勾股定理的逆定理及其应用（课件）2025-2026学年数学人教版八年级下册

20.2勾股定理的逆定理及其应用第二十章勾股定理20.2勾股定理的逆定理及其应用第二十章勾股定理第1课时勾股定理的逆定理目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入新课导入教学目标教学重点学习目标1.掌握勾股定理逆定理的概念及勾股数.（重点）2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.（难点）复习导入B

C

A

问题1

勾股定理的内容是什么?如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.bca问题2

求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：①

a＝5，b＝12；②

a＝2.5，b＝6；③a＝24，c＝25.c=13c=6.5b=7思考

以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？讲授新课典例精讲归纳总结

同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）据说，古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.讲授新课一、勾股定理的逆定理这个意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3,4,5,它们满足关系“32+42=52”,那么围成的三角形是直角三角形.

画画看，如果三角形的三边长分别为2.5cm,6cm,6.5cm.它们满足关系“2.52+62=6.52”,画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm,7.5cm,8.5cm，再试一试.我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.问题

据此你有什么猜想呢?由上面几个例子，我们猜想：命题2如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.△ABC≌△A′B′C′

？

∠C是直角△ABC是直角三角形A

B

C

abc已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′证一证:

作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，

B′C′=a，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，∴∠C=∠C′=90°

，

即△ABC是直角三角形.则ACaBbc证明：勾股定理的逆定理:

如果三角形的三边长a、b、c满足

a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.ACBabc勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.特别说明：归纳总结

例1

下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1)a=15，

b=8，c=17;解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，b=14，c=15.

(2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.归纳：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.变式1：若△ABC的三边a,b,c满足

a:b:c=3:4:5，试判断△ABC的形状.解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.归纳：已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.变式2：若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=，试说明△ABC是直角三角形.解：∵a+b=4,ab=1,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又∵c2=14,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.变式3：若△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.试判断△ABC的形状.解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.即(a－3)²+(b－4)²+(c－5)²=0.∴a=3,b=4,c=5，即a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形.如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.二、勾股数概念学习常见勾股数：3，4，5；5，12，13；

6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：

一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.(1)确定是否是三个正整数；(2)确定最大数；(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方．判断勾股数的方法：

例2下列各组数是勾股数的是(

)

A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132A方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.当堂练习当堂反馈即学即用当堂练习1.下列各组数是勾股数的是()A.3，4，7B.5，12，13C.1.5，2，2.5D.1，3，5B2.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．4，6，7C3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则(

)A．∠A为直角

B．∠B为直角C．∠C为直角

D．△ABC不是直角三角形A4.如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点，若小方格的边长为1，则△ABC是(

)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都不对B5.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是_____________.

2.46.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.等腰三角形或直角三角形

7.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD=,求四边形ABCD

的面积.∴△ABC是直角三角形，且∠B是直角.∴△ADC是直角三角形，且∠D是直角.∴S四边形ABCD=课堂小结归纳总结构建脉络课堂小结勾股定理的逆定理内容作用从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形.如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.注意最长边不一定是c，∠C也不一定是直角.勾股数一定是正整数20.2勾股定理的逆定理及其应用第二十章勾股定理第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入新课导入教学目标教学重点学习目标1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.（重点）2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.（难点）新课导入问题

前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理的知识有了一定的认识，你能说出它们的内容吗?回顾与思考a2+b2=c2(a,b为直角边，c为斜边)Rt△ABC,∠C是直角勾股定理勾股定理的逆定理a2+b2=c2(a,b为较短边，c为最长边）Rt△ABC，且∠C是直角.思考

前面我们已经学会了用勾股定理解决生活中的很多问题，那么勾股定理的逆定理能解决哪些实际问题呢？你能举举例吗？讲授新课典例精讲归纳总结讲授新课一、勾股定理的逆定理的应用12例1

如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？NEP

QR问题1

认真审题，弄清已知是什么？要解决的问题是什么？12NEP

QR16×1.5=2412×1.5=1830“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图.问题2

由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？实质是要求出两艘船航向所成角.勾股定理逆定理解：根据题意得PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×1.5=18(海里),QR=30海里.∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.

由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.

NEP

QR12

解决实际问题的步骤：

构建几何模型(从整体到局部)；

标注有用信息,明确已知和所求；

应用数学知识求解.归纳：例2

一个零件的形状如图

所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图

所示,这个零件符合要求吗?DABC4351312DABC图

图

在△BCD中，

∴△BCD

是直角三角形，∠DBC是直角.因此，这个零件符合要求.解：在△ABD中，

∴△ABD

是直角三角形，∠A是直角.DABC4351312图

例3

如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.解析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.ADBC341312二、勾股定理及其逆定理的综合应用解：连接AC.ADBC341312在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.归纳：四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.【变式题】

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD的面积.解：连接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理得

BD2=AB2+AD2，∴BD=5cm.又∵CD=12cm，BC=13cm,∴

BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.∴S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD•CD－

AB•AD=×(5×12－3×4)=24

(cm2)．CBAD（1）证明：∵CD=1，BC＝5，BD=2，∴CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形；（2）解：设腰长AB=AC=x，在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，∴x2=(x-1)2+22，解得用到了方程的思想例4

如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC＝5，BD=2．（1）求证：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面积．当堂练习当堂反馈即学即用当堂练习1.医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东

的方向.东医院公园超市北65°2.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.解：∵出发2小时，A组行了12×2=24(km)，B组行了9×2=18(km)，又∵A，B两组相距30km，且有242+182=302，∴A，B两组行进的方向成直角．

3.如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋