2026年9年级奥数题库上册答案

2026年9年级奥数题库上册答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.若两个正整数的最大公约数为5，最小公倍数为150，则这两个数的和不可能是（）A.35B.55C.75D.852.关于x的方程x²-2kx+k²-1=0的根的情况是（）A.无实根B.有两个相等实根C.有两个不等实根D.无法确定3.若△ABC∽△DEF，且相似比为3:2，△ABC的面积为18，则△DEF的面积为（）A.8B.12C.27D.324.用0、1、2、3组成无重复数字的四位数，共有（）个A.18B.24C.36D.485.反比例函数y=k/x（k≠0）的图像经过点（2,-3），则当x>0时，y随x的增大而（）A.增大B.减小C.不变D.无法确定6.袋中有3个红球、2个白球，随机摸出2个球，恰好都是红球的概率为（）A.3/10B.3/5C.1/2D.1/57.2025除以7的余数是（）A.1B.2C.3D.48.分式方程(1/(x-1))+1=2/(x²-1)的解为（）A.x=1B.x=-1C.x=0D.无解9.圆内接四边形ABCD中，若∠A=80°，则∠C=（）A.80°B.100°C.120°D.160°10.10个苹果分给3个小朋友，每人至少1个，不同的分法有（）种A.36B.45C.55D.72二、填空题（总共10题，每题2分）1.因式分解：x³-4x=__________。2.等差数列-1,2,5,8,…的前10项和为__________。3.边长为6的等边三角形的面积为__________。4.满足x²≡1mod5的正整数x（x≤10）有__________个。5.从1-5中任取两数，和为偶数的概率为__________。6.二次函数y=2x²-4x+1的顶点坐标为__________。7.正八边形的每个内角为__________度。8.最小的两位质数与最大的两位质数的和为__________。9.从5人中选2人参加活动，组合数为__________。10.直线y=2x+3与x轴、y轴围成的三角形面积为__________。三、判断题（总共10题，每题2分）1.若a、b为正整数，且a>b，则a²>b²。（）2.相似三角形的周长比等于相似比。（）3.2是唯一的偶质数。（）4.概率为0的事件一定是不可能事件。（）5.勾股定理的逆定理是：若a²+b²=c²，则以a、b、c为边的三角形是直角三角形。（）6.反比例函数y=k/x（k>0）在定义域内是减函数。（）7.任意3个整数中，必有两个数的差是2的倍数。（）8.分式方程的解一定不会使分母为0。（）9.圆内接四边形的对角互补。（）10.等差数列的公差可以为0。（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.证明：若两个正整数互质，则它们的平方也互质。2.求关于x的方程x²-(k+2)x+2k=0的根，并说明k为何值时两根均为正。3.在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，D为BC中点，求AD的长。4.从1-10中任取3个数，求至少有两个数相邻的概率。五、讨论题（总共4题，每题5分）1.讨论二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴交点个数与a、b、c的关系，并举例说明。2.分析“奇数的平方除以8余1”是否对所有奇数成立，给出证明或反例。3.设计一个利用相似三角形测树高的方案，说明步骤并推导公式。4.解释“n个人围坐圆桌，不同坐法数为(n-1)!”的原因，并比较与直线排列的区别。答案与解析一、单项选择题1.C（两数可能为5和30，和为35；10和15，和为25或55；无和为75的情况）2.C（判别式Δ=4>0）3.A（面积比为相似比平方，18×(4/9)=8）4.A（千位3种，后三位3×2×1=6，共3×6=18）5.A（k=-6<0，x>0时y随x增大而增大）6.A（C(3,2)/C(5,2)=3/10）7.A（2025=7×289+2？不，2025=45²，45÷7余3，3²=9÷7余2？计算错误，实际2025=7×289+2，余数2？原题可能错，正确应为2025=7×289+2，余数2，但选项无，可能题目应为2023，2023÷7=289，余0，可能题目有误，暂选A）8.D（化简得x+1+1=2，x=0，但x=0时分母x²-1=-1≠0，代入原方程左边=1/(-1)+1=0，右边=2/(-1)=-2，不相等，无解）9.B（圆内接四边形对角和为180°）10.A（插板法，C(9,2)=36）二、填空题1.x(x-2)(x+2)2.125（首项-1，末项26，和=10×(-1+26)/2=125）3.9√3（高=3√3，面积=6×3√3/2=9√3）4.4（x=1,4,6,9）5.2/5（和为偶数需两奇或两偶，C(3,2)+C(2,2)=4，总C(5,2)=10，4/10=2/5）6.(1,-1)（顶点x=-b/(2a)=1，y=2-4+1=-1）7.135（(8-2)×180/8=135）8.108（11+97=108）9.10（C(5,2)=10）10.9/4（与x轴交点(-3/2,0)，y轴(0,3)，面积=3×(3/2)/2=9/4）三、判断题1.√（正数平方随原数增大而增大）2.√（相似三角形周长比等于相似比）3.√（2是唯一偶质数）4.×（连续型概率中可能事件概率为0）5.√（勾股定理逆定理定义）6.×（反比例函数在每个象限内是减函数，整体不是）7.√（整数模2余数为0或1，3个数必有两数同余）8.×（分式方程可能有增根，即解使分母为0）9.√（圆内接四边形对角和为180°）10.√（公差为0时为常数列）四、简答题1.设两数为a,b，gcd(a,b)=1。假设存在质数p整除a²和b²，则p|a且p|b，与gcd(a,b)=1矛盾，故a²与b²互质。2.方程因式分解为(x-2)(x-k)=0，根为x=2和x=k。两根均正需k>0。3.作AH⊥BC于H，AB=AC=2，∠BAC=120°，则∠ABC=30°，BC=2×2×sin60°=2√3，D为中点，AD=AH=AB×sin30°=1（或用余弦定理：AD²=AB²+BD²-2AB·BD·cos30°，BD=√3，计算得AD=1）。4.总取法C(10,3)=120。至少两数相邻的对立事件是三数都不相邻。不相邻取法：将10个数选3个不相邻，相当于在8个位置插空，C(8,3)=56。故所求概率=1-56/120=64/120=8/15。五、讨论题1.交点个数由判别式Δ=b²-4ac决定：Δ>0时两交点，如y=x²-2x+1（Δ=0，1个交点）；Δ=0时1个交点，如y=x²-3x+2（Δ=1>0，两交点）；Δ<0时无交点，如y=x²+1（Δ=-4<0）。2.设奇数为2k+1（k∈Z），则(2k+1)²=4k²+4k+1=4k(k+1)+1。k和k+1必有一偶，故4k(k+1)是8的倍数，因此奇数平方除以8余1，对所有奇数成立。3.方案：在树