2025-2026学年下学期江苏南京校际联盟高一数学4月联考试卷（含答案）

高一数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将答题卡交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.sinA.12B.6-242.在△ABC中,若AB=1,ACA.30°B.45°C.135°D.150°3.已知在△ABC中,D是线段AB上的靠近A的三等分点,则A.BC-23BAB.-4.函数fx=A.3B.4C.5D.65.平面向量a,b满足a=10,b=2,a⋅b=2,记aA.14B.16.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,cA.π6B.π3C.5π6D.π7.若1+cosA=A.正三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.直角三角形8.在△ABC中,∠BAC=60∘,若O为△ABC的内心,设AO=A.1B.33C.23二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.使函数fx=sin2x+θA.-π6B.-π310.(多选)已知函数fx=sinA.y=fx为偶函数B.存在x0∈RC.y=fx的最小正周期为πD.y11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,2A=3B=6C,记BC,A.tanA+tanC.ma<三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.sin54∘cos13.设函数fx=sin4kx5-cos4kx5.若对任意实数a,当x∈a,a+114.已知两个平面向量a,b满足a=1,b=2，且a⋅b=-2(其中x表示不超过实数四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)(1)求tan75∘(2)已知sinα=513,α∈16.(15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a(1)求cosB(2)若a=47，求BC17.(15分)已知函数fx(1)求fx(2)若α是第二象限角，5fα3=4cosα18.(17分)中国古典园林中的套方棂格窗，凭借对称匀整的方格嵌套结构，既满足实用的采光需求，又蕴含独特的美学价值,堪称中式营造的经典符号.某园林花窗的核心棂格结构,可简化为如右图所示的几何模型:四边形ABCD,PQRS与TKLM均为正方形,其中T,K,L,M分.别是正方形PQRS各边上的点,而P,Q,R,S则是正方形ABCD(1)当α=π6,β=(2)求正方形TKLM面积S的最小值.第18题(图)19.(17分)(1)平面内一组不共线的向量OA,OB，对任意点P，有OP=xOA+yOBx,y∈R(2)如图，在平行四边形ABCD中，AB=1,AD=2,∠BAD=60∘.动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.第19题(图)高一数学参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.题号12345678答案CCBCBADC二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.题号91011答案BDACBC三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共计15分.题号121314答案116[四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题13分)解:(1)tan=tan45由于tan45∘所以tan75∘化简得tan75∘(2)由于α∈π2,π由同角三角函数关系知cosα=-1-sin2α=-1213.8有sinβ=-则cos=-1216.(本小题15分)解:(1)在△ABC中，由于c由余弦定理可知:a2==7所以a=7则cos=5714(2)由于a=7b,且a=47且根据同角三角函数关系,sinB=设BC边上的高为h,则△ABC的面积S所以12解得h=417.(本小题15分)解:(1)根据正弦曲线，知-π2解得-π4所以fx的单调递增区间为-π(2)fα代入方程得5sinα其中cos2即5sinα当sinα+π4=0cosα-当sinα+π4≠0cos即22由于α是第二象限角,cosα则cosα-综上所述:cosα-sinα=-2注:运用其它方法得解参照上述评分细则给分。18.(本小题17分)解:根据正方形的对称性以及图形的构造方式可知△APS≅△BQP≅△CRQ≅△DSR;△PKT≅△并且AP=所以有AS+则PS=1同理,在△PKT中,PT且PT+所以KT=1sin(1)当α=πsin计算得TK=2(2)由于sinαsinβ+cos所以KT≥12⋅2=1故正方形TKLM面积S的最小值为14 19.(本小题17分)解:(1)必要性:若A,B则存在实数t,使得AP=t即OP-所以OP=1即x=所以x+y充分性:若x+y=1,所以OP=整理得OP-OB所以BP=即BP与BA共线,且共点B,7分所以A,B,P(2)记AP与直线BD的交点为Q，则AP=mAQ，且即mAQ=λAB+μ由(1)知，λm+所以λ+μ=m,即AP与AQ据此可知，当点P与D重合