矩形课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章四边形21.3.1矩形

请同学们翻到《主书》P49第二十一章四边形矩形的性质请同学们翻到《主书》P4901课前预习02例题精讲目录03课堂检测目录探究1矩形的性质问题1：矩形的定义：有一个角是

⁠的平行四边形叫作矩

形．矩形是特殊的平行四边形．问题2：如图1，四边形ABCD是矩形，其中∠A＝90°.由平行四边形

的性质，得∠C＝

⁠°.再由平行四边形的定义，得AD

BC，AB

DC.

∴∠A＋∠B＝

°，∠A＋∠D＝

°.∴∠B＝

∠D＝

⁠°.直角对角相等90∥∥18018090因此，矩形的四个角都是

⁠．直角问题3：如图2，四边形ABCD是矩形．求证：对角线AC＝BD.

证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠ABC＝

∠

＝

⁠°.又BC＝CB，∴

(SAS)．∴AC＝DB.

因此，矩形的对角线

⁠．DCB90△ABC≌△DCB相等

矩形的性质：(1)矩形具有平行四边形的所有性质；(2)矩形不同于一般平行四边形的性质：①四个角都是

⁠；

②对角线

⁠．几何语言：如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴(边)

⁠

⁠；(角)∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝

°；(对角线)AC＝

，AO＝

＝

＝

⁠．矩形是轴对称图形，它每组对边中点连线所在的直线就是它的

对称轴．直角相等AB平行且相等

CD，AD平行且相等BC90BDBOCODO探究2直角三角形的斜边中线定理问题4：如图4，观察矩形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，

发现里面存在Rt△ABC，在Rt△ABC中，BO恰好是斜边

⁠

的

(填“高”“角平分线”或“中线”)．根据矩形的性质，可以发现

BO与斜边的数量关系为

⁠．AC中线

直角三角形斜边上的中线等于斜边的

⁠．一半

矩形的定义与性质

例1

如图，矩形ABCD的对角线相交于点O.

若AD＝3，BD＝5，

则AC＝

，AB＝

，矩形ABCD的周长为

⁠．54141．

如图，在矩形ABCD中，AB＝5，∠BAC＝60°，则CD

＝

，AC＝

，矩形ABCD的面积为

⁠．510

例2

如图，在矩形ABCD中，AE＝DF.

求证：BF＝CE.

证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°.又AE＝DF，∴△ABE≌△DCF(HL)．∴BE＝CF.

∴BE－EF＝CF－EF，即BF＝CE.

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

例3

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，D是AB的

中点，则∠DCB的度数是

⁠．70°2．

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点，BC

＝6，AC＝8，则CD的长为

⁠．5

1．

如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，∠AOD＝

110°，则∠OAD的大小是(

B

)A．

55°B．

35°C．

45°D．

20°B2．

(2025辽宁)如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE＝

BC，连接CE，若AB＝3，AE＝4，则CE的长为(

D

)A．

1B．

5C．

2

D．

D3．

如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB

＝90°.若AB＝6，BC＝10，则EF的长为

⁠．24．

(数学模型)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，将矩

形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA′的延长线恰好过点C，则

AE的长为

⁠．45．

如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC

交BC的延长线于点E.

(1)求证：DB＝DE；(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴OB＝OC.

∴∠OBC＝∠OCB.

∵DE∥AC，∴∠E＝∠OCB.

∴∠E＝∠OBC.

∴DB＝DE.

(2)若∠E＝40°，求∠COD的度数．(2)解：由(1)可知DB＝DE.

∴∠OBC＝∠E＝40°.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°.∴∠COD＝∠OCB＋∠OBC＝80°.第二十一章四边形矩形的判定01课前预习02例题精讲目录03课堂检测目录探究

矩形的判定问题1：矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？如图，在▱ABCD中，AC＝DB.

求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC且AB∥DC.

又BC＝CB，AC＝DB，∴△ABC≌△DCB(SSS)．∴∠ABC＝∠DCB.

∵AB∥DC，∴∠ABC＋∠DCB＝180°.∴∠ABC＝∠DCB＝90°.∴四边形ABCD是矩形．问题2：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.求

证：四边形ABCD是矩形．证明：∵∠A＝∠B＝90°，∴∠A＋∠B＝180°.∴AD∥BC.

同理可证AB∥CD.

∴四边形ABCD是平行四边形．又∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形．

矩形的判定：判定1(定义)：有一个角是

⁠的平行四边形是矩形．几何语言：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD

＝

°，∴四边形ABCD是矩形．判定2：对角线

⁠的平行四边形是矩形．几何语言：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，AC

＝

，∴四边形ABCD是矩形．判定3：有三个角是

⁠的四边形是矩形．直角90相等BD直角几何语言：如图，∵在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝

∠BCD＝

°，∴四边形ABCD是矩形．90

有一个角是直角的平行四边形是矩形

例1

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，EG∥CB，FG∥CA.

求证：四边形EGFC是矩形．证明：∵EG∥CB，FG∥CA，∴四边形EGFC是平行四边形．∵∠C＝90°，∴四边形EGFC是矩形．1．

如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，四边

形ADBE是平行四边形．求证：四边形ADBE是矩形．证明：∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，∴AD⊥BC.

∴∠ADB＝90°.又四边形ADBE是平行四边形，∴平行四边形ADBE是矩形．

对角线相等的平行四边形是矩形

例2

如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，

∠1＝∠2.求证：四边形

ABCD

是矩形．证明：∵∠1＝∠2，∴AO＝BO.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，BD＝2BO.

∴AC＝BD.

∴四边形ABCD是矩形．2．

如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝

OB.

求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OA，BD＝2OB.

∵OA＝OB，∴AC＝BD.

∴平行四边形ABCD是矩形．

有三个角是直角的四边形是矩形

例3

如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，

AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，过点C作CE⊥AN，垂足为点

E.