0・∞型极限专项模拟试卷

0・∞型极限专项模拟试卷考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：高中三年级

0・∞型极限专项模拟试卷

一、选择题

1.当x趋向于0时，下列函数中极限存在的是

A.(1/x)-(1/x^2)

B.sin(1/x)

C.(x^2-1)/(x-1)

D.(e^x-1)/x

2.极限lim(x→0)(x^2*sin(1/x))的值为

A.0

B.1

C.不存在

D.sin(1)

3.极限lim(x→∞)(x-sqrt(x^2+1))的值为

A.1

B.-1

C.0

D.∞

4.函数f(x)=(x^2-4)/(x-2)在x=2处的极限是

A.-4

B.4

C.不存在

D.0

5.极限lim(x→0)(cosx-1)/x的值为

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

6.函数f(x)=(3x-2)/(2x+3)在x趋向于无穷大时的极限是

A.3/2

B.2/3

C.-3/2

D.-2/3

7.极限lim(x→1)(x^3-1)/(x-1)的值为

A.1

B.3

C.0

D.不存在

8.函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x=1处的极限是

A.0

B.1

C.2

D.不存在

9.极限lim(x→0)(e^x-1-x)的值为

A.0

B.1/2

C.1

D.不存在

10.极限lim(x→∞)(sqrt(x^2+x)-x)的值为

A.0

B.1/2

C.1

D.∞

二、填空题

1.极限lim(x→0)(x^2*cos(1/x))的值为________.

2.极限lim(x→∞)(2x^2+3x+1)/(5x^2-2x+3)的值为________.

3.极限lim(x→1)((x^2-1)/(x-1))的值为________.

4.极限lim(x→0)(sinx)/x的值为________.

5.极限lim(x→∞)(x-sqrt(x^2+1))/(x+sqrt(x^2+1))的值为________.

6.函数f(x)=(x^3-8)/(x-2)在x=2处的极限是________.

7.极限lim(x→0)(1-cosx)/x^2的值为________.

8.极限lim(x→∞)(x^2*sin(1/x))的值为________.

9.极限lim(x→0)(e^x-1)/x的值为________.

10.极限lim(x→1)(x^2-2x+1)/(x-1)的值为________.

三、多选题

1.下列函数中，当x趋向于0时，极限存在的是

A.(1/x)

B.(x^2)/x

C.sin(1/x)

D.(x^3)/x^2

2.极限lim(x→0)(x^2*sin(1/x))的值等于

A.0

B.1

C.sin(1)

D.不存在

3.极限lim(x→∞)(x-sqrt(x^2+1))的值等于

A.1

B.-1

C.0

D.∞

4.函数f(x)=(x^2-4)/(x-2)在x=2处的极限是

A.-4

B.4

C.不存在

D.0

5.极限lim(x→0)(cosx-1)/x的值等于

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

6.函数f(x)=(3x-2)/(2x+3)在x趋向于无穷大时的极限是

A.3/2

B.2/3

C.-3/2

D.-2/3

7.极限lim(x→1)(x^3-1)/(x-1)的值等于

A.1

B.3

C.0

D.不存在

8.函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x=1处的极限是

A.0

B.1

C.2

D.不存在

9.极限lim(x→0)(e^x-1-x)的值等于

A.0

B.1/2

C.1

D.不存在

10.极限lim(x→∞)(sqrt(x^2+x)-x)的值等于

A.0

B.1/2

C.1

D.∞

四、判断题

1.极限lim(x→0)(x^2*sin(1/x))的值等于0.

2.函数f(x)=(x^2-4)/(x-2)在x=2处的极限是4.

3.极限lim(x→∞)(x-sqrt(x^2+1))的值等于-1.

4.极限lim(x→0)(cosx-1)/x的值等于0.

5.函数f(x)=(3x-2)/(2x+3)在x趋向于无穷大时的极限是3/2.

6.极限lim(x→1)(x^3-1)/(x-1)的值等于3.

7.函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x=1处的极限是2.

8.极限lim(x→0)(e^x-1-x)的值等于1/2.

9.极限lim(x→∞)(sqrt(x^2+x)-x)的值等于1/2.

10.当x趋向于0时，函数(1/x)-(1/x^2)的极限存在.

五、问答题

1.求极限lim(x→0)(x^3*sin(1/x^2)).

2.讨论极限lim(x→∞)(x^2-3x+2)/(x^2+2x-3)的值.

3.求极限lim(x→1)((x-1)^2)/(x^2-1).

试卷答案

一、选择题

1.答案：D

解析：选项A中，当x→0时，(1/x)→∞，(1/x^2)→∞，极限为∞-∞型未定式，需要进一步化简，但无法直接得出有限值；选项B中，当x→0时，sin(1/x)在-1和1之间振荡，极限不存在；选项C中，当x→1时，分子分母同时趋近于0，为0/0型未定式，可以约分得到x+1，极限为2；选项D中，当x→0时，(e^x-1)/x是等价无穷小，极限为1。

2.答案：A

解析：由于sin(1/x)在-1和1之间振荡，但x^2在x→0时趋近于0，根据无穷小量乘以有界量仍然为无穷小量的性质，极限为0。

3.答案：B

解析：将分子有理化，得到(x-sqrt(x^2+1))(x+sqrt(x^2+1))/(x+sqrt(x^2+1))=(x^2-(x^2+1))/(x+sqrt(x^2+1))=-1/(x+sqrt(x^2+1))，当x→∞时，分母也→∞，极限为-1。

4.答案：B

解析：当x→2时，分子分母同时趋近于0，为0/0型未定式，可以约分得到x+2，极限为4。

5.答案：C

解析：利用等价无穷小，当x→0时，cosx-1～-x^2/2，极限为(-x^2/2)/x=-x/2，当x→0时，极限为0；另一种方法是利用洛必达法则，极限为-lim(x→0)(sinx)/1=0。

6.答案：A

解析：当x→∞时，分子分母的最高次项系数决定极限，极限为3/2。

7.答案：B

解析：分子分母同时趋近于0，为0/0型未定式，可以约分得到x^2+x+1，极限为3。

8.答案：B

解析：当x→1时，分子分母同时趋近于0，为0/0型未定式，可以约分得到x+1，极限为2。

9.答案：A

解析：利用等价无穷小，当x→0时，e^x-1～x，极限为x/x=1；另一种方法是利用洛必达法则，极限为lim(x→0)(e^x)/1=1。

10.答案：B

解析：将分子有理化，得到(sqrt(x^2+x)-x)(sqrt(x^2+x)+x)/(sqrt(x^2+x)+x)=x/(sqrt(x^2+x)+x)=1/(sqrt(1+1/x)+1)，当x→∞时，1/x→0，极限为1/(sqrt(1+0)+1)=1/2。

二、填空题

1.答案：0

解析：由于sin(1/x)在-1和1之间振荡，但x^2在x→0时趋近于0，根据无穷小量乘以有界量仍然为无穷小量的性质，极限为0。

2.答案：2/5

解析：当x→∞时，分子分母的最高次项系数决定极限，极限为2/5。

3.答案：3

解析：分子分母同时趋近于0，为0/0型未定式，可以约分得到x^2+x+1，极限为3。

4.答案：1

解析：利用等价无穷小，当x→0时，sinx～x，极限为x/x=1；另一种方法是利用洛必达法则，极限为lim(x→0)(cosx)/1=1。

5.答案：-1

解析：将分子分母同时除以x，得到(1-sqrt(1+1/x^2))/1，当x→∞时，sqrt(1+1/x^2)→1，极限为-1。

6.答案：8

解析：当x→2时，分子分母同时趋近于0，为0/0型未定式，可以约分得到x^2+2x+4，极限为8。

7.答案：1/2

解析：利用等价无穷小，当x→0时，1-cosx～x^2/2，极限为(x^2/2)/x^2=1/2；另一种方法是利用洛必达法则，极限为lim(x→0)(sinx)/2x=1/2。

8.答案：0

解析：由于sin(1/x)在-1和1之间振荡，但x^2在x→∞时趋近于∞，根据无穷小量乘以无穷大量的性质，极限为0。

9.答案：1

解析：利用等价无穷小，当x→0时，e^x-1～x，极限为x/x=1；另一种方法是利用洛必达法则，极限为lim(x→0)(e^x)/1=1。

10.答案：0

解析：分子为(x-1)^2，分母为(x-1)(x+1)，当x→1时，为0/0型未定式，可以约分得到1/(x+1)，极限为0/2=0。

三、多选题

1.答案：B,D

解析：选项A中，当x→0时，1/x→∞，极限不存在；选项B中，当x→0时，(x^2)/x=x→0，极限存在；选项C中，当x→0时，sin(1/x)在-1和1之间振荡，极限不存在；选项D中，当x→0时，(x^3)/x^2=x→0，极限存在。

2.答案：A

解析：由于sin(1/x)在-1和1之间振荡，但x^2在x→0时趋近于0，根据无穷小量乘以有界量仍然为无穷小量的性质，极限为0。

3.答案：B,C

解析：将分子有理化，得到(x-sqrt(x^2+1))(x+sqrt(x^2+1))/(x+sqrt(x^2+1))=-1/(x+sqrt(x^2+1))，当x→∞时，分母也→∞，极限为-1；当x→-∞时，分母为负的无穷大，极限为0，但题目问的是x→∞，所以选B和C。

4.答案：B

解析：当x→2时，分子分母同时趋近于0，为0/0型未定式，可以约分得到x+2，极限为4。

5.答案：C

解析：利用等价无穷小，当x→0时，cosx-1～-x^2/2，极限为(-x^2/2)/x=-x/2，当x→0时，极限为0；另一种方法是利用洛必达法则，极限为-lim(x→0)(sinx)/1=0。

6.答案：A

解析：当x→∞时，分子分母的最高次项系数决定极限，极限为3/2。

7.答案：B

解析：分子分母同时趋近于0，为0/0型未定式，可以约分得到x^2+x+1，极限为3。

8.答案：B

解析：当x→1时，分子分母同时趋近于0，为0/0型未定式，可以约分得到x+1，极限为2。

9.答案：A

解析：利用等价无穷小，当x→0时，e^x-1～x，极限为x/x=1；另一种方法是利用洛必达法则，极限为lim(x→0)(e^x)/1=1。

10.答案：B

解析：将分子有理化，得到(sqrt(x^2+x)-x)(sqrt(x^2+x)+x)/(sqrt(x^2+x)+x)=x/(sqrt(x^2+x)+x)=1/(sqrt(1+1/x)+1)，当x→∞时，1/x→0，极限为1/(sqrt(1+0)+1)=1/2。

四、判断题

1.答案：正确

解析：由于sin(1/x)在-1和1之间振荡，但x^2在x→0时趋近于0，根据无穷小量乘以有界量仍然为无穷小量的性质，极限为0。

2.答案：正确

解析：当x→2时，分子分母同时趋近于0，为0/0型未定式，可以约分得到x+2，极限为4。

3.答案：正确

解析：将分子有理化，得到(x-sqrt(x^2+1))(x+sqrt(x^2+1))/(x+sqrt(x^2+1))=-1/(x+sqrt(x^2+1))，当x→∞时，分母也→∞，极限为-1。

4.答案：错误

解析：当x→0时，cosx-1～-x^2/2，极限为(-x^2/2)/x=-x/2，当x→0时，极限为0。

5.答案：正确

解析：利用等价无穷小，当x→0时，cosx-1～-x^2/2，极限为(-x^2/2)/x=-x/2，当x→0时，极限为0；另一种方法是利用洛必达法则，极限为-lim(x→0)(sinx)/1=0。

6.答案：正确

解析：当x→∞时，分子分母的最高次项系数决定极限，极限为3/2。

7.答案：正确

解析：分子分母同时趋近于0，为0/0型未定式，可以约分得到x^2+x+1，极限为3。

8.答案：正确

解析：当x→1时，分子分母同时趋近于0，为0/