变限积分求导专项综合考核卷

变限积分求导专项综合考核卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三/理科班

试标题:变限积分求导专项综合考核卷

一、选择题

1.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下列说法正确的是

A.∫_a^xf(t)dt的导数是f(x)

B.∫_x^bf(t)dt的导数是-f(x)

C.∫_a^xf(t)dt与∫_x^bf(t)dt的导数互为相反数

D.以上都不对

2.若函数F(x)=∫₀^sinxt²dt，则F'(π/2)等于

A.0

B.π²/4

C.1

D.-1

3.函数y=∫₁^x²√(1+t³)dt的导数是

A.x²√(1+x⁶)

B.2x√(1+x⁶)

C.√(1+x³)

D.2x√(1+x³)

4.设f(x)连续，且f(0)=1，若∫₀^xf(t)dt=x²(1+x)，则f(1)等于

A.3

B.4

C.5

D.6

5.函数G(x)=∫₀^lnxe^tdt在x=e处的导数是

A.1

B.e

C.1/e

D.e²

6.若F(x)=∫_x¹t³dt，则F''(0)等于

A.0

B.1

C.-1

D.2

7.函数y=x³-3x∫₀^x√tdt满足微分方程

A.y'=3x²-3√x

B.y''=6x-3√x

C.y''=6x-3√x+3

D.y''=6x-3√x-3

8.设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)>0，若∫₀¹f(xt)dt=e，则f(1)等于

A.1

B.e

C.e²

D.2e

9.函数y=∫_sinx^cosxarctan(t²)dt的导数是

A.cosxarctan((cosx)²)-sinxarctan((sinx)²)

B.cosxarctan((cosx)²)+sinxarctan((sinx)²)

C.-cosxarctan((cosx)²)+sinxarctan((sinx)²)

D.-cosxarctan((cosx)²)-sinxarctan((sinx)²)

10.若函数g(x)=∫₀^x²(t+1)dt，则g(x)的极值点是

A.x=0

B.x=1

C.x=-1

D.x=2

二、填空题

1.设F(x)=∫₀^xsin(t²)dt，则lim_x→0[F(x)/x³]=______

2.若f(x)在[0,1]上连续，且∫₀¹f(xt)dt=1，则f(1/2)=______

3.函数y=∫₁^xe^(t²)dt的拐点是x=______

4.设F(x)=∫₀^x²tsin(t²)dt，则F'(x)=______

5.若∫₀¹f(t)dt=2，且f(x)在x=1处可导，则∫₀¹f'(xt)tdt=______

6.函数y=∫_sinx^cosxtdt的极值点是x=______

7.设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)>0，若∫₀¹tf(t)dt=1/2，则∫₀¹(1+t)f(t)dt=______

8.函数G(x)=∫₁^x³√(1+t)dt的导数G'(x)=______

9.若F(x)=∫₀^x(t³+1)dt，则F'(x)+F''(x)=______

10.函数y=∫₀^lnxtdt在x=1处的切线方程是y=______

三、多选题

1.下列函数中，导数等于原函数的有

A.e^x

B.sinx

C.-cosx

D.1/x

2.设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)>0，下列说法正确的有

A.∫₀¹√f(x)dx≤∫₀¹f(x)dx

B.∫₀¹f(x)dx≤∫₀¹√f(x)dx

C.∫₀¹f(x)dx=∫₀¹√f(x)dx

D.以上都不对

3.函数F(x)=∫₀^xt²dt的拐点在

A.x=0

B.x=1

C.x=-1

D.x=2

4.下列说法正确的有

A.若f(x)在[a,b]上连续，则∫₀^xf(t)dt在[a,b]上可导

B.若f(x)在[a,b]上可导，则∫₀^xf(t)dt在[a,b]上连续

C.若f(x)在[a,b]上连续，则∫₀^xf(t)dt在[a,b]上可积

D.若f(x)在[a,b]上可积，则∫₀^xf(t)dt在[a,b]上可导

5.设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)>0，下列积分中值定理应用正确的有

A.∫₀¹f(x)dx=f(ξ)·(1-0)(0≤ξ≤1)

B.∫₀¹x²f(x)dx=ξ²f(η)(0≤ξ,η≤1)

C.∫₀¹f(x)dx=f(ξ)·1(0≤ξ≤1)

D.∫₀¹f(x)dx=f(η)·(1-0)(0≤η≤1)

四、判断题

1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则∫_a^xf(t)dt在[a,b]上可导

2.函数y=∫₀^xsin(t²)dt的导数是cos(x²)

3.若F(x)=∫₀^xf(t)dt，且f(x)在x=0处连续，则F(x)在x=0处可导

4.∫₀¹f(xt)dt可以表示为f(u)du，其中u=xt

5.函数y=∫_sinx^cosxtdt的导数是cosx·cosx-sinx·sinx

6.若f(x)在[0,1]上连续且f(x)>0，则∫₀¹√f(x)dx≥∫₀¹f(x)dx

7.函数y=∫₁^xe^(t²)dt在x=0处的导数为0

8.若F(x)=∫₀^x(t³+1)dt，则F''(x)=3x²

9.函数y=∫₀^lnxtdt在x=1处的值为0

10.若f(x)在[0,1]上连续，则∫₀¹f(x)dx的值唯一确定

五、问答题

1.设函数F(x)=∫₀^xtsin(t²)dt，求F'(x)和F''(x)

2.已知函数y=∫_sinx^cosxarctan(t²)dt，求dy/dx

3.设f(x)在[0,1]上连续，且∫₀¹f(xt)dt=e，求f(1)的值

试卷答案

一、选择题

1.A

解析：根据微积分基本定理的第一部分，如果f(x)在[a,b]上连续，那么函数F(x)=∫_a^xf(t)dt在[a,b]上可导，并且F'(x)=f(x)。

2.B

解析：首先求导F'(x)=(sinx)'∫₀^sinxt²dt+∫₀^sinx(t²)'dt=cosx∫₀^sinxt²dt。然后将x=π/2代入，得到F'(π/2)=cos(π/2)∫₀^sin(π/2)t²dt=0*∫₀¹t²dt=π²/4。

3.D

解析：根据微积分基本定理和链式法则，y'=(x²)'∫₁^x²√(1+t³)dt+∫₁^x²(√(1+t³))'dt*(x²)'=2x√(1+(x²)³)=2x√(1+x⁶)。

4.A

解析：对等式∫₀^xf(t)dt=x²(1+x)两边求导，得到f(x)=2x(1+x)+x²=3x²+2x。然后将x=1代入，得到f(1)=3*1²+2*1=5。

5.A

解析：首先求导G'(x)=(lnx)'∫₀^lnxe^tdt+∫₀^lnx(e^t)'dt=1/x∫₀^lnxe^tdt。然后将x=e代入，得到G'(e)=1/e∫₀¹e^tdt=1/e*e=1。

6.B

解析：首先求导F'(x)=(1)'∫_x¹t³dt-x³(1)'∫_x¹t³dt=-x³。然后求二阶导数F''(x)=(-x³)'=-3x²。将x=0代入，得到F''(0)=-3*0²=1。

7.B

解析：首先求导y'=3x²-3∫₀^x√tdt-3x√x=3x²-3x√x-3x√x=3x²-6x√x。然后求二阶导数y''=(3x²-6x√x)'=6x-6(√x+x/√x)=6x-6(2√x)=6x-12√x=6x-3√x。

8.B

解析：令u=xt，则du=tdx，dx=du/t。当x=0时，u=0；当x=1时，u=1。所以∫₀¹f(xt)dt=∫₀¹f(u)du/t∫₀¹dt=∫₀¹f(u)du=e。因为f(x)在[0,1]上连续，所以f(1)=∫₀¹f(1)du=f(1)。所以f(1)=e。

9.A

解析：根据微积分基本定理和链式法则，y'=(cosx)'∫_sinx^cosxarctan(t²)dt+∫_sinx^cosx(arctan(t²))'dt*(cosx)'=-sinx∫_sinx^cosxarctan(t²)dt+cosxarctan((cosx)²)=cosxarctan((cosx)²)-sinxarctan((sinx)²)。

10.D

解析：首先求导g'(x)=(x²)'∫₀^x²(t+1)dt=2x∫₀^x²(t+1)dt。令u=x²，则du=2xdx，dx=du/2x。当x=0时，u=0；当x=2时，u=4。所以∫₀^x²(t+1)dt=∫₀^u(t+1)dt/u=∫₀^u(1+1/u)du=u+ln|u|=x²+ln(x²)=2x+2lnx。所以g'(x)=2x(2x+2lnx)=4x²+4xlnx。令g'(x)=0，得到4x²+4xlnx=0，即x(1+lnx)=0。解得x=0或x=1/e。因为x=0不在定义域内，所以极值点是x=1/e。

二、填空题

1.1/6

解析：根据洛必达法则，lim_x→0[F(x)/x³]=lim_x→0[sin(x²)/3x²]=lim_x→0[2xcos(x²)/6x]=lim_x→0[cos(x²)/3]=cos(0)/3=1/3。

2.2

解析：对等式∫₀¹f(xt)dt=1两边对x求导，得到f(x)=1。将x=1/2代入，得到f(1/2)=2。

3.1

解析：y'=e^(x²)，y''=2xe^(x²)。令y''=0，得到x=0。y'''=(2x)'e^(x²)+2x(e^(x²))'=2e^(x²)+4x²e^(x²)=2(1+2x²)e^(x²)。当x=0时，y'''=2e^(0)=2≠0。所以x=0是拐点。

4.x²sin(x⁴)

解析：根据微积分基本定理和链式法则，F'(x)=(x²)'sin(x⁴)+x²(sin(x⁴))'dx=2xsin(x⁴)+x²cos(x⁴)(4x³)=2xsin(x⁴)+4x⁵cos(x⁴)=x²sin(x⁴)。

5.0

解析：根据微积分基本定理和换元法，∫₀¹f'(xt)tdt=∫₀^xf'(u)du/x=f(x)/x-f(0)/x。因为f(0)=2，所以∫₀¹f'(xt)tdt=2/x-2/x=0。

6.π/4

解析：令dy/dx=0，得到cosx·cosx-sinx·sinx=cos²x-sin²x=cos(2x)=0。解得2x=π/2+kπ，即x=π/4+kπ/2。因为x在[0,π]内，所以x=π/4。

7.3/2

解析：根据积分的性质，∫₀¹(1+t)f(t)dt=∫₀¹f(t)dt+∫₀¹tf(t)dt=2+1/2=5/2。

8.3x⁴√(1+x⁹)

解析：根据微积分基本定理和链式法则，G'(x)=(x³)'√(1+(x³)³)=3x²√(1+x⁹)。

9.6x⁴+1

解析：F'(x)=x³+1，F''(x)=(x³+1)'=3x²。所以F'(x)+F''(x)=x³+1+3x²=6x⁴+1。

10.y=lnx-1/2

解析：当x=1时，y=∫₀^ln1tdt=∫₀⁰tdt=0。所以切点为(1,0)。导数为dy/dx=1/x。所以切线方程为y-0=1/1(x-1)，即y=x-1。

三、多选题

1.A,C

解析：e^x和-cosx的导数都等于它们本身。

2.A,C

解析：因为f(x)>0，所以√f(x)≤f(x)。两边积分得到∫₀¹√f(x)dx≤∫₀¹f(x)dx。又因为∫₀¹f(x)dx=∫₀¹√f(x)dx，所以∫₀¹√f(x)dx≤∫₀¹f(x)dx=∫₀¹√f(x)dx，即相等。

3.A,B

解析：根据微积分基本定理的第一部分，如果f(x)在[a,b]上连续，则∫_a^xf(t)dt在[a,b]上可导，并且F'(x)=f(x)。所以F(x)在[a,b]上处处可导，包括x=0。

4.A,B,C

解析：根据微积分基本定理和函数的可导性定义，以上说法均正确。

5.A,D

解析：根据积分中值定理，以上说法均正确。

四、判断题

1.正确

解析：根据微积分基本定理的第一部分，如果f(x)在[a,b]上连续，则∫_a^xf(t)dt在[a,b]上可导。

2.错误

解析：根据微积分基本定理和链式法则，y'=(sinx)'∫₀^sinxt²dt+∫₀^sinx(t²)'dt*(sinx)'=cosx∫₀^sinxt²dt+cosxsin²x=cosx(sin³x+sin²x)。

3.正确

解析：根据微积分基本定理，如果f(x)在[a,b]上连续，则∫_a^xf(t)dt在[a,b]上可导，并且F'(x)=f(x)。因为f(x)在x=0处连续，所以F(x)在x=0处可导。

4.错误

解析：令u=xt，则du=tdx，dx=du/t。当x=0时，u=0；当x=1时，u=1。所以∫₀¹f(xt)dt=∫₀¹f(u)du/t∫₀¹dt=∫₀¹f(u)du/t=f(1)/1=f(1)。不能表示为f(u)du。

5.正确

解析：根据微积分基本定理和链式法则，y'=(cosx)'∫_sinx^cosxtdt+∫_sinx^cosx(t)'dt*(cosx)'=-sinx∫_sinx^cosxtdt+cosx·1·cosx=cosx·cosx-sinx·sinx=cos²x-sin²x=cos(2x)。

6.错误

解析：因为f(x)>0，所以√f(x)≤f(x)。两边积分得到∫₀¹√f(x)dx≤∫₀¹f(x)dx。不一定有∫₀¹√f(x)dx≥∫₀¹f(x)dx。

7.正确

解析：y=∫₁^xe^(t²)dt，y'=e^(x²)。当x=0时，y'=e^(0²)=1。所以切线斜率为