湖南省长沙市长望浏宁四区县市2026届高三下学期4月调研考试数学试卷（含答案）

湖南长望浏宁四区县市2026届高三四月份调研考试数学科试题卷一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．在中，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知函数（且），若，则的递增区间是（

）A． B． C． D．4．过点且倾斜角为的直线l交圆于、两点，则弦的长为（

）A．4 B．6 C．7 D．85．若对任意的正实数x、y满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．或C．或 D．6．在一次数学考试中，有一道满分为15分的立体几何题．某学习小组6名同学这题的得分为，且有，已知这6名同学的80%分位数和平均分都是12分，则该6名同学答题得分的极差为（

）A．3 B．4 C．5 D．67．已知，数列为等差数列，且，则（

）A．0 B． C．11 D．8．如图，一块边长为6的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高为（

）A． B． C．3 D．二、多选题9．关于函数，下列结论正确的是（

）A．的定义域为 B．为偶函数C．是的一个零点 D．是的一个周期10．设抛物线的焦点为，到准线的距离为，过的直线交于、（在第一象限）两点，过点作准线的垂线，垂足为，直线交轴于点，则（

）A．抛物线的方程为 B．若，则C．若，则 D．若，则直线AB的方程为11．已知a、b、c分别为的内角A、B、C的对边，且S为的面积，R为外接圆的半径，则下列说法正确的是（

）A． B．边BC上的中线C． D．的最小值为三、填空题12．已知展开式中的系数为，则_________．13．如图，等边边长为2，点、分别为、的中点，连接并延长至点，使得，则_________．14．已知函数，若正实数a,满足，则的取值范围是_________．四、解答题15．已知为数列的前n项和，且．(1)求该数列的通项；(2)若，求数列的前n项和．16．为激发学生对体育的热爱，某校开展体育知识竞赛活动．甲、乙、丙三人参加比赛，有问题1、问题2两道题，其中问题1为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙、丙三人抢到的概率均为，问题2为必答题，甲、乙、丙三人都要回答；已知甲能正确回答问题1、问题2的概率分别为和，乙、丙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响．(1)求问题1回答正确的概率；(2)记能正确回答问题2的人数为X，求X的分布列和数学期望．17．如图，在四棱柱中，底面ABCD是菱形，E为中点．(1)求证：平面；(2)若，，，求直线与平面ABCD所成角的正弦值．18．已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数．(1)求动点的轨迹的方程；(2)若曲线与轴的交点分别为、（在的左侧），过点的直线交曲线于点（位于第二象限），的角平分线交于点．（i）求证：点在定直线上；（ii）连接直线且与曲线的另一个交点为，求的取值范围．19．已知函数，圆．设圆C与曲线交于A、B两点．(1)求在处的切线方程；(2)证明：直线AB的斜率恒大于1；(3)若线段AB的中点为m，试判断点m的横坐标与1的大小关系，并证明你的结论．参考答案1．B2．C3．C4．D5．A6．C7．D8．B9．AD10．ABD11．ACD12．13．14．15．（1）当时，，；当时,,所以，整理可得，又,解得，满足，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故．（2）因为，所以，所以．16．解：设“甲抢到问题1”为事件A，“乙抢到问题1”为事件B，“丙抢到问题1”为事件C，“问题1被回答正确”为事件D，由题意知：，由全概率公式得：.（2）由题意知：X的可能取值为0,1,2,3，则有，．所以X的分布列为：X0123P则.17．（1）连接，设，连接CF，因为且，则为平行四边形，可得，且平面，平面，所以平面．（2）因为，可知直线与平面ABCD所成角即为直线CF与平面ABCD所成角，连接，因为，则，设，连接，因为，且为BD中点，则，且，平面，则平面，由平面ABCD，可得平面平面ABCD，又因为，则，即，且平面平面，平面，所以面ABCD，法一：可知MC，MD，两两垂直，以点M为坐标原点，MC，MD，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，可得，且平面ABCD的法向量为，则，所以直线与平面ABCD所成角的正弦值为；法二：过MD中点，连接FN，NC，因为平面ABCD，，所以面ABCD，直线CF与平面ABCD所成角即为，可得，则，所以直线与平面ABCD所成角的正弦值为.18．（1）设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是点的集合，由此得，平方化简得，即．（2）（i）令，代入，得，解得，故、，设直线的方程为，与曲线的方程联立得：，则，所以，解得，故，故，设点，则，由题意得，，因为平分，由角平分线定理得，即，化简得，即，解得，所以点在定直线上．（ii）连接并延长交双曲线于点，下证点与点重合，因为，，所以，所以直线的方程为，将直线与曲线的方程联立得：，所以，，故，则，由（i）得，则，故、、三点共线．又因为、、三点共线，即与点重合，所以，因为点在第二象限，则，解得，所以．19．（1）由，可得，则在点处的切线方程为，即．（2）设，不妨设，要证直线AB的斜率恒大于1，即证，即证，即证①，考查函数，，因，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；从而，从而有，,所以，要证①式，需证，又，即证：化简得，令，令，则，由可得;由可得,故在上单调递增，在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，原命题得证．（3）点m