2023年三角形知识点总结

第一章图形的初步认识

考点一、线段垂直平分线，角的平分线，垂线

1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理

垂直于一条线段并且平分这条线段口勺直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线I向性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点H勺距离相等。

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段口勺垂直平分线上。

2、角的平分线及其性质

一条射线把•种角提成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

角H勺平分线有下面H勺性质定理：

（I）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（2）到一种角的两边距离相等时点在这个角的平分线上。

3垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

考点二、平行线

1、平行线H勺概念

在同一种平面内，不相交的两条直线叫做平行线。同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或

平行。

4、平行线的性质

（I）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补,

考点三、投影与视图

1、投影

投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到口勺影子，叫做物体的投影。

平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的I投影称为平行投影。

中心投影：由同一点发出口勺光线所形成的投影称为中心投影。

2、视图

当我们从某•角度观测•种实物时，所看到的图像叫做物体啊•种视图。物体的三视图特指主视图、俯

视图、左视图。

主视图：在正面内得到的由前向后观测物体的视图，叫做主视图。

俯视图：在水平而内得到口勺由上向卜观测物体的视图，叫做俯视图。

左视图：在侧面内得到时由左向右观测物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。

第二章三角形

1、三角形的概念

由不在同意直线上口勺三条线段首尾顺次相接所构成口勺图形叫做三角形。构成三角形口勺线段叫做三角形的

边；相邻两边日勺公共端点叫做三角形H勺顶点；相邻两边所构成H勺角叫做三角形H勺内角，简称三角形H勺角“

2、三角形中的重要线段

（1）三角形的一种角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形H勺向平

分线。

（2）在三角形中，连接一种顶点和它对边口勺中点口勺线段叫做三角形的中线。

<3）从三角形一种顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的

高）.

3、三角形的稳定性

三角形的形状是固定H勺，三角形时这个性质叫做三角形的稳定性。三角形H勺这个性质在生产生活中应用

很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

4、三角形的特性与表达

三角形有下面三个特性：

（1）三角形有三条线段I

（2）三条线段不在同一直线上J三角形是封闭图形

<3）首尾顺次相接

三角形用符号表达，顶点是A、B、C的三角形记作“AABC”.读作“三角形ABC”。

5、三角形的分类

三角形按边H勺关系分类如下：

“不等边三角形

三角形f底和腰不相等的等腰三角形

工

等腰三角形

等边三角形

三角形按角H勺关系分类如下：

/直角三角形（有一种角为直角的三角形）

三角形r锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）

V

斜三角形

钝角三角形（有一种角为钝角的三角形）

把边和角联络在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等口勺直角三角

形。

6、三角形的三边关系定理及推论

（1）三角形三边关系定理.：三角形H勺两边之和不小于第三边。

推论：三角形的两边之差不不小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论H勺作用：

①判断三条已知线段能否构成二角形

②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

7、三角形的角关系

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°o

推论：

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一种外角等于和它不相邻的来两个内角口勺和。

③三角形的一种外角不小于任何一种和它不相邻的内角。

注：在同一种三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边：大边对大角。等角的补角相等，等

角的余角相等。

8、三角形的面积

三角形的面积=』X底X高

2

应用：常常运用两个三角形面积关系求底、高的比例关系或值

考点二、全等三角形

1、全等三角形的概念

可以完全重叠的两个三角形叫做全等三角形。

可以完全重叠的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重叠的顶点叫做对应顶点，互相

重叠的边叫做对应边，互相重整的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中

有公共端点的两边所成H勺角。

2、三角形全等的鉴定

三角形全等H勺鉴定定理：

（1）边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

（2）角边角定理：有两角和它们口勺夹边对应相等日勺两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“bSS”）。

直角三角形全等的鉴定：

对于特殊的直角三角形，鉴定它们全等时，尚有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边

对底相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

3、全等变换

只变化图形口勺位置，不变化其形状大小的图形变换叫做全等变换,

全等变换包括一下三种：

（I）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。

<3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一种位置，这种变换叫做旋转变换。

考点三、等腰三角形

1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形H勺两个底角相等（简称：等边对等角）

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、

底边上H勺高重叠。

推论2：等边三角形的各个角都用等，并且每个角都等于60,。

（2）等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形口勺两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,则

2

④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为NA,底角为NB、ZC,则NA=180°-2NB,ZB=Z

.,_180°-ZA

C-------------

2

2、等腰三角形的鉴定

等腰三角形的鉴定定理及推论：

定理：假如一种三角形有两个角相等，那么这两个角所对口勺边也相等（简称：等角对等边）。这个鉴定

定理常用于证明同一种三角形中的边相等。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2：有一种角是60°H勺等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，假如一种锐角等于30°,那么它所对内直角边等于斜边口勺二分之一。

等腰三角形的性质与鉴定

等腰三角形性质等腰三角形鉴定

1、两功上中线相等的三角形是等腰三角形：

1、等腰三角形底边上H勺中线垂直底边，平分顶角：

中2、假如一种三角形的一边中线垂直这条边（平

2、等腰三角形两腰上口勺中线相等，并且它们口勺交点

线分这个边H勺对角），那么这个三角形是等腰

与底边两端点距离相等。

三角形

1、假如三角形的顶角平分线垂直于这个角的对

角

1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；边（平分对边），那么这个三角形是等腰三

平

2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们口勺交点角形：

分

究竟边两端点的距离相等。2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三

线

角形是等腰三角形。

1、假如一种三角形一边上H勺高平分这条边（平

1、等腰三角形底边上口勺高平分顶角、平分底边；

高分这条边口勺对先），那么这个三角形是等腰

2、等腰三角形两腰上H勺高相等，并且它们的交点和

线三角形；

底边两端点距离相等。

2、有两条高相等H勺三角形是等腰三角形。

角等边对等角等角对等边

边底的二分之一〈腰长〈周长的二分之一两边相等的三角形是等腰三角形

3、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

<1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一种新口勺三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它内二分之一。

三角形中位线定理口勺作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段H勺倍分关系。

常用结论：任一•种三角形均有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线构成一种三角形，其周长为原三角形周长的二分之一。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的I三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面枳相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它用交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线口勺夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

第三章解直角三角形

考点一、直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余

2、在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的二分之一。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的二分之一

4直角三角形两直角边a,t的平方和等于斜边c的平方，即

a24-Z?2=c2

5、摄影定理

ADB

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上H勺摄影H勺比例中项，每条直角边是它们在斜边上的

摄膨和斜边的比例中项

ZACB=90°IfCD2=AD»BD

J1

=>AC1=AD»AB

CD±ABBC2=BD・AB

6、常用关系式

由三角形面积公式可得：

AB・CD=AOBC

考点二、锐角三角函数的概念（3~8分）

1、如图，在AABC中,ZC=90°

的对边

@sinA=

/A的邻边b

②cosA=/A的邻边

l4iF/B的对边

NA的对边a

③tanA=

N4的邻边b

N4的邻边h

®COLA=

N4的对边a

2、某些特殊角的三角函数值

三角函数0°30°45°60°90°

瓜

sina04i1

2~T

V3V2

cosa10

~T22

V3

tana01不存在

3

cota不存在1旦0

3

3、各锐角三角函数之间的关系

(1)互余关系：sinA=cos(90°—A),cosA=sin(90°—A),lanA=cot(90。一A),cotA=tan(90°—A)

(2)平方关系：sin2A+cos2A=1

(3)倒数关系：ianA・tan(90。一A)=l

(4)弦切关系：tanA=WA

cosA

第四章图形的相似

考点一、比例线段

1、比例的性质

（I）基本性质

®a：b=c：d<=>ad=bc

②a：b=b：c<=>b2=ac

<2）更比性质（互换比例口勺内项或外项）

「（互换内项）

?=「=><]=£（互换外项）

bdba

-=-（同步互换内项和外项）

ca

（3）反比性质（互换比的前项、后项）:

—a=—c—sb—=d—

bdac

（4）合比性质：

_a__c,_a_±__b__c_±__d

bdbd

（5）等比性质:

acem,,「八、a+c+e+nia

—=-=——=•••=—Sz+d+rHF〃wO)=-------------------=—

bdfnb+d+/+...+«b

3、黄金分割

把线段AB提成两条线段AC,BC(AOBC),并且使AC是AB和BC口勺比例中项，叫做把线段AB

黄金分割，点C叫做线段AB口勺黄金分割点，其中AC=24AB^0.618AB

2

考点二、平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

考点三、相似三角形

1、相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例日勺三角形叫做相似三角形。相似用符号“s”来表达

2、相似三角形的基本定理

平行于三角形一边口勺直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。

相似三角形的等价关系：

(1)反身性：对于任一ZkABC,均有△ABCs/kABC；

(2)对称性：若△ABCsaAECA则△A'B'C's^ABC

(3)传递性:若△ABCs/iABC,并且△A‘B'C'SZ\A''B"C"，则△ABCS^A''B"C''。

3、三角形相似的鉴定

(1)三角形相似的鉴定措施

①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似

②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成口勺三角形与原三角形

相似

③鉴定定理I:假如一种三角形的两个角与另i种三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，

可简述为两角对应相等，两三角形相似。

④鉴定定理2:假如•种三角形内两条边和另一种三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这

两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

⑤鉴定定理3：假如种三角形的三条边与另•种三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似,

可简述为三边对应成比例，两三角形相似

（2）直角三角形相似的鉴定措施

①以上多种鉴定措施均合用

②定理：假如一种直角三角形的斜边和一条直角边与另一种直角三角形的斜边和一条直角边对应成比

例，那么这两个直角三角形相似

4、相似三角形的性质

（1）相似三角形的时应角相等，对应边成比例

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

（3）相似三角形周长的比等于相似比

（4）相似三角形面枳的比等于相似比的平方。

5、相似多边形

<1）假如两个边数相似的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）

（2）相似多边形的性质

①相似多边形的对应角相等，对应边成比例

②相似多边形周长口勺比、对应对角线的比都等于相似比

③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比

④相似多边形面积的比等于相似比日勺平方

6、位似图形

假如两个图形不仅是相似图形，并且每组对成点所在直线都通过同•种点，那么这样I句两个图形叫做位

似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。

性质：每•组对应点利位似中心在同•直线上，它们到位似中心内距离之比都等于位似比。

由一种图形得到它口勺位似图形的变换叫做位似变换。运用位似变换可以把一种图形放大或缩小。

第五章三角形的五心

三角形中有许多重要的特殊点，尤其是三角形的“五心”，在解题时有诸多应用，在本节中将分别予以简

介.

三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心.

1、三角形口勺外心

三角形的三条边H勺垂直平分线交于一点.这点称为三角形的外心（外接圆圆心）.

三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.都等于三角形的外接圆半径.

锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点;

钝角三角形的外心在一:角形外.

2、三角形H勺内心

三角形的三条内角平分线交于一点，这点称为三角形的内心（内切阿圆心）.

三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径.

内切圆半径7•隹J计算:

1s

设三角形面积为S,并记p=2（a+b+c）,则r=~.

尤其的，在直角三角形中，有马（a+b—c）.

3、三角形H勺重心

三角形的三条中线文于•点，这点称为三角形的重心.

上面H勺证明中，我们也得到了如下结论：三角形H勺重心到边H勺中点与到对应顶点

的距离之比为I:2.

4、三角形日勺垂心

三角形的三条高交于一点，这点称为三角形的垂心.

斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第

四个点.因此把这样H勺四个点称为一种“垂心组”.

5、三角形口勺旁心

三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点，称为三角形的旁心

（旁切圆圆心）.每个三角形均有三个旁切圆.

A类例题

例1证明羽心定理。

证法1如图，D、E、E为三边中点，设BE、CF交于G,连接EF,显然由三角形相似可

得GB=2GE,GC=2GF.

又设A。、3E交于G,同理可证G'B=2GE,GA=2G'。，即G、G都是3E上从B到EH勺三分之二处的点，

故G、G重叠.

即三条中线AD、BE、C”相交于一点G.

证法2设BE、CF交于G,BG、CG中点为〃、/.连

EF.FH、HI、IE,

由于

因此EF/〃为平行四边形.

因止匕HG=(JE、IS,(Jti=2GE,GC=2G〃.

同证法1可知AG=2GD,AD.BE、CF共点.

即定理证毕.

链接证明外心、内心定理是很轻易口勺。

外心定理的证明：如图，设A3、5。的中垂线交于点O,则有OA=OB=0C,

故0也在AC的中垂线上，由于。到三顶点的距离相等，故点。

是外接圆口勺圆心.因而称为外心.

内心定理的证明：如图，设N4/C口勺平分线相交于/、过/作〃XL

BC,IE1AC,IF1AB,则有/石=/尸=/£).因此/也在/。的平

分线上，即三角形三内角平分线交于一点.

上述定理的证法完全合用于旁心定理，请同学们自己完毕.

例2证明垂心定理

分析我们可以运用构造外心来进行证明。

证明如图，AD.BE、C/为AA8C三条高，过点A、B、C

分别作对边的平行线相交成△A5C,显然A。为BC的中

垂线；同理3E、C”也分别为#C、勺中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证.

链接(1)对于三线共点问题还可以运用Ceva定理进行证明，同学们可以参照第十八讲的内容。

（Ccva定理）设X、八Z分别为△A5C的边3C、CA、A4上的一点，贝UAX、BY.CZ所在直线

交于一点的充要条件是务.第务1•

（2）对于三角形的五心，还可以推广到〃边形，例如，假如我们称〃（23）边形某顶点同除该

点以外H勺〃T个顶点所决定的边形的重心的连线，为〃边形的中线，（当kl=2时，丁1边形

退化成一线段，此时重心即为线段的中心）那么重心定理可推广如下：〃边形的各条中线（若有重

查，只算一条）相交于一点，各中线被该点分为：（〃T）：1的两条线段，这点叫〃边形的重心.请

同学们自己研究一下其他几种“心”的推广。

滑/彳龙

1.设G为△ABC的.重心，M、N分别为A3、C4的中点，求证：四边形

GMAN和4G8c口勺面枳相等.

2.三角形的任一顶点到垂心H勺距离，等于外心到对边H勺距离H勺二倍.

B类例题

例3过等腰△ABC底边BC上一点P引PM//CA交A8于M：引PN//BA交

AC于N.

作点P有关MN的对称点R试证：〃点在△ABC外接圆上.（杭州大学《中学数

学竞赛习题》）

分析分析点M和N的性质，即能得到解题思绪。

证明由己知可得M产;MP=M8,NP=NP=NC,

故点M是AP,BP日勺外心，点N是4FPC的外心.于是有

NBP'吟NBMP冬BAC,

ZPP'C=|ZPNC=|ZBAC.

:.ZBPC=ZBFP+4PPC=4BAC.

从而，产点与A、B、C共圆，即P'在△ABC外接圆上.

族接本题可以引出更多结论，例如PP平分产C、P'B:P'OBP;PC等等.

例4A。，BE,CF是△八8C的三条中线，P是任意一点.

证明：在△FD,APBE,4PCF中，其中一种面积等于此外两个面枳的和.

（第26届莫斯科数学奥林匹克）

证明设G为△4BC.重心，直线PG与A-3C相交.从A,C,D,E,"分别作该直线的垂线，垂足为

C,D',E,F.

易证AA'=2O。'，CC=2FF,2EE=A4,+CC,

:.EE=DD'+FF.

行S^PGETS^PGD+S^PGF-

两边各力-大3倍，有S&PBS；：）+S；、pcF.

例，设八IAMVU为。。内接四边形，M，“2，%，Hi依次为△AMMi，△AMMi，△A4A1A2，△4A2A3的

垂心.求证：Hi，Ih，H、,A四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.（1992,全国高中联赛）

证明连接4M，4从，”阳2,记圆半径为凡由△44^4知

-----———=2R=a用=2HcosNAM认4；

sinNA2A3"1

由△AiAvh得AI〃2=2RCOSNA.MA.

但NA3AMPNA3A1A4,故A2〃1=A用上

易证A2771〃AIA2，丁一是，A2H1』A1〃2,

故得HM4A2Al.设HlAl与“242口勺交点为M,故〃阳2与44有关M点成中心对称.

同理，H2H3与小心，”3儿与人出，H4Hl与人加均有关M点成中心对称.故四边形H阳2H3H4与四边

形4A2AM4有关M点成中心对称，两者是全等四边形，小,H2,“3,儿在同一种圆上.后者的圆心

设为Q，。与。也有关例成中心对称.由O,M两点,。点就不难确定了.

链接三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很亲密的联络，如:

（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面枳相等：

（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；

（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其他三点所构成的三角形的垂心；

（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等：

（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心;

（6）三角形的外心是它的中点三角形H勺垂心；

（7）三角形的重心也是它的中点三角形的J重心：

（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.

情看春速

3.在aABCI内边A8,BC,CA上分别取点P,Q,S.

证明以△APS,△8QP,ACSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.

（B•波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》）

4.假如三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.

C类例题

例6〃为△A8CI内垂心，D,E,F分别是8CCA,A8的中心.一种以〃为圆心的。〃交直线EEFD,

DE'A\tA?，Bi,B”C)>C?.

求证：/M（=AA2=BB^BB2=CCrCC2.（1989,加拿大数学奥林匹克训练题）

分析只须证明AA\=BB\=CC\即可.

证明设8C=〃，CA=b,AB=c,AABC外接圆半径为R,。〃口勺半径为二

连“4,A"交所于MAA'=AM2+A^AM2+r-MH2

=r+（AM2-MH2）,①

又AM2-HM2=(AH-^AHi)2

22

=AH・AHrAH=AH2•AB-AH

=cosA・be-AH2,②

_而_----A--H----=2八R=>A，20=4R2,cos2■)4，

sin/AA”

---=2/?=/=4/^；访2A.

sinA

r.AH2+«2=4/?2,AH2=4R2-a2.③

由①、②、③有

,222

AA；=3+———---—•be-\4R2-a2)

2bc

—(4+/?+d)-4R2+r2.

同理，BB^=—(a2+b2+c2)~4R2+r,

2

CCf-j(“2十〃十1卜4收十只

故有A4i=BB]=CG.

例7已知。。内接△ABC,。。切AB,4c于E,/且与。0内切.试证：中点尸是△ABC之内心.(3•波

拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)

证明如图，显然E尸中点/＞、圆心。，比中点A•都在N6AC平分线上.易知AQ-二一

sina

：QK-AQ=MQ-QN,

MQQN

：.QK=

AQ

(27?-r)r=sjn^_

r/sina

山RtAEPQ知PQ-sinar.

:・PK=PQ\QK=sina•r+sina•(2R—r)=sina•2R.

：.PK=BK.

运用内心等量关系之逆定理，即知P是。这内心.

阐明在第20届/WO中，美国提供的一道题实际上是例7的一种特例，但它增长了条件AB=AC.

例8在直角三角形中，求证：r心+「中『2P•式中「，心，小心分别表达内切圆半径及与a,b,c相切的旁

切圆半径，〃表达半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)

证明设RIAA8C中，。为斜边，先来证明一种特性：

p(p-c)=(/?-«)(p-b).

,.*/?(p-c)=z(a+b+c)•^(a+b-c)\

巾'I]\/f)

I

可成/CcH

(p-a)(p-b)=B(—a+b+c)*+c)

=1[?-(a-b)21=%b.

•"•p(p-c)=(p~d)(p-b).①

观测图形，可得

ra=AF-AC=p-b,

rb=BG-BC=p-a,

==

r('CKp.

而尸^(a+〃-c)-p-c.

尸小+砧+心=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p

=4p-(a+b+c)=2p.

由①及图形易证.

例9M是△A8C边A3上的任意一点.ri，门，广分别是△AMC,△区WC,△A3C内切圆的半径，⑺，如q

分别是上述三角形在NACB内部的旁切圆半径.证明△•上~=工.(1MO-12)

%%q

证明对任意△48C,由正弦定理可知

A

OD=OA'•sin—

2

B'

sin—

.A'

=A'B'----------—•sin一

sinNAO'S2

A'.B'

sin—sin

=A'B'•------..........—

.A+夕

sin

2

A'B'

cos——cos——

O'E=A'B'•------Z-------2,

.A'+B'

sm--------

2

.ODA'B'

=fg—tg--

O'E

亦即有

r,r,ANCMANCNBB

一・—---喳---tg~

q以2222

ABr

=吆于

例1()锐角△ABC中，O,G,H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外,重心到三边距离和

为d用，垂心到三边距离和为d化

求证：1•〃隹十2•d外一3•d*.

证明设△48。外接圆半径为1,三个内角记为八，B,

C.易知d外=00什00.+0。，

=cosA+cos8+cosC,

/.2d«=2(cosA♦cosfi^cosC).①

•；AHt=sinB•AB=sinB,(2sinC)=2sinB•sinC»

同样可得B压­CH..

・・・3d.AA8C三条高的和

=2•(sin/?,sinC+sinC•sinA+sinA•sinB)②

**sinzic/7-2,

/7Hi=cosC,BH=2•cosB,cosC.

同样可得”〃2，HH、.

:・dQHH/HH，+HHX

=2（cos/,cosC'+cosC•cosA+cosA,cosH）③

欲证结论，观测①、②、③，

须证（cosB•cosC+cosC•cosA+cosA,cosfi）+（cos4+cosB+cosC）=sinB•sinC+sinC•siM+siM,sinR即可.

阐明本题用了三角法。

精片备双

5.设在圆内接凸六边形ABC。尸E中，AB=BC,CD=DE,石尸协.试证：（1）AO,BE,。尸三条对角线交于一

点；⑵AB-BC+CADE+EF+E\2AK-BE+CF.

（1991,国家教委数学试验班招生试题）

6.AABCaj外心为O,AB=AC,。是4?中点，E是AAC。的重心.证明OE_LCD.

（加拿大数学奥林匹克训练题）

7.△/WC中NC=30°,0是外心，/是内心，边AC上的）。点与边8c上的E点使得AD=8E=AA求证：01

LDE,0I=DE.（1988,中国数学奥林匹克集训题）

习题17

I.在AABC中，/A是钝角，，是垂心，且A〃=8C,则cosNB〃C=（）

—^\/2B.^2C.坐D.；

2.假如一种三角形的面积与周长都被一条直线平分，则此直线一定通过三角形的（）

A.内心B.外心C.重心D.垂心（1996年全国初中联赛）

3.（1997年安徽省初中数学竞赛）若0°<a<90。,那么，以sina,cosa,【anacoia为三边

口勺三角形有内切圆、外接圆的半径之和是（

4.AA8c中，NA=45。，BC=a,高BE、CF交于点H,则4〃二（

D.g

5.下面三个命题中：

⑴设〃为A48C的高4。上一点，ZBHC+ZBAC=\SO0,则点H是△ABC的垂心:

⑵设G为XABC的中线AD上一点，且S、AGB=S、BGC，则点G是八A8C

口勺重心:

（3）设E是AA8CH勺外角NBAK的角平分线与AABCH勺外接圆。0的交点,

是。。的直径，/在线段AQ上，且。/=。&则/是AA8C的内心.

对H勺命题H勺个数是（）

A.0个B.I个C.2个D.3个

6.设A4BC的NA=6（）。，求证：A48C的外心O、内心/、垂心，及点8、C五点在同一种圆上.

7.已知/，是8c。内的一点，。为AC与B。的交点，M、N分别为P8、

A[M

中点，。为AN与DMH勺交点.求证:

⑴1\。、。三点在一条直线上：

（2）PQ=20Q.

8./为aABC之内心，射线A/,BLC7交△ABC外接圆于A',

",C'.则A4'+BB'+CC'周长.（1982,澳大利亚数学奥林匹克）

9.H勺三边分别等于△TH勺三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.（1989,捷克

数学奥林匹克）

10.J为△ABC的内心.取△/BC,AZC4,△//3日勺外心O”Q,Q.求证:△。。2。3与△ABC有公共II勺外

心.（1988,美国数学奥林匹克）

U./1O为AA8c内角平分线.取△A8C,△A8O,△A3C的夕卜口O,5,5.则△OOiS是等腰二角形.

12.ZXABC中/CV90°,从48上M点作CA,CB的垂线MP,MQ.〃是△CP。的垂心.当M是48上动点

时,求”口勺轨迹.（1MO-7）

本节“情景再现”解答

I.证明如图，连GA,由于M、N分别为48、CA口勺中点，

△AWGH勺面积=Z\G8M的面积，△GAN的面积=4GNCH勺面

即四边形GM4N和△GBCH勺面积相等.

2.证明如图，。为A4BC口勺外心，H为垂心,连CO交A4BC外接

圆于D,连OA、DB,贝ljDALAC,BDLBC,又AHJ.BC,

BHLAC.因此。A〃B〃，BD//AH,从而四边形D4H8为平行H边

形。又显然O8=2OM,因此AH=2OM

同理可证BH=2ON,CH=2OK.证毕.

3.提醒：设Oi，。2，Q是2BQP,△CSQH勺外心，作出六边形OiPOzQOaS后再由外心性质可知

N/'O]5=2NA,NQ。2p=2N3,ZS0?.Q=2ZC.

••.NPOiS+NQO2P+NSO3Q=360°.从而又知/0|尸。2+/02。03+/0350尸360°

将AO2QO3绕着。3点旋转到△KS3，易判断△KSOWAOzPOi，

同步可得△O1O2O3空△OiKQ.・•・NQOIO3=NKO1O3=1/O2O】K

=1：NO2OIS+NSO|K)=I(NQOIS+NPO02)=|ZPO|5=ZA；

同理有/0。2。3=/8.故△OIQO3sZkABC

4.提醒：将△ABC简记为△,由三中线A。，BE,C”围成的三角形符记为△1G为重心，连OE到〃，使

EH=DE,连HC,HF,则△，就是（D/，b2,/成等差数列=>△/△:若△ABC为止三角形，

易证△sai不妨设a2b2c,有

CF=-yl2a2+2b2-c2,BE=-y/2c2+2a2-b2,AD=-yl2b2+2c2-a2.

222

将。2+/=2。2,分别代入以上三式，得CQ’匚a,BE=——b,AD=――c.

222

=

**•CF'.BEADa:——'b:•c—Q\b\c.故有△s△'.

222

Z

(2)A^A=>次b2f成等差数列.当△中力成。时,

SQp

△'中CF2BE2AD•.•△s/i',.・.q=(——)2.

S&a

3S3

据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的一"，有白=—.

4SA4

CF23

2

/.——=-=>3“2=4CF2=2/+/-C=>F+C2=2/

a24

5.证明连接AC,CE,EA,由已知可证4。，CF,E8是△ACE的三条内角平分线，/为△4CE的内心.从

而有/D=CD=DE,IF=EF=FA,IB=AB=BC.

再由ABO凡易证8P,。。，FS是它的I三条高，/是它的垂心，运用A不等

式仔

BHDHFI》2・(JP+IQUS).不难证明/E=2/P,IA=2IQ,IC=2IS.

B1+DI+FI2IA+IE+1C.；.AB+BC+CD+DE+EF+卜A=2(BI+DHFfi

2(ZA+/E+/C)+(BHDHFI)=AD+BE+CF.

/就是•点两心.

6.提醒：设AM为高亦为中线，取人。中点

F,E必在。尸上且。E:EE=2:1.设

交十必为△重心.\

COAMG,G48C/

BC

连GE,MF,MF交。。于K易证：

DG'.GK--DC".(--------)DC=2:1.

323

:.DG:GK=DE:EF=>GE//MF.

\'OD±AB,MF//AB,

:.OD_LMFnODJLGE.但OG±D£=>G又是△O£)£之垂心.

易证OE_LCD.

7.遑醒：辅助线如图所示，作平分线交8c于K.

易证△A/Q0ZVl/B0△E/B,

乙A1D=乙AIB=4KIB.、-----

运用内心张角公式，有

ZA/B=90°+1/C=105°,

/.ZD/E=360°-105°X3=45°.V^AKB='3Q0+1zDAO=3G°+1(/BAUNBAO)=30°(Z

BAC-60a)=^NBAC=NBAk/BEL

：.AK//IE.由等腰△AOQ可知OO_L4K,：.DOLIE,即。尸是△£)小的一条高.

同理EO