2024年宁夏高考数学(文)试题及答案

2024年宁夏高考数学（文）试题及答案

注意事项：

i.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，

再选涂其它答案标号.

3.答非选择题时，必须使用0.5亳米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

5.考试结束后，只将答题卡交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.集合A={1，2,3,4,5,9},5=如+1"},则"8=（）

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{3,4}D.{1,2,9}

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合4的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.

【详解】依题意得，对于集合B中的元素x,满足x+l=l,2,3,4,5,9,

则走可能的取值为0,1,2,3,4,8,即8={0,1,2,3,4,8},

于是AcB={l,2,3,4}.

故选：A

2.设2=6，则z・N=（）

A.-iB.1C.-1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】先根据共朝复数的定义写出Z，然后根据系数的乘法计算.

【详解】依题意得，z=-V2i«故zW=—2i2=2.

故选：D

4x-3y-3>0

3.若实数x，>满足约束条件•x—2y—2W0,则z=x-5y的最小值为()

2x+6y-9<0

7

A.5B-IC.-2D.

2

【答案】D

【解析】

【分析】画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得.

4x-3y-3>0

【详解】实数x，y满足x-2j-2<0,作出可行域如图:

2x+6)?-9<0

则该直线截距取最大值时，z有最小值,

此时直线y=过点A,

公、

4x-3y-3=0Ax._=2—

联V.c「cZ解得"2,即A，

2x+6y-9=0

［），=1

37

八则J入nun=—5x1=—2

故选：D

4.等差数列｛4｝的前〃项和为S”，若§9=1,%十%=（）

2

A.-2BC.1D.

-I9

【答案】D

【解析】

【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成％和d来处理，亦可用等差数列的性质进行

处理，或者特殊值法处理.

【详解】方法一：利用等差数列的基本量

9x8

由$9=1，根据等差数列的求和公式，Sg=9a1+—d=\<=>9«,+36J=1,

22

又〃a+%=4+2d+4+64=2tz（+8c/=—（9q+36J）=—.

故选:D

方法二：利用等差数列性质

根据等差数列的性质，4+绮=4+%,由5=1,根据等差数列的求和公式，

9（q十为）=9（%十%）=],故%+%=2.

9229

故选：D

方法三：特殊值法

12

不妨取等差数列公差d=0,则S9=1=94=>%=§,则为+%=2%=§.

故选：D

5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）

1112

A.-B.-C.-D.一

4323

【答案】B

【解析】

【分析】分类讨论甲乙的位置.，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.

【详解】当甲排排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；

当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；

于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；

基本事件总数显然是A：=24,

Q1

根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为一二；.

243

故选：B

6.已知双曲线的两个焦点分别为（0,4）,（0,-4）,点（-6,4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）

A.4B.3C.2D.0

【答案】C

【解析】

【分析】由焦点坐标可得焦距2c，结合双曲线定义计完可得2a,即可得离心率.

【详解】设£(0,T)、6(0,4)、尸(-6,4),

22

则内闾=2c=8,|明=«2+（4+4）2=10,|PF2|=^6+（4-4）=6»

2c8

则2。=|际|一|?闾=10—6=4,则

2^-4

故选：C.

7.曲线/(x)=f+3x-l在(0,-1)处的切线与坐标轴围成的面积为()

A.-B.3C.yD.--

6222

【答案】A

【解析】

【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.

【详解】r(x)=6?+3,所以/'(0)=3,故切线方程为y=3(x—0)—l=3x—l,

故切线的横截距为:，纵截距为-1,故切线与坐标轴围成的面积为?xlx:二,

3236

故逐A.

8.函数/(力=一/+1'一尸卜山在区间［一2.8,2.8］的大致图像为()

【答案】B

【华仔斤】

【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C,代入x=l可得/(1)>0,可排除D.

［详解】f(-x)=-x2+(ev-e')sin(-x)=-x2+(e'-ev)sinx=/(x),

又函数定义域为卜2.8,2.8］,故该函数为偶函数，可排除A、C,

,,，小71e.111八

又=—1t+e--sin1>—14-e----sin—=----I---->------>0,

IejIej622e42e

故可排除I).

故选:B.

9.已知c=6则(an(a+小=()

cosa-sinaI4J

A.2JJ+1B.2x/3-lC.巫D.1-73

2

【答案】B

【解析】

COSCL

【分析】先将-----:------弦化切求得tanc,再根据两角和的正切公式即可求解.

cosa-sina

【详解】因为一4—=6

coscr-sina

所以--------=百，=>tana=1--，

1-tana3

s…(兀、tana+1_/r1

所以tana+—=-------=2,3-1,

I471-tana

故选：B.

原10题略

10.设。、〃是两个平面，〃1、〃是两条直线，且.下列四个命题：

①若相〃〃，则〃//二或〃②若，〃_!_〃，则〃JLa,〃_L/?

③若〃//a,且〃〃/，则相〃〃④若〃与a和4所成的角相等，则相_!_〃

其中所有真命题的编号是()

A.@@B.②④C.①@③D.①③④

【答案】A

【解析】

【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.

【详解】对①，当〃ua,因为m//n,mu0,则〃//尸，

当〃u/7.因为帆〃〃,mu。.则〃//〃，

当〃既不在a也不在夕内，因为m〃〃，mua,mu/3,则〃//a且〃〃/，故①正确;

对②，若加_L〃，则〃与a,£不一定垂直，故②错误；

对③，过直线〃分别作两平面与区夕分别相交于直线$和直线t,

因为〃〃a,过直线〃的平面与平面a的交线为直线s,则根据线面平行的性质定理知〃/“,

同理可得，/〃，则s/〃，因为SZ平面夕，fu平面夕，则s//平面夕，

因为su平面a,"B=m,则s〃w,又因为〃〃s,则〃/2/〃，故③正确；

对④，若与a和夕所成的角相等，如果〃//a,〃///7,则〃2〃〃，故④错误；

综上只有①③正确，

故选：A.

JT,0

11.在中内角A民C所对边分别为,若B=二,b~=-ac,WOsinA+sinC=()

34

A.-B.V2C.—D.—

2V22

【答案】C

【解析】

I13

【分析】利用正弦定理得sinAsinC=-,再利用余弦定理有/+,2=一"，再利用正弦定理得到

34

si/A+siYC的值，最后代入计算即可.

【详解】因为8=—,从=一。。，则由正弦定理得sinAsinCn-siifB二一.

3493

•>,9

由余弦定理可得：b2=a2+c2-ac=-ac,

4

131313

即：/+。2=一碇，根据正弦定理得sir?A+sin2C=—sinAsinC=—,

4412

、7

所以（sinA+sinCf=sin2A+sin?C+2sin/IsinC=—,

4

因为A,C为三角形内角，则sin4+sinC>0,则sinA+sinC=且.

2

故选：c.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

原13题略

12.函数“X)=sinx-6cosx在［0,兀］上的最大值是.

【答案】2

【解析】

【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.

it2n

【详解】，(x)=sinx-GCOSA=2sinx--,当/w[O,7l]时，

I3JJ

当工一色二N时，即时，f(x)=2.

326v7nm

故答案为：2

I15

13已知a>l,:----------7=-；，则。=

logs。log”42

【答案】64

【解析】

【分析】将logs。，log”4利用换底公式转化成log2«来表示即可求解.

1131,5/、2

【详解】由题■;------------7=~.-------log2tz=--,整理得(log,-51og,。-6=0,

log/log04Iog2(722'-

nlog2a=-l或log2〃=6,又

所以Iog2〃=6=log226,故白=2‘=64

故答案为：64.

14.曲线y=V-3x与丁二一(/-1『+。在(0,+8)上有两个不同的交点，则。的取值范围为

【答案】(-2,1)

【解析】

【分析】将函数转化为方程，令9一3工=一(1一1)2+〃，分离参数。，构造新函数屋“=^+£-5工+1,

结合导数求得g(x)单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.

【详解】令d-3工=一(工一1『十〃，即。=丁+/一5x+l，令8(力=丁+丁-5x+l(x>0),

则g'(x)=3f+2x-5=(3x+5)(x-l),令g'(x)=0(x>0)得x=l,

当KE(O,1)时，g'(x)vO,g(x)单调递减，

当上£(1,+8)时，g<x)>0,g(x)单调递增，g(O)=l,g(l)=-2,

因为曲线y=V-3x与y=-(x-1『+a在(0,+8)上有两个不同的交点，

所以等价于V=。与g(%)有两个交点，所以a£(-2,1).

故答案为：(一2,1)

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题，每个考题

考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

15.已知等比数列｛4｝的前〃项和为S“，且2s”=3。m-3.

(1)求｛。〃｝的通项公式；

(2)求数列设〃｝的通项公式.

【答案】(1)a=-

3r5y_3

2I3J-2

【解析】

【分析】(1)利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项;

（2）利用等比数列的求和公式可求S“.

【小问1详解】

因为25”=3〃〃+]-3,故2S”_|=3an-3,

所以2。〃=3%+「3a〃（〃>2）即5”3巴引故等比数列的公比为q=[,

故2q=3/-3=34xg_3=5q_3,故q=l,故%=

【小问2详解】

5

lx

3(5]

由等比数列求和公式得s“=—3

I--5〔可2

3

16.如图，在以儿B,C,D,E,厂为顶点的五面体中，四边形力以力与四边形力〃济,均为等腰梯形,

BC//AD、EFIIAD,AD=4,AB=BC=Ek=2,ED=M,FB=26M为4。的中点.

（1）证明：〃平面COE；

（2）求点M到A8厂的距离.

【答案】（1）证明见详解；

⑵独1

13

【解析】

【分析】（1）结合已知易证四边形8CDW为平行四边形，可证四0〃CO,进而得证；

（2）作R9_L4。，连接。8,易证08,0。。/三垂直，结合等体积法匕>八防二%_,”加即可求解.

【小问1详解】

因为BC//AD,3c=2,A。=4,M为的中点，所以BC//MD,BC=MD,

四边形8coM为平行四边形，声以BM//CD,

乂因为区加仁平面。。£,COu平面CDE,所以〃平面CDE；

【小问2详解】

如图所示，作80J_A。交AO于。，连接O尸，因为四边形ABCD为等腰梯形，

BC//AD,AD=4,AB=BC=2,所以CD=2,

结合(1)BCOM为平行四边形，可得BM=CO=2,

又AM=2,所以彳.A8M为等边三角形，。为A”中点，所以08=百，

又因为四边形AOEb为等腰梯形，M为4。中点，所以EF=MD,EF〃MD,

四边形£7械)为平行四边形，FM=ED=AF，所以△4而为等腰三角形，

▲与△AfM底边上中点。重合，ObLAM,OF=JAF2-AO2=3•

因为082十。尸2=8/2,所以OB_LQF,所以。伐。/),。尸互相垂直，

2

由等体积法可得VM-ADF=^F-ADM'匕."“=；・gS^AlfM-FOH，乎2-3=与'

FA2+AB2-FB2(M)~+22-(2@一1月,

2FAAB2-V10-22厢2V10

S.FAIt=-FAABs\nZFAB=--4id-2^==—,

△48222回2

V

设点M到E46的距离为d，贝jVf-rF/AiBo=rF-ABM3ZArAtf=-3-2-^=—2»

解得d=必3,即点M到ABF的距离为独3.

1313

17.已知函数/(x)=a(x-l)-lnx+1.

(1)求/(力的单调区间；

(2)若〃<2时，讦明：当x>l时./(x)vei恒成立.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】(1)求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；

(2)先根据题设条件将问题可转化成证明当时，ei—2/+l+lnx>()即可.

【小问1详解】

/⑶定义域为(0,-HX?),f\x)=a--=——-

XX

(JY—1

当〃《0时，f\x)=--<0,故/(X)在(0,48)上单调递减；

x

当4>0时，时，f\x)>0,/")单调递增，

当了时，/㈤单调递减.

综上所述，当4<0时，/")在(0.+8)上单调递减：

(1A(1>

。>0时，/(X)在一,+8上单调递增，在0,一上单调递减.

I。Jka)

【小问2详解】

a<2,且R>1时，ev-1-/(x)=ex-1-tz(x-l)+lnx-l>ex-,-2jt+l+lnx,

^g(x)=ex-,-2x+1+Inx(x>1),下证g(%)>0即可.

g'(x)=ei-2+L,再令〃(x)=g，(x),则“

XX

显然h\x)在(h+oo)上递增，贝|J〃(x)>"(1)=e°-l=0,

即?(幻=/心)在(1收)上递增，

故gXx)>g'⑴=e°-2+1=0,即g(x)在(1,+oo)上单调递增,

故g*)>g(l)=e°-2+l+lnl=0，问题得证

18.设椭圆，：=+与=1(。〉〃>0)的右焦点为尸，点在C上，且叱_Lx轴.

a-b-V?)

(1)求C的方程：

(2)过点P(4,0)的直线与。交于两点，N为线段仪的中点，直线N8交直线Mb于点Q,证明:

轴.

【答案】（1）三+工=1

43

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）设/（。,0）,根据M的坐标及腕J,x轴可求基本量，故可求椭圆方程.

⑵设4氏y=Z（x—4）,A（%,yJ,网马,必），联立直线方程和椭圆方程，用A8的坐标表示y-%,

结合韦达定理化简前者可得＞1-^=0,故可证AQ±y轴.

【小问1详解】

序Q

设F（GO），由题设有c=l且幺=2,故=—»故。=2,故/?=6,

a22

故椭圆方程—+^=1.

43

【小问2详解】

B（孙必），

3f+4y2=i2

由：,可得（3+4/卜2_32女2%+-12=0,

-4）

故A=1024/-4（3+4公）（643一12）>0,故——<Z<一，

22

32k”64父一12

又x+x=-----=------------

l23+4/1-3+4A

3

后），故为=

BN:y=—）’23%

而N故直线

X2工-。2”5

222

3必_-5）+3）、

所以丁一%=/.

2X2-52X2-5

Mx-4）x（2w-5）+3Z:（X2-4）

2X2-5

964公-12.32公

2大径-5（芯+%）+8X3+4Z「一、3十4出

2X2-52X2-5

128公一24-160S+24+32^2

故.K=+'Q,即AQ_Ly轴.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（百，%）,（/，，2）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或））的一元二次方程，注意△的判断；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为“+%、凡/（或X+%、,必）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错

涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.

19.在平面直角坐标系X。》中，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，由线。的极坐

标方程为P=/0§。+1.

（1）写出。的直角坐标方程;

x=l

（2）设直线…（，为参数），若C与1相交于48两点，若