定积分性质专项综合测评试卷

定积分性质专项综合测评试卷考试时间：120分钟 总分：120分 年级/班级：高三/理科班

定积分性质专项综合测评试卷

一、选择题

1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx表示（）

A.曲线y=f(x)与x轴及直线x=a，x=b所围成的图形的面积

B.曲线y=f(x)与x轴及直线x=a，x=b所围成的图形的体积

C.函数f(x)在区间[a,b]上的平均值

D.函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值之差

2.若∫[0,1]f(x)dx=5，则∫[2,3]f(2x-1)dx等于（）

A.5

B.10

C.15

D.20

3.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]√f(x)dx与∫[a,b]f(x)dx的大小关系是（）

A.∫[a,b]√f(x)dx>∫[a,b]f(x)dx

B.∫[a,b]√f(x)dx<∫[a,b]f(x)dx

C.∫[a,b]√f(x)dx=∫[a,b]f(x)dx

D.无法确定

4.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx的几何意义是（）

A.曲线y=f(x)与x轴及直线x=a，x=b所围成的图形的面积

B.曲线y=f(x)与x轴及直线x=a，x=b所围成的图形的体积

C.函数f(x)在区间[a,b]上的平均值

D.函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值之差

5.若∫[a,b]f(x)dx=3，∫[a,b]g(x)dx=-2，则∫[a,b][f(x)+g(x)]dx等于（）

A.1

B.-1

C.5

D.-5

6.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]cf(x)dx（c为常数）等于（）

A.c∫[a,b]f(x)dx

B.∫[a,b]f(x)dx/c

C.∫[a,b]f(x)dx+c

D.∫[a,b]f(x)dx-c

7.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx与∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx（a<c<b）的大小关系是（）

A.∫[a,b]f(x)dx>∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx

B.∫[a,b]f(x)dx<∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx

C.∫[a,b]f(x)dx=∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx

D.无法确定

8.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx与∫[a,b]f(-x)dx的大小关系是（）

A.∫[a,b]f(x)dx>∫[a,b]f(-x)dx

B.∫[a,b]f(x)dx<∫[a,b]f(-x)dx

C.∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(-x)dx

D.无法确定

9.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx与∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx的大小关系是（）

A.∫[a,b]f(x)dx>∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx

B.∫[a,b]f(x)dx<∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx

C.∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx

D.无法确定

10.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx与∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx的大小关系是（）

A.∫[a,b]f(x)dx>∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx

B.∫[a,b]f(x)dx<∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx

C.∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx

D.无法确定

二、填空题

1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx的几何意义是________。

2.若∫[0,1]f(x)dx=5，则∫[2,3]f(2x-1)dx等于________。

3.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]√f(x)dx与∫[a,b]f(x)dx的大小关系是________。

4.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx的几何意义是________。

5.若∫[a,b]f(x)dx=3，∫[a,b]g(x)dx=-2，则∫[a,b][f(x)+g(x)]dx等于________。

6.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]cf(x)dx（c为常数）等于________。

7.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx与∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx（a<c<b）的大小关系是________。

8.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx与∫[a,b]f(-x)dx的大小关系是________。

9.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx与∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx的大小关系是________。

10.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx与∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx的大小关系是________。

三、多选题

1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx表示（）

A.曲线y=f(x)与x轴及直线x=a，x=b所围成的图形的面积

B.曲线y=f(x)与x轴及直线x=a，x=b所围成的图形的体积

C.函数f(x)在区间[a,b]上的平均值

D.函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值之差

2.若∫[0,1]f(x)dx=5，则∫[2,3]f(2x-1)dx等于（）

A.5

B.10

C.15

D.20

3.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]√f(x)dx与∫[a,b]f(x)dx的大小关系是（）

A.∫[a,b]√f(x)dx>∫[a,b]f(x)dx

B.∫[a,b]√f(x)dx<∫[a,b]f(x)dx

C.∫[a,b]√f(x)dx=∫[a,b]f(x)dx

D.无法确定

4.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx的几何意义是（）

A.曲线y=f(x)与x轴及直线x=a，x=b所围成的图形的面积

B.曲线y=f(x)与x轴及直线x=a，x=b所围成的图形的体积

C.函数f(x)在区间[a,b]上的平均值

D.函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值之差

5.若∫[a,b]f(x)dx=3，∫[a,b]g(x)dx=-2，则∫[a,b][f(x)+g(x)]dx等于（）

A.1

B.-1

C.5

D.-5

6.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]cf(x)dx（c为常数）等于（）

A.c∫[a,b]f(x)dx

B.∫[a,b]f(x)dx/c

C.∫[a,b]f(x)dx+c

D.∫[a,b]f(x)dx-c

7.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx与∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx（a<c<b）的大小关系是（）

A.∫[a,b]f(x)dx>∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx

B.∫[a,b]f(x)dx<∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx

C.∫[a,b]f(x)dx=∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx

D.无法确定

8.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx与∫[a,b]f(-x)dx的大小关系是（）

A.∫[a,b]f(x)dx>∫[a,b]f(-x)dx

B.∫[a,b]f(x)dx<∫[a,b]f(-x)dx

C.∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(-x)dx

D.无法确定

9.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx与∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx的大小关系是（）

A.∫[a,b]f(x)dx>∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx

B.∫[a,b]f(x)dx<∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx

C.∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx

D.无法确定

10.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx与∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx的大小关系是（）

A.∫[a,b]f(x)dx>∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx

B.∫[a,b]f(x)dx<∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx

C.∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx

D.无法确定

四、判断题

11.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx表示曲线y=f(x)与x轴及直线x=a，x=b所围成的图形的面积。（）

12.若∫[0,1]f(x)dx=5，则∫[2,3]f(2x-1)dx等于10。（）

13.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]√f(x)dx一定大于∫[a,b]f(x)dx。（）

14.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx的几何意义是函数f(x)在区间[a,b]上的平均值。（）

15.若∫[a,b]f(x)dx=3，∫[a,b]g(x)dx=-2，则∫[a,b][f(x)+g(x)]dx等于1。（）

16.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]cf(x)dx（c为常数）等于c乘以∫[a,b]f(x)dx。（）

17.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx等于∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx（a<c<b）。（）

18.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx与∫[a,b]f(-x)dx的大小关系是相等的。（）

19.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx与∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx的大小关系是后者一定大于前者。（）

20.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，则∫[a,b]f(x)dx与∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx的大小关系是无法确定的。（）

五、问答题

21.请简述定积分的基本性质，并举例说明其中一条性质的应用。

22.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(x)≥0，若∫[0,1]f(x)dx=2，请计算∫[2,3]f(2x-1)dx的值。

23.已知函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)≥0，请证明∫[a,b]√f(x)dx≤∫[a,b]f(x)dx。

试卷答案

一、选择题

1.A

解析：定积分∫[a,b]f(x)dx的几何意义就是曲线y=f(x)与x轴及直线x=a，x=b所围成的图形的面积，前提是f(x)在[a,b]上连续且非负。

2.A

解析：利用换元积分法，令u=2x-1，则du=2dx，dx=du/2。当x=0时，u=-1；当x=1时，u=1。所以∫[2,3]f(2x-1)dx=∫[-1,1]f(u)du/2=1/2∫[-1,1]f(u)du。由于积分区间是对称的，且f(x)是连续函数，可以看作∫[0,1]f(x)dx=5，因此∫[-1,1]f(u)du=2∫[0,1]f(x)dx=10，所以结果为5。

3.A

解析：由于f(x)≥0，根据不等式性质，若a≥0，则√a≥a。因此，√f(x)≥f(x)，两边同时在[a,b]上积分，得到∫[a,b]√f(x)dx≥∫[a,b]f(x)dx。

4.A

解析：同第1题解析，定积分∫[a,b]f(x)dx的几何意义就是曲线y=f(x)与x轴及直线x=a，x=b所围成的图形的面积，前提是f(x)在[a,b]上连续且非负。

5.C

解析：根据定积分的线性性质，∫[a,b][f(x)+g(x)]dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]g(x)dx=3+(-2)=1。

6.A

解析：根据定积分的常数倍性质，∫[a,b]cf(x)dx=c∫[a,b]f(x)dx。

7.C

解析：根据定积分的可加性，∫[a,b]f(x)dx=∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx，这是定积分的基本性质之一。

8.C

解析：令u=-x，则du=-dx。当x=a时，u=-a；当x=b时，u=-b。所以∫[a,b]f(-x)dx=∫[-b,-a]f(u)(-du)=∫[-a,-b]f(u)du。由于定积分与积分变量的记法无关，∫[-a,-b]f(u)du=∫[a,b]f(x)dx。因此∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(-x)dx。

9.C

解析：根据第8题解析，∫[a,b]f(-x)dx=∫[a,b]f(x)dx。所以∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(x)dx=2∫[a,b]f(x)dx。显然，∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx。

10.C

解析：同第9题解析，∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(-x)dx。所以∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(x)dx=2∫[a,b]f(x)dx。显然，∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx。

二、填空题

1.曲线y=f(x)与x轴及直线x=a，x=b所围成的图形的面积

解析：同选择题第1题和第4题解析，定积分∫[a,b]f(x)dx的几何意义就是曲线y=f(x)与x轴及直线x=a，x=b所围成的图形的面积，前提是f(x)在[a,b]上连续且非负。

2.5

解析：同选择题第2题解析，利用换元积分法，令u=2x-1，则du=2dx，dx=du/2。当x=0时，u=-1；当x=1时，u=1。所以∫[2,3]f(2x-1)dx=∫[-1,1]f(u)du/2=1/2∫[-1,1]f(u)du=5。

3.∫[a,b]√f(x)dx≥∫[a,b]f(x)dx

解析：同选择题第3题解析，由于f(x)≥0，根据不等式性质，若a≥0，则√a≥a。因此，√f(x)≥f(x)，两边同时在[a,b]上积分，得到∫[a,b]√f(x)dx≥∫[a,b]f(x)dx。

4.曲线y=f(x)与x轴及直线x=a，x=b所围成的图形的面积

解析：同选择题第1题和第4题解析，定积分∫[a,b]f(x)dx的几何意义就是曲线y=f(x)与x轴及直线x=a，x=b所围成的图形的面积，前提是f(x)在[a,b]上连续且非负。

5.1

解析：同选择题第5题解析，根据定积分的线性性质，∫[a,b][f(x)+g(x)]dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]g(x)dx=3+(-2)=1。

6.c∫[a,b]f(x)dx

解析：同选择题第6题解析，根据定积分的常数倍性质，∫[a,b]cf(x)dx=c∫[a,b]f(x)dx。

7.∫[a,b]f(x)dx=∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx

解析：同选择题第7题解析，根据定积分的可加性，∫[a,b]f(x)dx=∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx，这是定积分的基本性质之一。

8.∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(-x)dx

解析：同选择题第8题解析，令u=-x，则du=-dx。当x=a时，u=-a；当x=b时，u=-b。所以∫[a,b]f(-x)dx=∫[-b,-a]f(u)(-du)=∫[-a,-b]f(u)du。由于定积分与积分变量的记法无关，∫[-a,-b]f(u)du=∫[a,b]f(x)dx。因此∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(-x)dx。

9.∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx

解析：同选择题第9题解析，根据第8题解析，∫[a,b]f(-x)dx=∫[a,b]f(x)dx。所以∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(x)dx=2∫[a,b]f(x)dx。显然，∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx。

10.∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx

解析：同第9题解析，∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(-x)dx。所以∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(x)dx=2∫[a,b]f(x)dx。显然，∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx。

三、多选题

11.A

解析：同选择题第1题和第4题解析，定积分∫[a,b]f(x)dx的几何意义就是曲线y=f(x)与x轴及直线x=a，x=b所围成的图形的面积，前提是f(x)在[a,b]上连续且非负。

12.A

解析：同选择题第2题解析，利用换元积分法，令u=2x-1，则du=2dx，dx=du/2。当x=0时，u=-1；当x=1时，u=1。所以∫[2,3]f(2x-1)dx=∫[-1,1]f(u)du/2=1/2∫[-1,1]f(u)du=5。

13.A

解析：同选择题第3题解析，由于f(x)≥0，根据不等式性质，若a≥0，则√a≥a。因此，√f(x)≥f(x)，两边同时在[a,b]上积分，得到∫[a,b]√f(x)dx≥∫[a,b]f(x)dx。

14.A

解析：同选择题第1题和第4题解析，定积分∫[a,b]f(x)dx的几何意义就是曲线y=f(x)与x轴及直线x=a，x=b所围成的图形的面积，前提是f(x)在[a,b]上连续且非负。函数f(x)在区间[a,b]上的平均值是(1/(b-a))∫[a,b]f(x)dx，与定积分的几何意义不同。

15.A

解析：同选择题第5题解析，根据定积分的线性性质，∫[a,b][f(x)+g(x)]dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]g(x)dx=3+(-2)=1。

16.A

解析：同选择题第6题解析，根据定积分的常数倍性质，∫[a,b]cf(x)dx=c∫[a,b]f(x)dx。

17.A

解析：同选择题第7题解析，根据定积分的可加性，∫[a,b]f(x)dx=∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx，这是定积分的基本性质之一。

18.A

解析：同选择题第8题解析，令u=-x，则du=-dx。当x=a时，u=-a；当x=b时，u=-b。所以∫[a,b]f(-x)dx=∫[-b,-a]f(u)(-du)=∫[-a,-b]f(u)du。由于定积分与积分变量的记法无关，∫[-a,-b]f(u)du=∫[a,b]f(x)dx。因此∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(-x)dx。

19.A

解析：同选择题第9题解析，根据第8题解析，∫[a,b]f(-x)dx=∫[a,b]f(x)dx。所以∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(x)dx=2∫[a,b]f(x)dx。显然，∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx。

20.A

解析：同第9题和第19题解析，∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(-x)dx。所以∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(x)dx=2∫[a,b]f(x)dx。显然，∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx。

四、判断题

11.√

解析：同选择题第1题和第4题解析，定积分∫[a,b]f(x)dx的几何意义就是曲线y=f(x)与x轴及直线x=a，x=b所围成的图形的面积，前提是f(x)在[a,b]上连续且非负。

12.√

解析：同选择题第2题解析，利用换元积分法，令u=2x-1，则du=2dx，dx=du/2。当x=0时，u=-1；当x=1时，u=1。所以∫[2,3]f(2x-1)dx=∫[-1,1]f(u)du/2=1/2∫[-1,1]f(u)du=5。

13.√

解析：同选择题第3题解析，由于f(x)≥0，根据不等式性质，若a≥0，则√a≥a。因此，√f(x)≥f(x)，两边同时在[a,b]上积分，得到∫[a,b]√f(x)dx≥∫[a,b]f(x)dx。

14.×

解析：同选择题第4题解析，定积分∫[a,b]f(x)dx的几何意义是曲线y=f(x)与x轴及直线x=a，x=b所围成的图形的面积，前提是f(x)在[a,b]上连续且非负。函数f(x)在区间[a,b]上的平均值是(1/(b-a))∫[a,b]f(x)dx，与定积分的几何意义不同。

15.√

解析：同选择题第5题解析，根据定积分的线性性质，∫[a,b][f(x)+g(x)]dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]g(x)dx=3+(-2)=1。

16.√

解析：同选择题第6题解析，根据定积分的常数倍性质，∫[a,b]cf(x)dx=c∫[a,b]f(x)dx。

17.√

解析：同选择题第7题解析，根据定积分的可加性，∫[a,b]f(x)dx=∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx，这是定积分的基本性质之一。

18.√

解析：同选择题第8题解析，令u=-x，则du=-dx。当x=a时，u=-a；当x=b时，u=-b。所以∫[a,b]f(-x)dx=∫[-b,-a]f(u)(-du)=∫[-a,-b]f(u)du。由于定积分与积分变量的记法无关，∫[-a,-b]f(u)du=∫[a,b]f(x)dx。因此∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(-x)dx。

19.√

解析：同选择题第9题解析，根据第8题解析，∫[a,b]f(-x)dx=∫[a,b]f(x)dx。所以∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(-x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]f(x)dx=2∫[a,b]f(x)dx。显然，∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(x)d