组辩论：两种结果都对吗？哪种更优？为什么？

4.8.师生共识：两种都正确，体现了“负因式”也可作为公因式。但通常我们遵循“使括号内首项系数为正”的原则（即提取负公因式），这样更利于观察括号内的结构。提炼口诀：“首项为负，提负要变号”。

【探究二：多项式公因式（整体思想）的突破】

1.搭设阶梯：

1.2.填空：(a+b)m+(a+b)n=(____)(____)

。(a+b)(m+n)

。

2.3.变形：x(a+b)+y(a+b)

呢？(a+b)(x+y)

。

3.4.教师指出：这里的(a+b)

作为一个整体，就是多项式的公因式。

5.核心示例：

1.6.例2：分解因式3x(a-b)+2y(b-a)

。

2.7.认知冲突：公因式看似是(a-b)

，但第二项是(b-a)

，怎么办？

3.8.引导发现：(b-a)

是(a-b)

的相反数，即b-a=-(a-b)

。

4.9.解法：原式=3x(a-b)+2y*[-(a-b)]=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y)

。

5.10.思维提升：能否直接提取(b-a)

？原式=3x*[-(b-a)]+2y(b-a)=-3x(b-a)+2y(b-a)=(b-a)(-3x+2y)

。与上述结果一致吗？通过符号调整验证一致性。

6.11.归纳规律：(a-b)

与(b-a)

互为相反数，(a-b)^n

与(b-a)^n

的关系是：当n为偶数时相等，当n为奇数时相反。

12.整体思想的深化：

1.13.例3：分解因式(2x+y)(3x-2y)-(2x+y)(x-y)

。

2.14.学生易识别公因式(2x+y)

。分解为(2x+y)[(3x-2y)-(x-y)]=(2x+y)(2x-y)

。

3.15.变式：(2x+y)²-(2x+y)(x-y)

呢？公因式为(2x+y)

，分解为(2x+y)[(2x+y)-(x-y)]=(2x+y)(x+2y)

。

【探究三：连续提公因式（分解彻底性）】

1.例4：分解因式4a²b(x-y)³-6ab²(y-x)²

。

2.引导分析：

1.3.先处理(x-y)³

与(y-x)²

。∵(y-x)²=[-(x-y)]²=(x-y)²

。

2.4.确定公因式：系数最大公约数2，字母部分：a

取最低次1，b

取最低次1，(x-y)

取最低次2。故公因式为2ab(x-y)²

。

3.5.提取：原式=2ab(x-y)²*[2a(x-y)-3b]

。

6.追问：括号内的[2a(x-y)-3b]

还能再分解吗？不能。故分解完毕。

7.强调：提取公因式后，必须检查括号内的多项式是否还能继续分解（本节课主要指还能否继续提公因式）。分解要“彻底”。

【设计意图】本环节是本节课的核心，采用“阶梯式”问题链，引导学生逐层深入。从符号处理到整体思想，再到分解彻底性，环环相扣。通过制造认知冲突、小组辩论、对比分析等方式，让学生亲历思维爬坡的过程，深刻理解方法的本质，而非机械记忆步骤。

第三环节：迁移应用，分层精练（预计用时：12分钟）

本环节整合“双测AB卷”精华，设计三层任务。

【A层：固本强基】（面向全体，巩固规范）

1.分解因式：

(1)-12x³y²+18x²y³-6xy⁴

(2)5a(x-y)-10b(y-x)

(3)m(m-n)²-n(n-m)²

【目的】巩固公因式寻找、符号处理、整体思想的基本应用。

【B层：能力跃升】（面向大多数，发展思维）

2.分解因式：

(1)3a²(x-2y)³-12a(2y-x)²

（关注指数与符号）

(2)(a-b)²+2(a-b)(a+b)+(a+b)²

（提示：将(a-b)

和(a+b)

分别视为整体，此题为后续完全平方公式伏笔）

(3)简便计算：2024²+2024*3952+1976*2024

（体现应用价值）

3.错误诊断：小明分解-2a³b+6a²b²-8ab³

得-2ab(a²-3ab+4b²)

，他做得对吗？如果不对，请指出错误并改正。

【C层：思维拓展】（学有余力，挑战自我）

4.若多项式2x³-5x²+kx+6

有一个因式为(x-2)

，求k的值，并将该多项式分解因式。

*引导：设另一个因式为(2x²+mx+n)

，利用恒等式或待定系数法。本题融合了因式分解与整式乘法的关系，涉及高阶思维。

5.（跨学科联系）在物理学中，并联电路总电阻的倒数公式为1/R=1/R₁+1/R₂

。若已知R₁=x+1,R₂=x+2

，请求出R的表达式（结果化为最简整式）。这本质上是一个需要通分和代数式变形的过程，体会数学的工具性。

【实施方式】学生根据自身情况选择至少完成A、B两层。教师巡视，重点指导B层第2题和C层问题。对第3题“错误诊断”，可采用全班互动形式，由学生扮演“医生”进行诊断和“治疗”。C层问题可作为课后思考或下节课起点。

第四环节：反思总结，体系内化（预计用时：4分钟）

1.知识树构建：师生共同梳理，形成思维导图。

提公因式法（进阶）

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公因式深度识别整体思想应用分解彻底性检验

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系数：最大公约数多项式作为整体提取后检查括号

字母：各项公有符号转化策略能否再提公因式

指数：最低次幂(a-b)与(b-a)关系

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首项为负提负号

2.思想方法升华：本节课，我们运用了哪些重要的数学思想？

1.3.转化思想：将复杂多项式转化为乘积形式；将(b-a)

转化为-(a-b)

。

2.4.整体思想：把多项式看作一个“大字母”。

3.5.逆向思维：因式分解是整式乘法的逆向过程。

6.自我评价：完成学习任务单上的“课堂学习自评表”（从“我能准确找出公因式”、“我能处理符号问题”、“我能理解整体思想”、“我能检查分解是否彻底”四个维度，用★自评）。

第五环节：分层作业，延伸拓展（课后）

1.必做题（对应A/B卷基础部分）：

1.2.教材对应章节练习题。

2.3.完成“同步精练本”A卷中关于提公因式法的全部题目。

4.选做题（对应B卷提高部分）：

1.5.完成“同步精练本”B卷中相关题目。

2.6.探究：对于多项式a(x-y)+b(y-z)+c(z-x)

，能否用提公因式法分解？若能，如何变形？若不能，为什么？（此题挑战性高，引导学生思考分组策略，为下一讲埋伏笔）。

7.实践题：寻找一个生活中或其它学科中可以用“提取公因数/式”思想简化的问题，并记录下来。（如：规划一块地的种植方案，涉及面积计算与分配）。

六、板书设计（预设）

主板书区（左侧）：

第15讲提公因式法（进阶）

一、公因式：系数→最大公约数

字母→各项公有

指数→最低次幂

口诀：首项为负，提负要变号。

二、整体思想：把多项式看作一个整体（“大字母”）

关键：识别`(a-b)`与`(b-a)`的关系。

`(b-a)=-(a-b)`；`(b-a)^n=(a-b)^n(n为偶)`

`=-(a-b)^n(n为奇)`

三、步骤与检验：

1.找公因式（彻底）

2.提公因式（注意符号）

3.检查括号（能否再分解？）

副板书区（右侧）：

用于展示例题的规范解答过程和学生典型解法的投影区域。

例2：3x(a-b)+2y(b-a)