2025-2026学年下学期江苏南通高三数学4月大联考试卷（含答案）

2026届高三4月份质量监测数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上指定位置,在其他位置作答一律无效。3.本卷满分150分,考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={-2,1,a},B=-A.-1B.0C.1D.22.已知五个数x1,x2,x3,x4,xA.极差为4,方差为2B.极差为4,方差为4C.极差为8,方差为4D.极差为8,方差为83.已知复数z满足z=21-1A.1B.2C.2D.44.已知a=b=1,c=3,A.22B.32C.-5.已知圆锥的体积为83π，侧面积是底面积的A.2B.2C.3D.26.若直线y=ax+a是曲线yA.-eB.1eC.eD.7.已知函数fx=sinx+θ+cosA.1B.3C.2D.58.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2A.2B.5C.6D.3二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知随机变量ξ∼N0A.f0=0.5B.C.f-x10.数列an的前n项和记为Sn,a1=15A.a2=-155C.S12=-2D.11.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，P是C上一点，AB是圆A.PA≥PF-2B.△C.cos∠AFB的最小值为45三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.2x-x5的展开式中,x413.已知A,B两点在函数fx=4xx>0的图象上,C,D两点在函数gx=2xx>0的图象上,且AD平行于x轴,AC和BD平行于y轴.14.记△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinC-四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知数列an为正项等比数列,公比q>1,前n项和为(1)当q=3时，记集合A=m∈N(2)求a5+a16.(15分)已知函数fx(1)当a=2时，求fx(2)讨论函数gx=f17.(15分)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是梯形，AB//CD，AD⊥CD，E(1)证明:AB=1(2)若AB=AD=2，直线A1B与平面ABE所成角的正弦值为10(3)平面ABE将该四棱柱分成上、下两部分，求上、下两部分的体积之比.18.(17分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为23，过点D0,-4的直线l与E交于A,B两点，M为AB的中点，O(1)求椭圆E的方程；(2)若△OAB为直角三角形，求k(3)直线l交x轴于点P，点A关于x轴的对称点为C，直线BC交x轴于点Q，探究:OP⋅OQ19.(17分)一盒子中共有5个大小质地完全相同的小球,其中3个红球,2个黑球.从盒子中一次随机取出两个球,如果取出的球是黑球,则将它放回盒子中;如果取出的球是红球,则不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入袋中.重复进行上述操作n次后，盒子中黑球的个数记为Xn(1)求恰好2次操作后，袋中小球的颜色全部相同的概率；(2)求随机变量X2的分布列(3)证明:EX2026届高三4月份质量监测数学参考答案及评分标准一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。题号12345678答案BDBDACBA二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。题号91011答案ABCABDABD三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.8013.log23四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)(1)由a4+a3-a所以32a1=2,即所以Sn=1161-由Sm=3m-132因为37=2178<3201所以A中元素之和为1+2(2)由a4+a3-a所以a1所以a5+令q2-1=t>所以a≥当且仅当t=1t,即t=1,即q=2时取所以a5+a616.(15分)(1)当a=2时,所以f'x令f'x=0,且当0<x<1时,f'x<0;当所以fx在0,1上单调递减,在1所以fx的极小值为f1=1,(2)gx当0<x<1时因为a>0,所以gx在0,1当x≥1时,由g'令g'x=0,得当a2≤1,即0<a≤所以gx在1,+∞上单调递增.当a2>1,即a当1≤x<a2时,g'x<0;所以gx在1,a2上单调递减,在a2综上,当0<a≤4时,gx在0,1上单调递减当a>4时,gx在0,a2上单调递减,在a217.(15分)2分(1)如图，连结CD因为E为矩形CC1D1D两条对角线的交点,所以E为取DD1的中点M,连结AM,ME,则ME//CD因为AB//CD,所以因为BE//平面AA1D1平面ABEM∩平面A所以BE//AM所以四边形ABEM是平行四边形,所以AB=ME(2)以D为原点，DA,DC,则A2设AA1=c,所以A1设平面ABE的一个法向量n=x,y,即2y=0,-2x+c2⋅z=0,设直线A1B与平面ABE所成角为则sinθ解得c=2(3)取CC1的中点N，CD的中点F，连结BF，EF，由(1)证明过程可知,平面ABE截四棱柱的截面为四边ABNM,截得下面部分为三棱柱ADM-BFE和四棱锥设AB=a,AD=b所以三棱柱ADM-BFE的体积V四棱锥B-CFEN的体积V所以下面部分的体积为V下=V1而四棱柱ABCD-A1B1所以上面部分的体积为V上所以上、下两部分的体积之比为135.15418.(17分)(1)设Ax1,y1两式相减,得x1即y1-因为M为AB的中点，所以Mx1所以直线OM的斜率为k'所以kk所以-b2a2=-1因为椭圆E的焦距为23，焦距为23解得a=所以椭圆E的方程为x24(2)设直线l的方程为y=代入方程x24+y2=1,消则x1又Δ=32令Δ>0,得k2若∠AOB为直角时,有OA⋅OB=0所以1+即151+k21+4k2-32若∠OAB或∠OBA为直角时,不妨设∠OAB则kOE⋅k=-1所以x1又x124+y12=1，联立方程组解得y所以x1=±所以k=y1+综上,k=±19或k(3)由直线l的方程y=kx-4因为点C为点A关于x轴的对称点,所以Cx所以直线BC的方程为y+令y=0,得点Q的横坐标为x因为y1=kx1所以OP⋅OQ=4k19.(17分)(1)设“恰好2次操作后袋中球的颜色全部相同”为事件A，根据操作的规定，事件A发生即“恰好2次操作后袋中5个球的颜色都为黑色”,2次操作,其中1次取出1红1黑，另一次取出2