勾股定理及其应用课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十章勾股定理20.1勾股定理及其应用

请同学们翻到《主书》P20第二十章勾股定理第1课勾股定理及其应用(1)请同学们翻到《主书》P2001课前预习02例题精讲目录03课堂检测目录

探究

勾股定理问题：如图，方格纸中每个小方格的边长为1个单位长度，思考图

中三个正方形的面积有什么关系？你能用直角三角形的边长a，b，c

来表示图中正方形的面积关系吗？解：观察图形可知，正方形A中含有

个小方格，即A的面积

是

个单位面积，正方形B的面积是

个单位面积，正方形C

的面积是

⁠个单位面积．∴SA＋SB

SC.

∵SA＝a2，SB＝

，SC＝

，∴a2＋b2＝c2.44913＝b2c2

勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜

边长为c，那么a2＋b2＝c2.几何语言：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2＋b2＝c2.

勾股定理及其证明

⁠例1

如图是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”．证明：a2

＋b2＝c2.证明过程如下：(1)中间小正方形的面积为

⁠，一个直角三角形的面积

为

⁠．(2)大正方形的面积可表示为

⁠．(b－a)2

(3)大正方形的面积还可表示为

⁠．由(2)(3)得等式

．化简，得

⁠．c2

a2＋b2＝c2

1.

1876年，美国总统詹姆斯·加菲尔德(JamesAbramGarfield)利用下

图验证了勾股定理．你能利用它验证勾股定理吗？

利用勾股定理进行计算

⁠例2(人教八下P25练习T1改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝

90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)若a＝4，b＝3，则c＝

⁠；(2)若a＝5，c＝13，则b＝

⁠；(3)若b＝6，c＝8，则a＝

⁠．512

例3

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝3，求BC的

长及△ABC的面积．

利用勾股定理进行计算：(1)勾股定理只适用于直角三角形；(2)已知直角三角形的两边，用勾股定理可求出第三边．

1．

如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面

积为(

C

)A．

8B．

16C．

64D．

136C2．

在括号内写出下列直角三角形中未知边AB的长．16253．

设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.(1)已知a＝1，b＝2，则c＝

；

(2)已知a＝3，c＝6，则b＝

⁠.4．

(人教八下P26练习T3改编)在平面直角坐标系中，两点A(3，

0)和B(0，3)之间的距离AB＝

⁠．5．

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝30°，则AC的

长为

⁠．6．

已知直角三角形的一条直角边长为8，斜边长为10，则另一条

直角边长为

，斜边上的高为

⁠．

64.8

(2)若a，b是某直角三角形的两条边的长，求此直角三角形的面

积．

第二十章勾股定理第2课勾股定理及其应用(2)请同学们翻到《主书》P2201课前预习02例题精讲目录03课堂检测目录

解：如图2，连接AC.

在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2＝

＝12＋22＝5.∴AC＝

⁠≈2.24.∵AC大于木板的宽2.2m，∴木板

(填“能”或“不能”)从门框内通过(将该长方形的宽沿

着AC斜着进去)．AB2＋BC2

能

勾股定理把三角形由一个直角的“形”的特点，转化为三边的

“数”的关系，可以解决生活、生产中的一些实际问题．

勾股定理的实际应用

⁠例1

某条道路限速80km/h.如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处正前方30m的C处，过了2s，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50m.这辆小汽车是否超速？

例2

如图，一个长5m的梯子AB，斜靠在一竖直的墙上，这时AO高

为4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑1m至点C.

求梯子底端B向外移动

的距离BD.

答：梯子底端B向外移动的距离BD为1m．2.

如图，线段AB是电线杆的一条固定拉线，AB＝2.5m，BC＝1.5

m，另一条拉线A1B1在地面上的固定点B1到杆底C的距离B1C＝2.4

m，拉线A1B1＝2.5m．求电线杆上两固定点A和A1之间的距离．

答：电线杆上两固定点A和A1之间的距离是1.3m．

1．

如图，A，C之间隔有一湖，在与AC方向成90°角的CB方向

上有一点B，在点B处测得AB＝500m，BC＝400m，则AC的长为

(

A

)A．

300mB．

400mC．

500mD．

600mA2．

如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD

使其不变形．若AF＝1m，AE＝2m，则木条EF＝

⁠m.

3．

如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角

∠ACB走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”AB.

他们仅仅少走

了

m的路，却踩伤了花草．4

105．

如图为某楼梯，测得楼梯的长为5m，高为3m，计划在楼梯表

面铺地毯，地毯的长度至少为

m．76．

(北师八上P3随堂练习T2变式)小华看到爸爸新买的手机宣传

“6.7英寸(约17cm)屏幕”，但用尺子测量后发现屏幕实际长度只有15.5

cm，宽度只有7cm.他认为商家虚假宣传，你同意吗？请解释原因．解：不同意．理由如下：手机的尺寸是指屏幕的对角线长，而15.52＋72＝289.25≈172.所以不同意小华的想法．第二十章勾股定理第3课勾股定理及其应用(3)01课前预习02例题精讲目录03课堂检测目录

探究

勾股定理的应用问题：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝5，AB＝

AC＋1，你能求出AC的长吗？解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC2＝AB2－BC2＝(AC＋1)2－25.解得AC＝12.

在直角三角形中，已知一边和另外两边的关系，可以利用勾

股定理，构造方程求解．

勾股定理与数轴

⁠

解：如图．1．

如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1.以点O

为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴的正半轴交于点P，则点P所表

示的数是(

C

)A.

B．

C．

D．

C

勾股定理与折叠

⁠例2(人教八下P31习题T11改编)如图，在Rt△ABC中，∠B＝

90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为

DE，求BE的长．

2.

如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边

的中点C′上．若AB＝4，BC＝6，求BF的长.

折叠图形中勾股定理的运用：(1)由折叠区域全等，得对应边、对应角相等；(2)在“非折叠区域(一般找直角三角形)”，利用勾股定理，设x列方

程求解．

1．

在平面直角坐标系中，点P(3，2)到原点的距离是(

A

)A．

B．

1C．

D．

A2．

如图，数轴上点B表示的数为2，过点B作BC⊥OB于点B，

且CB＝1，以原点O为圆心，OC长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于

点A，则点A表示的实数是

⁠．

3

204．

如图，折叠长方形ABCD一边AD，使D落在BC边上的点F

处，已知AB＝6，BC＝10，则CE的长为

⁠．

5．

(方程思想)如图，小肖同学从滑雪台A处开始向下滑至B

处．已知滑雪台的高度AC为14m，滑雪台整体的水平距离BC比滑雪

台的长度AB短2m，求滑雪台的长度AB.

解：设AB的长为xm，则BC的长为(x－2)m.由题意，得△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，即142＋(x－2)2＝x2.解得x＝50.答：滑雪台的长度AB为50m．6．

一个三角形工件的尺寸(单位：mm)如图所示，求它的高C