人教A版（2019）数学选修性必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测）6（含解析）

人教A版（2019）数学选修性必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测）6一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）设函数f(x)是定义在R上的可导函数，f(1)=1，且∀x∈A.(1,2) B.(0,1) C.(0,+∞)2.（5分）若0<x1A.x1lnx2>x23.（5分）已知数列{an}中，a1=a2=1，且aA.2550 B.2600 C.2651 D.26524.（5分）在数列{an}中，若2aA.a2a4⩽a35.（5分）设函数f(x)=13x3+A.(1,2) B.(14,16.（5分）已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列四个结论： 

①函数f(x)在区间(-3,1)内单调递减； 

②函数f(x)在区间(1,7)内单调递减； 

③当x=-3时，函数f(x)有极大值； A.②④ B.①④ C.①③ D.②③7.（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S20>0，S21<0A.S10a10 B.S118.（5分）已知函数f(x)=lnA.(0,e) B.(-∞,二、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）若不等式x2+ax+1⩾0A.0                                         B.-2                                   C.10.（5分）我们通常称离心率为5-12的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>A.A1F1⋅F2A2=F111.（5分）已知函数f(x)=ln2A.若f(x)恰有2个零点，则a>e+1e

B.若a∈(-2,2)，则f(x)无零点

C.若12.（5分）在数列{an}中，若an+2-an+1an+1-aA.k不可能为0 B.“等差比数列”中的项不可能为0

C.等差数列一定是“等差比数列” D.等比数列一定是“等差比数列”13.（5分）已知函数f(x)=2lnx+1x，数列{an}的前A.a2<a1 B.a三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知函数f(x)=ex15.（5分）在数列{an}中，a1=2，an16.（5分）设曲线y=(ax-1)ex在点A(x0,y1)处的切线为l1，曲线17.（5分）曲线y=f(x)在点(18.（5分）已知在数列{an}中，a1=-1且(n+1)an-nan+1四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知函数f(x)=lnx+1-xax(a>0). 

(1)若函数f(x)20.（12分）已知二次函数h(x)=ax2+bx+2，其导函数y=h'(x)的图象如图，f(x)=6lnx+h(x)21.（12分）已知{an}是等比数列，且a1+a2=20，a2+a3=80. 

(Ⅰ)求数列22.（12分）已知函数f(x)=e2x，g(x)=m(2x+1)，m>0，设h(x)=f(23.（12分）已知函数f(x)=xex-mx2-x-1. 

(Ⅰ)

答案和解析1.【答案】D;【解析】解：令F(x)=f(x)-12x，则F'(x)=f'(x)-12<0， 

故F(x)在R递减，而F(1)=f(1)-12=12， 

因为不等式f(x2)>x2+12，2.【答案】A;【解析】解：令f(x)=lnxx，x∈(0,e)， 

则f'(x)=1-lnxx2>0，故f(x)在(0,e)递增， 

若0<x1<x2<e，则lnx2x2>lnx1x1，则x1lnx2>x2lnx1， 

故A正确，B错误； 

令g(x)=ex-lnx，x∈(0,e)，则g'(x)=ex-13.【答案】A;【解析】 

此题主要考查数列的求和，属于基础题. 

利用分组转化为等差数列的求和. 

解：由an+2-an=1，可知数列中奇数项和偶数项分别构成公差为1的等差数列， 

所以数列{an}的前100项和为： 

(4.【答案】A;【解析】此题主要考查等差数列的性质及通项公式的应用，属于中档题.解：由若2an=可得数列{a则a2故选A 

5.【答案】D;【解析】 

由题意知f'(x)=x2+ax+2b，结合题设条件由此可以导出b-2a-1的取值范围． 

此题主要考查导数和导数的应用，解题时要注意等价命题的合理转换． 

解：∵f(x)=13x3+12ax2+2bx+c，∴f'(x)=x2+ax+2b， 

设x2+ax+2b=(6.【答案】A;【解析】解：图象可以看出在(-5,1)和(7,+∞)f'(x)>0在(-∞,-5)和(1,7)上f'(x)<0 

所以由图象可知函数f(x)在(-3,1)内单调递增，在(1,7)内单调递减， 

函数在-5和7处取到极小值，在1处取到极大值． 

所以①是错误的；②正确的；③错误的；④7.【答案】A;【解析】 

该题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，属中档题． 

由S20>0，S21<0，易得a10+a11>0且a11<0，可得n⩽10时，Snan>0，S10最大，而a10最小，可得答案． 

解：由题意显然公差d<0， 

∵S20=20(a1+a20)2=10(a1+a20)>0， 

∴a1+a20>0，则a10+a118.【答案】D;【解析】 

此题主要考查了函数的零点问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题． 

问题转化为y=a和g(x)=lnxx的图象有2个不同交点，根据函数的单调性求出g(x)的最大值，求出a的范围即可． 

解：若函数f(x)=lnxx-a有两个不同的零点， 

则y=a和g(x)=lnxx的图象有2个不同交点， 

由g'(x)=1-lnxx2>0，解得：0<x<e，令g9.【答案】ABC;【解析】 

此题主要考查函数恒成立问题，着重考查等价转化思想与构造函数思想的综合应用，考查导数法判断函数的单调性及求最值，属于中档题． 

将不等式x2+ax+1⩾0对一切x∈(0,12]成立转化为a⩾-1-x2x=-1x-x对一切x∈(0,12]恒成立，通过构造函数g(x)=-1x-x，利用导数法可判断其在区间(0,12]上的单调性，易求g(x)max=-52，从而可得答案． 

解：不等式x2+ax+1⩾0对一切x∈(0,1210.【答案】BD;【解析】 

此题主要考查了椭圆的几何性质，属于中档题. 

利用椭圆的几何性质逐个求离心率进行判断. 

解：当A条件成立时，得2c2=a-ca-c， 

整理得3ca2+2ca-1=0，解得ca=13≠5-12， 

故答案A错误； 

当B条件成立时，得F1B12+B1A22=F1A22， 

所以得c2+b2+b2+a2=a+c2， 

整理得ca2+ca-1=0，解得ca=5-12， 

11.【答案】BC;【解析】 

此题主要考查利用导数研究函数的零点，函数的极值，单调性，考查数形结合的思想，考查计能力. 

根据题意f(x)=0等价于ln2xx2-alnxx+1=0，设u=lnxx，分3种情况讨论可得a>e+1e或a<-2，进而可判断AB；分a=0时，a<0时，讨论可判断C，取a=1，x=e，可判断D. 

解：f(x)=0等价于ln2xx2-alnxx+1=0，设u=lnxx，函数图象如下图(1)所示， 

令y=u2-au+1，若f(x)有两个零点，则有三种情况： 

若(i)0<u<1e，如下图(2)， 

则u=1e时，y<0，∴1e2-a1e+1<0，∴a>e+1e， 

若(ii)u1=1e，u2<0，，将u1=1e代入u2-au+1=012.【答案】BCD;【解析】解：∵当k=0时，根据“等差比数列“的定义，有an+2-an+1an+1-an=0，即有an+2-an+1=0，这与分母不为0矛盾， 

∴k≠0，故选项A正确； 

∵当an=n-1时，an+2-an+1an+1-an=n+1-nn-n+1=1为常数，∴数列13.【答案】AB;【解析】解：A选项，a2=2ln2+12=ln4+12<lne32+12=2，A正确； 

B选项，因为f'(x)=2x-1x2=2x-1x2，所以当x>1时，f(x)单增， 

所以f(x)>f(1)=1， 

因为a1=2>1，所以an+1=f(an)>1，所以an>1，B正确； 

C选项，因为an>1，所以S14.【答案】(-∞【解析】 

该题考查导数的运用，函数的性质，零点的判断方法，属于基础题． 

解：∵函数f(x)=ex-x+a， 

∴f'(x)=ex-1， 

令f'(x)=0，得x=0， 

当x<0时，f'(x)<0；当x>0时，f'(x)>0， 15.【答案】2n+(n【解析】 

该题考查数列递推式的运用，考查构造数列法，以及等比数列的求和公式，考查化简运算能力，属于中档题． 

讨论λ=0，λ=2，λ≠0且λ≠2，结合等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，可得所求通项． 

解：若λ=0，可得an+1=2n+1(n∈N+)，即an=2n(n∈N+)； 

若λ=2，可得an+1=2an+2n+1， 

即有an+12n+1=an2n16.【答案】1≤a【解析】解：函数y=(ax-1)ex的导数为y'=(ax+a-1)ex， 

∴l1的斜率为k1=(ax0+a-1)ex0， 

函数y=(1-x)e-x的导数为y'=(x-2)e-x 

∴l2的斜率为k2=(x0-2)e-x0， 

由题设有k1⋅k2=-1从而有(ax0+a-1)ex0.(x0-2)e-x017.【答案】1;【解析】f'(18.【答案】-n2，nn【解析】 

此题主要考查的是递推公式，等差数列的通项公式，裂项相消法求和. 

由(n+1)an-nan+1=n(n+1)，两边同时除以nn+1，得an+1n+1两边同时除以nn+1，得ann-an+1n+1=1，即an+1n+1-ann=-1， ∴b∴Tn=b1+b2+b319.【答案】解：f（x）定义域为（0，+∞）， 

f′（x）=ax-1ax2（x＞0）， 

（1）由已知，得f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立， 

即a≥1x在[1，+∞）上恒成立． 

又因为当x∈[1，+∞）时，1x≤1， 

所以a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）． 

（2）当12＜a＜1时，由f′（x）=0得x=1a∈（1，2）， 

当x∈（1，1a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 

当x∈（1a，2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 

所以f（x）【解析】 

(1)求导得f'(x)=ax-1ax2(x>0)，问题可转化为f'(x)⩾0在区间[1,+∞)上恒成立，即a⩾1x在[1,+20.【答案】解：(1)由已知，h'(x)=2ax+b， 

其图象为直线，且过(0,-8)，(4,0)两点， 

把两点坐标代入h'(x)=2ax+b， 

∴2a=2b=-8，解得：a=1b=-8， 

∴h(x)=x(0,1)1(1,3)3(3,+f+0-0+f递增递减递增∴f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3,+∞)∴f(x)的单调递减区间为(1,3) 

要使函数f(【解析】该题考查了求函数的解析式问题，考查导数的应用，考查函数的单调性问题，是一道中档题． 

(1)先求出f(x)的导数，通过待定系数法求出a，b的值，从而求出f(x)的解析式； 

(2)求出f21.【答案】解：(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q， 

由_1+a1q=20所以a(Ⅱ)bn=S=(2+1)+(2=(2+2=2(1-=2【解析】此题主要考查等比数列的通项公式及数列的分组转化法求和.(Ⅰ)由_1+a1q=20a1(Ⅱ)由(Ⅰ)bn=2n22.【答案】解：（1）h（x）=e2x-m（2x+1），h′（x）=2e2x-2m， 

令h′（x）＞0，解得x＞lnm2，令h′（x）＜0，解得x＜lnm2， 

∴h（x）在(-∞，lnm2)上单调递减，在(lnm2，+∞)上单调递增， 

∴h(x)min=h(lnm2)=-mlnm， 

要使h（x）有两个零点，则需-mlnm＜0，解得m＞1， 

当m＞1时，注意到h(-12)=1e＞0，h(m)=e2m-m(2m+1)＞4m2-2m2-m=2m2-m＞0， 

∴函数h（x）在(-12，lnm2)，(lnm2，m)上各有一个零点，符合题意， 

∴实数m的取值范围为（1，+∞）； 

（2）证明：f′（x）=2e2x，设g（x）=m（2x+1）与f（x）切于点P(x0，e2x0)， 

则{2e2【解析】 

(1)对函数h(x)求导，判断其单调性，进而可得到其最小值，易知最小值必须小于0，由此可得m的取值范围，再利用零点存在性定理验证即可； 

(2)易知g(x)=2x+1，h(x)=e2x-2x23.【答案】解：（Ⅰ）当m=12时，f(x)=xex-12x2-x-1， 

则f'（x）=（x+1）ex-x-1=（x+1）（ex-1）， 

令f'（x）＞0，得x＜-1或x＞0，令f'（x）＜0