人教A版（2019）数学选修性必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测）7（含解析）

人教A版（2019）数学选修性必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测）7一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1+a2=2，an+1=Sn+23，用A.5 B.6 C.7 D.82.（5分）已知等比数列{an}满足a1A.21                      B.42                      C.633.（5分）函数f(x)=x2-1在区间A.5 B.4 C.3 D.24.（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若aA.36                      B.72                         C.915.（5分）已知函数f(x)=e|x|(A.f(a)>f(b6.（5分）已知函数f(x)

在R上满足f(x)=A.y=-2x+3 B.y=7.（5分）已知ΔABC中角A，B，C的对边分别是边a，b，c.若c=5，sinA+sinB=A.π6 B.π4 C.π8.（5分）已知等差数列{an}的公差为3，且a1，aA.4 B.8 C.12 D.16二、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）设{an}是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且KA.0<q<1 B.K9>K5

C.a710.（5分）函数f(x)=x(eA.k=1                                                          B.k>1 C.11.（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足aA.数列{an}是递增数列 B.数列{Sn}是递增数列

C.Sn12.（5分）若定义域为(0,+∞)的函数f(x)的导函数f'(A.f(e)>0

B.f(1e13.（5分）已知函数f(x)=lnx+1-A.a的取值范围为(-∞,1) B.x1+三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f'(x)，f(e)=e，当x>0时，15.（5分）等比数列{an}中，a2=18，a4=816.（5分）曲线f(x)=(2x17.（5分）在等差数列{an}中，已知a4=4，18.（5分）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在0,+∞上f四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知数列{an}{满足a1=1，an+1-an=2，等比数列{bn}满足b1=a1，b4=820.（12分）已知函数f(x)=x3+ax2+bx-2(a,b∈R)． 

(1)当a>0，b=0时．求f21.（12分）函数f(x)=13x3-kx，其中实数k为常数． 

(I)当k=422.（12分）已知函数f(x)=xetx-ex+1，其中t∈R，e是自然对数的底数． 

(Ⅰ)若方程f(x)=123.（12分）已知函数f(x)=12x2-(a+1)x+alnx(

答案和解析1.【答案】B;【解析】 

此题主要考查等比数列的判断，将连续两项合在一起的整体思想的应用，对取整函数性质特点的考查，不等式的计算能力，属于较难题． 

本题先根据题意计算得出数列{an}是等比数列，写出数列{an}的通项公式，然后得出an+an+1=2n是一个整数，然后根据取整函数[x]的性质特点得出an-1<bn<an.从而有an+an+1-2<bn+bn+1<an+an+1，即可得到bn+bn+1=2n-1.这样即可求得T2n的表达式，在与2019进行比较时可根据选择题特点代入选项判断，即可得出结果． 

解：由题意，当n=1时，a2=S1+23，即a2=a1+23． 

联立a1+a2=2a2=a1+23，解得a1=23a2=43． 

当n⩾2时，an+1=Sn+23，an=Sn-1+23． 2.【答案】B;【解析】 

此题主要考查等比数列通项公式的应用，属于基础题． 

由已知a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，即可求答案． 

解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，设公比为q， 

3.【答案】D;【解析】解：由题意可得，f(m)-f(1)m-1=m2-1m-1=m+1=3，4.【答案】C;【解析】 

此题主要考查等差数列的性质及前n项和公式. 

利用等差数列的性质可得a7=7，然后利用求和公式求解即可. 

解：由a5+a7+a9=21得， 

3a7=215.【答案】D;【解析】解：对于A，当a=2，b=-3时，e|2|<e|-3|，故选项A错误； 

对于B，当a=2，b=1时，e|2|>e|1|，故选项B错误； 

由于f(x)={ex,x>0e-x,x<0，则f'(x)={ex,x>0-e6.【答案】B;【解析】解：取x=1，得f(1)=2f(1)-1，可得f(1)=1． 

对函数f(x)求导，得f'(x)=-2f'(2-x)-2x+8， 

∴f'(1)=-2f'(1)+6，得f'(1)=2 

由此可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率k=2 

∴所求切线方程为y-1=2(x-7.【答案】D;【解析】解：∵sinA+sinB=75sinC， 

∴a+b=75c， 

又2b=a+c，c=5， 

∴a=3，b=4， 8.【答案】D;【解析】此题主要考查等差数列的通项公式的运用，等比数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 

解：a1，a2，a6成等比数列，可得a22=a1a6，可得(a1+d)2=a1(9.【答案】ACD;【解析】 

此题主要考查等比数列的性质，涉及数列的单调性，属中档题． 

由等比数列的单调性和通项公式逐个选项验证可得． 

解：∵{an}是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积， 

由K6=K7可得a7=1，故C正确； 

由K5<K6可得a6>1，∴q=a7a6∈(0,1)，故A正确； 

由{an}是各项为正数的等比数列且q∈(0,1)可得数列单调递减， 

10.【答案】AC;【解析】此题主要考查函数零点存在定理，考查分析能力和问题转化能力。将条件转化为k=xex-lnx-x在(0,+∞)上有唯一解x0，即函数g(x)=xex-lnx-x,x>0的图像和水平直线y=k有唯一公共点。利用导数研究函数g(x)的单调性，可知g'(x0)=0，g(x)在x=x0处取最小值，所以k=x0ex0-lnx0-x0，可判断ABC；对于D，构造函数h(x)=xex-1,x>0，显然h(x)在(0,+∞)上单调递增，易知h12<hx0<h(1)，所以有12<x0<1，即可判断D. 

解：因为函数f(x)=x(ex-1)-lnx-k在(0,+∞)上有唯一零点x0，所以方程k=11.【答案】AC;【解析】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2022>0，a2021+a2022<0， 

对于A，由题意a2022>0，a2021<0，即公差d>0，所以数列{an}是递增数列，故A正确； 

对于B，由题意a2022>0，a2021<0，所以数列{Sn}是先减后增数列，故B错误； 

对于C，由题意a2022>0，a2021<0，所以Sn的最小值是S2021，故C正确； 

对于D，由S12.【答案】ABC;【解析】解：根据题意，若定义在(0,+∞)的函数f(x)的导数f'(x)满足xf'(x)+1>0， 

则有f'(x)+1x>0，则有[f(x)+lnx]'>0， 

设g(x)=f(x)+lnx，则g'(x)=f'(x)+1x>0，则g(x)在(0,+∞)上为增函数， 

依次分析选项： 

对于A，e>1，则g(e)>g(1)，即f(e)+lne>1，则有f(e)>0，符合题意； 

对于B，1e<1，则g13.【答案】BCD;【解析】解：函数f(x)=lnx+1-ax有两个零点x1，x2(x1<x2)， 

即方程a=lnx+1x有两个不同的根x1，x2(x1<x2)， 

令g(x)=lnx+1x(x>0)，则g'(x)=-lnxx2(x>0)，令g'(x)=0，解得x=1， 

当0<x<1时，g'(x)>0，则g(x)单调递增， 

当x>1时，g'(x)<0，则g(x)单调递减， 

故当x=1时，函数g(x)取得最大值g(1)=1， 

当x→0时，g(x)→-∞，当x→+∞时，g(x)→0， 

若函数y=a与y=g(x)的图象有两个不同的交点， 

则a的取值范围为(0,1)， 

故选项A错误； 

因为0<x1<1<x2，， 

故x1x2-(x1+x2)+1=(x1-1)(x2-1)<0， 

即x1+x2-x1x2>1， 

故选项B正确； 

令G(x)=g(x)-g(2-x)， 

则当0<x<1时，G'(x)=g'(x)+g'(2-x)=-lnxx-ln(2-x)(2-x)2⩾-14.【答案】-∞【解析】 

此题主要考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数，解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决． 

结合题意构造函数g(x)=f(x)x2，结合已知可求g(x)的单调性，结合单调性及奇偶性可求． 

解：根据题意，设函数g(x)=f(x)x2， 

当x>0时，g'(x)=f'(x).x-2.f(x)x3>0，

所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增， 

又f(x)为偶函数，所以g(x15.【答案】±2【解析】解：∵等比数列{an}中，a2=18，a4=8， 

∴{an}的公比q满足q2=a4a2=16.【答案】y=6x-4;【解析】解：f(x)=(2x-1)(x2+1)的导数为f'(x)=2(x2+1)+2x(2x-1)， 

可得切线的斜率为f'(1)=4+2=6，切点为(1,2)， 17.【答案】-12;【解析】解：由等差数列{an}的性质可得：2a8=a4+a12， 

又a4=4，a8=-4，∴a1218.【答案】-∞【解析】 

此题主要考查函数的奇偶性和单调性的性质，属于中档题. 

由题意构造函数Fx=fx-x2，利用单调性和奇偶性即可求解． 

【解析】 

解：构造函数Fx=fx-x2，则在0,+∞上，F'x=f'x-2x>0， 

F-x=f-x+-x2=f19.【答案】解：（I）由题意可知：an+1-an=2 

∴数列{an}是以a1=1为首项，以d=2为公差的等差数列，…（1分） 

∴数列{an}的通项公式an=2n-1，…（2分） 

由等比数列{bn}，b4=b1.q3，而b1=a1，b4=8 

∴q3=8，∴q=2 

∴数列{bn}的通项公式bn=2n-1；…（5分） 

（II）由（I）得an=2n-1，bn=2n-1，∴cn=(2n-1).2n-1， 

∴Sn=c【解析】 

(I)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出． 

(II)利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．20.【答案】解：（1）当a＞0，b=0时，f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0， 

解得x=0或x=-2ax(--(-0（0，+∞）f′（x）+0-0+f（x）↗极大值↘极小值↗所以f（x）在(-∞，-2a3)，（0，+∞）上单调递增，在(-2a3，0)上单调递减 

（2）因为f′（x）=3x2+2ax+b，所以f′（2）=12+4a+b=11， 

将x=2代入切线方程，得y=6，所以f（2）=8+4a+2b-2=6， 

联立解得a=-12，b=1，所以f′（x）=3x2-x+1， 

因为f′（x）-2t≤lnx对任意的x∈[1e，e]恒成立， 

所以2t≥3x2-x+1-lnx， 

记φ（x）=3x2-x+1-lnx，所以2t≥φ（x）max， 

因为ϕ'(x)=6x-1-1x=(2x-1)(3x+1)x，令φ′（x）=0，则x=12， 

所以x∈(1e，12)时，φ′（x）＜【解析】 

(1)求出f'(x)=3x2+2ax，令f'(x)=0，然后判断导函数的符号，判断函数的单调性即可． 

(2)求出f'(x)=3x2+2ax+b，通过f'(2)=12+4a+b=1121.【答案】解：（I）因为f′（x）=x2-k…（2分） 

当k=4时，f′（x）=x2-4，令f′（x）=x2-4=0，所以x=-2或x=2 

f′（x），f（xx（-∞，-2）-2（-2，2）2（2，+∞）f′（x）+0-0+f（x）增极大值减极小值增…（4分） 

所以f（x）的单调递增区间是（-∞，-2），（2，+∞） 

单调递减区间是（-2，2）…（6分） 

（II）令g（x）=f（x）-k，所以g（x）只有一个零点…（7分） 

因为g′（x）=f′（x）=x2-k 

当k=0时，g（x）=13x3，所以g（x）只有一个零点0…（8分） 

当k＜0时，g′（x）=x2-k＞0对x∈R成立， 

所以g（x）单调递增，所以g（x）只有一个零点…（9分） 

当k＞0时，令g′（x）=f′（x）=x2-k 

=0，解得x=k或x=-k…x（-∞，-k）-k（-k，k）k（k，+∞）g′（x）+0-0+g（x）增极大值减极小值增g（x）有且仅有一个零点等价于g（-k）＜0…（11分） 

即g（-k）=23kk-k＜0，解得0＜k＜94…（12分） 

综上所述，k的取值范围是k＜94…（【解析】 

(I)先求原函数的导数，根据f'(x)>0求得的区间是单调增区间，f'(x)<0求得的区间是单调减区间，即可； 

(II)将题中条件：“函数f(x)的图象与直线y=k只有一个公共点，”等价于22.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=1，可得x=ex（1-t）＞0， 

∴原方程无负实数根， 

故有lnxx=1-t． 

令g（x）=lnxx，则g′（x）=1-lnxx2， 

∴0＜x＜e，g′（x）＞0；x＞e，f′（x）＜0， 

∴函数g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减， 

∴函数g（x）的最大值为g（e）=1e， 

∴函数g（x）的值域为（-∞，1e]； 

方程f（x）=1无实数根，等价于1-t∉（-∞，1e]， 

∴1-t＞1e， 

∴t＜1-1e， 

∴当t＜1-1e时，方程f（x）=1无实数根； 

（Ⅱ）f′（x）=etx[1+tx-e（1-t）x] 

由题设，x＞0，f′（x）≤0， 

不妨取x=1，则f′（1）=et（1+t-e1-t）≤0， 

t≥1时，e1-t≤1，1+t≤2，不成立，∴t＜1． 

①t≤12，x＞0时，f′（x）=etx[1+tx-e（1-t）x]≤ex2（1+x2-ex2）， 

由（Ⅰ）知，x-ex+1＜0，∴1+x2-ex2＜0，∴f′（x）＜0， 

∴函数f（x）是（0，+∞）内的减函数； 

②12＜t＜1，t1-t＞1，∴11-tlnt1-