2024年河南某中学中考数学四模试卷（含答案）

2024年河南师大附中中考数学四模试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列各数中，最小的数是（）

A.0B.3C.-73D.-1

2.某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的俯视图可能是（）

3.华夏飞天续锦章，摘星揽月入天闾.2023年10月26日神舟十七号载人S船在酒泉卫星发射中心圆满发射

成功.此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与应用

研究”淇中某一蛋白质分子的直径仅0.000000028米，这个数用科学记数法表示为（）

A.0.28x10-7B.2.8x10-9C.2.8xIO-8D.2.8xIO-10

4.下面式子计算正确的是()

A.(―2a)(—a)2=2a3B.4Q2+2a2=2Q2

C.-(-a2)3=a6D.(a—b)(—a+b)=b2—a2

5.如图，已知平行线a,b,一个直角三角板的直角顶点在直线Q上，另一个顶点

在宜线b上，若=70。，则乙2的大小为（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

f8-4x<0

6.不等式2x-l-心。的解集在数轴上表示为（）

5

7.若关于X的一元二次方程/一4£+加一1=0有实数根，则m的取值范围是（）

A.m>5B.m<5C.m>5D.m<5

8.一组数据3、4、4、5,若添加一个数4得到一组新数据，则前后两组数据的统计量会变小的是（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

9.如图，在正六边形48CDEF和正方形ABGH中，连接尸，并延长交CD边于P,则

Z-CPH+乙GHP=（）

A.116°

B.118°

C.120°

D.122°

10.如图，线段4B=1,点P是线段A8上一个动点（不包括小8）在48同侧作D

RtAPAC,Rt&PBD,LA=LD=30°,LAPC=Z.BPD=90°,M、N分别是

AC.80的中点，连接MN,设AP=x,MN2=y,则y关于文的函数图象为（）~\

APB

1

--itO11X

4

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

”.要使分式备有意义"的取值应满足一.

12.一张圆桌旁设有4个座位，丙完坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可

能地坐到①、②、③中的2个座位上.则甲与乙相邻而坐的概率为______.

13.学生甲在凉亭4处测得湖心岛C在其南偏西15。的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭8处,

测得湖心岛C在其南偏西60。的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为

14.如图，在中，Z.AOB=90°,AO=BO=2,以。为圆心，

AO为半径作半圆，以A为圆心，48为半径作弧BD,则图中阴影部分的

面积为______.

15.如图，在矩形4BC0中，BC=6,£1是BC的中点，连接力=:，P

4

是人。边上一个动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在力E上的点D'处，当

△/PD'是直角三角形时，PD的值为______.

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题10分)

(1)计算：4s出45。+(2)T+(4+TT)0->J~Q；

(2)化简：(誓+、一1)+缶♦

17.(本小题9分)

某校初一年级在体育运动周噌设花样跳绳比赛，比赛前有一冏训练时间，某班25名同学积极报名参赛，并

利用每日课间时间集中训练，训练前后成绩如下:

训练前成绩统计图训练后成绩统计图

9Tl分

(2)学校要求每班选取12名同学参赛，小丽同学训练前成绩为3.5分，训练后成绩为7.5分，她分析训练前后

的成绩统计图，认为根据自己训练前后的成绩一定会落选.你认为小丽同学分析的止确吗？并说明理由.

(3)班主任拿到每名同学的成绩后，发现成绩第12名有李敏和张颍两人，体委提出让这两名同学进行单独

测试，下表是加试五次后两名同学的成绩及分析后的数据.

第一次第二次第三次第四次第五次平均数众数中位数方差

李敏599898992.4

张颖87.9888.18880.004

根据表中数据，从多角度分析，你认为选择哪位同学参赛更合适？

18.(本小题9分)

如图，直线y=2乃+4与y轴交于点4与汇轴交于点E,点B(a,6)在直线上，口48co的顶点。在％轴上，反

比例函数y=?(%>0)的图象经过点B、C.

(1)求反比例函数的关系式和点。的坐标；

(2)求M8CD的面积.

19.(本小题9分)

学校计划选购甲、乙两种图书作为校园图书节的奖品，已知甲种图书的单价是乙种图书单价的1.5倍，用

600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本.

(1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？

(2)若学校计划购买这两种图书共40本，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量的一半，如何购

买使得所需费用最少？最少费用是多少？

20.(本小题9分)

阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图.无刻度直尺在作图时

只可用来画直线、射线或线段.请版据以上材料按要求进行作图.

(1)如图1,在△A8C中，4ACB=90。，请用无刻度直尺与圆规在BC边.匕作出一点0,使得。0过点C且与

48相切.(保留作图痕迹，不需说明作图步骤)

(2)如图2,在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点4,B,C,。是网格中的四个格点，n.

Z.ACB=90°.

作图：请在图12中仅用无刻度直尺作出一点0,使得。。过点。且与相切于点。(保留作图痕迹，不需说明

作图步骤)

图1

21.(本小题9分)

(1)小明发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方却一定是偶数，且该偶数的一半也可以表

示为两个正整数的平方和.

①小亮通过举例验证：(2++(2-I)2=10为偶数.请你把10的一半表示为两个正整数的平方和;

②设“小明发现”中的两个已知正整数为n,请你说明“小明发现”中的结论一定正确.

(2)小颖受到小明和小亮的启发，通过观察下列两个两位数的积(两个乘数的十位上的数都是9,个位上的数

的和等于10)：91X99,92x98,…，98x92,99x91.设这两个两位数的积为y,其中一个乘数为90+

x(x为小于10的正整数)，她发现［y与高勺关系式.请你求出该关系式.

22.(本小题10分)

嘉嘉和洪淇在进行羽毛球比赛，某同学借此次情境编制了•道数学题，请解答这道题.

如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1?八长，嘉嘉在点4(6,1)处发球，羽毛球(看成点)的运动路

线为抛物线G的一部分.当球运动到最高点时，离嘉嘉站立的位置水平距离为3m,其高度为2m,淇淇恰在

点B(0,c)处将球击回.在与点。水平距离37n处设有一个高为1.5m的球网MN、P,Q为两侧边界.与球网的距

离均为7m(注意：运动员在接/发球时，身体不可以接触球网，否则犯规).

(1)求抛物线G的解析式和c的值(不必写汇的取值范围)；

(2)当羽毛球被淇淇击回后，其运动路线为抛物线C2：y=-gx2+?+c的一部分.

①贰通过计算判断此球能否过网？是否出界？

②嘉嘉在球场上C(d,0)处准备接球，原地起跳后使得球拍达到最大高度普若嘉嘉因接球高度不够而失

球，直接写出d的取值范围.

23.(本小题10分)

综合与实践数学活动课上，张老师找来若干张等宽的矩形纸条，让学生们进行折纸探究.

(1)希望小组将如图(1)所示的矩形纸片"BCD沿过点8的直线折叠，使点4落在8C边上的点4处，折痕为

BE.

埴空：图(1)中四边形A8&E的形状是_____・

(2)智慧小组准备了一张如图(2)所示的长、宽之比为(JI+1)：的矩形纸片4BC。，用希望小组的方法

折叠纸片.得到四边形接着沿过点C的直线折叠纸片，使点。落在E4上的点M处，折痕为CF.

求/MCD的度数.

(3)勤奋小组拿着一张如图(3)所示长为5,宽为2的矩形纸片48CD,利用希望小组的方法折叠纸片，得到

四边形4B4E,在ED上取一点F(不与点。，E重合)，沿C/折叠AC。凡点。的对应点为M,射线尸M交直线

8c于点K

①FY与CY的数量关系为_____.

②当射线经过△84E的直角边的中点时，直接写出FD的长.

参考答案

1.C

2.B

3.6

4.C

5.B

6£

7.5

8.0

9.6

10.5

11.%>2

12-

13.(150+150/1)米

14.2

思野

16.解：(l)4sin45。+(2)7+(4+乃)°一展

=4x^+2+1-2/2

=2/2+2+1-2/2

=3；

(乂x+1；'x2+2x+l

_2x+l+(x-l)(x+l)(x+l)2

x+1x+2

_x(x+2)(x+1)2

―x+1x+2

=A(X+1)

=X2+X.

17.解：(1)360°x(1-24%-32%-4%-8%)=115.2°,

答：圆心角度数为115.2。.

(2)小丽的说法不正确，

从25名同学中选12名同学参赛，说明小丽的成绩只要达到中位数就能参赛.

小丽同学训练前成绩为3.5分，从训练前成绩统计图看，1〜3分有4人，3〜5分有5人，4+5=9<12,因

此根据小丽训练前的成绩她一定落选.

小丽同学训练后成绩为7.5分，从训练后成绩统计图看，24%+32%=56%>50%,

因此成绩的中位数在“7〜8”分之间，她很有可能排在前12名，有被录取的可能性.

(3)从平均数看，8分=8分，李敏，张颖平均水平相同.

结合众数看，9分>8分，李敏成绩更好，应该选李敏.

结合中位数看，9分>8分，李敏成绩高分较多，应该选择李敏.

结合方差看.0.004<2.4,张颖成绩更趋定,应该选择张颖.

18.解：(1)：点8(。,6)在直线丫=2%+4上，

6=2Q+4,

•••a=1,

.••8(1,6),

・•,反比例函数y=+(x>0)的图象经过点B,

k=1x6=6,

・••反比例函数为y=：,

,•,直线y=2x+4与y轴交于点4与％轴交于点E,

•••4(0,4),E(-2,0),

•••8(1,6)

.•.点人向上平移2个单位，向右平移1个单位得到以

设D(m.O),则C(m+1,2),

•反比例函数y=^(x>0)的图象经过点C,

:.2(m+1)=6,

:.m=2,

."(2,0),C(3,2),

(2)延长8C,交汇轴于点产，

设直线BC为y=k'x+b,

把8、C的坐标代入得

解哦:二,

•••直线8C为y=-2%+8,

•••F(4,0),

1

-XX2=8

.,QABC。的面枳5=S&BEF-S^AED~S&CDF=]X(4+2)X6—：X2(4-2)

L4

19.解：(1)设乙种图书的单价为％元/本，则甲种图书的单价为1.5%元/本,

根据题意得：—--^=10,

解得：x=20,

经检验，％=20是原方程的根，且符合题意，

1.5%=30.

答：甲种图书的单价为30元/本，乙种图书的单价为20元/本.

(2)设购买甲种图书m本，则购买乙种图书(40-m)本，

根据题意得：m>|(40-m),

解得：m>弓，

•Jm为整数，

:.m>14.

设购书费用为y元，则y=30m+20(40-m)=10m+800,

v10>0,

・•.y随机的增大而增大，

••・当?71=14时，y取最小值，最小值=10x14+800=940.

答：购买14本甲种图书、26本乙种图书费用最少，最少费用为940元.

20.解：(1)图形如图1所示:

图1

(2)图形如图2所示.

21.解：(1)①10=5,而5=1+4=1?+22：

.•.把10的一半表不为两个止整数的平方和为i+22；

②根据已知得：(m+n)2+(m—n)2=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2=2m2+2n2=2(m2+n2),

(m+n)2+(m-n)2=2(m2+n2).

二两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，

V(2m2+2n2)-?2=m2+n2.

••・该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.

・••“发现”中的结论“两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶