浙江嘉兴市2026届高三下学期4月二模教学测试数学试题 附解析

2026年高三教学测试数学试题卷本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸上规定的位置.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A.(-1}B.{0.1,2]C.{1.2}【解析】又A={-1,0,1,2,3},所以A∩B={1.2).【解析】则如a=-1,b=2,满足ab<a²,但不满足a<b<0,3.在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a.b,c,若α²-b²-c²=bc=1,则VABC的面积为()A.BD【答案】D【解析】【详解】VABC中，由a²-b²-c²=bc,得b²+c²-a²=-bc,又bc=1,所以4.为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理，已知初始碳排放浓度为3.6kg/m³,每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50%.国家排放标准规定碳排放浓度不得超过0.08kg/m³,若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为()A.4B.5【解析】【详解】设脱碳处理的次数为n,则脱碳处理n次后的碳排放浓度为3.6×0.5”,即2”≥45,由题意可得3.6×0.5"≤0.08,即2”≥45,由于n∈N,所以n的最小值为6,故至少需要脱碳处理的次数为6.5.若数列{x}满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为k的等差数列，则称数列{x}为“k-等差数列.己知{a}为“2一等差数列，且a₁=1A.91B.111C.121当n=1时，4=1,符合通项公式，所以6.已知的值为()7.已知双曲线C1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F₂,左、右顶点分别为A.B,点为右支上异于B的一点，过P作x轴的垂线，垂足为N,若△PF₁FE₂的面积S=√2a√{AN|·BN|,,则双曲线的离心率为()B.√2C.√3【解析】,整理得bc=√2a².8.己知直线y=ax+b与函数y=Inx+√x的图象相切，,则实数b的最小值为()ABCD.2In2【解析】【详解】由y=Inx+√x.,设切点(x.Inx₀+√x),,所以,解得x₀≥4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是()A.数据9,10,10,11,12,14,16,17,19,21的第60百分位数为14B.对于随机事件A与B,若P(B)=0.3,P(B|A)=0.7,则事件A与B相互独立C.已知一组样本数据x₁,x₂,…,x。的平均值为5,极差为7,中位数为6,则数据2x,-1,2x₂-1,…,2x。-1的平均值为9,极差为14,中位数为11【解析】【详解】对A:10×0.6=6,故这组数据的第60百分位数为故A错误；对B:由P(B)=1-P(B)=1-0.3=0.7,则P(B)=P(B|A),故事件A与B相互独立，故B正确：对C:新数据的平均值为2×5-1=9.极差为2×7=14,中位数为2×6-1=11,故C正确；10.已知{z}是由复数组成的数列，【解析】进一步zm₂=3-zm=3-(3-z)=z,,即数列{z。}周期为2.选项B.Z₃=Z=1+i,因此Z₂+z₃=(2-i)+(1+i)=3,B正确.选项C.z-Z₂+z₃-z₄+…-Z₂x=(z₁-z₂)+(z₃-z₄)+…+(z₀5-Zs).因为z-z₂=(1+i)-(2-i)=-1+2i,所以总和为1013(-1+2i).模长1013(-1+2i)|=1013×√(-1)²+2²=1013√5.C正确.选项D.Z₂s=Z=1+i,23026=z₂=2-i.11.已知函数,关于x的不等式[f(x)-a]-[f(x)-a-t]≤0(t>0)A.若a=t=1,则n=338B.若t=1,则n的最小值为338【解析】因为f(x)的周期,所以区间(0,2026)含区间(0,4)和337个完整的周期，对于A:若a=1=1,则原式为[f(x)-1]·[f(x)-2]≤0,由图可知：3,9,15,...均满足，共有338个，故A正确：取a=2.此时当t=1时，不等式2≤f(x)≤3无解，则n=0,对于C:要使n=676,则区间(0,4)和337个周期内各2个.要使1最小，只需(0,4)内包含1和2,因此1的最小值为,故C正确；对于D:要使n=676,则区间(0.4)和337个周期内各2个，要使a最大，只需(0,4)内包含2和3,因此a的最大值为,故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【答案】-3【解析】【详解】由a||b可得-1×6=2λ→λ=-3.【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：的充要条件是xy2=xzyi”解题比较方便，(3)三点共线问题，A.B.C三点共线等价于丽与龙共线.13.已知A(-2,0),B1,0),若直线x-y+c=●上存在点P满足P|A|=2|PB,则实数c的最大值是【答案】-2+2√2##2√2-2【解析】【分析】由|PA|=2|PB|求得P的轨迹为圆，结合直线与圆的位置关系即可求得c的最大值.【详解】设P(x,y),由题意得√Lx-(-2)²+(y-0)²=2√(x-整理得(x-2)²+y²=4,所以P的轨迹为以C(2,0)为圆心，半径r=2的圆，则C(2,0)到x-y+c=0的距离故c的最大值是-2+2√2.14.已知正方体ABCD-A,B₁C₁D₁的棱长为2,若球O同时满足条件：①与平面ABC₁D₁,平面ABCD均相切，②与棱AA,相切(即与棱AA,仅有一个公共点),则球O的半径的最小值为.【答案】【解析】【详解】球0与平面ABC₁D₁和平面A,BCD均相切，作OP⊥MQ,则OP⊥平面A,BD₁,即球半径r=OP,又球0与AA,相切，故r=OE,因此，OE=OP,在△OPQ中，OP=r,0Q=√2-r,ZO四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列{a},,2a+=a,+1.(1)求证：数列{a-1}为等比数列，并求数列{a}的通项公式：(2)求数列{na,}的前n项和S。.【答案】(1)证明见解析，【解析】【分析】(1)通过配凑可得到：(2)依据数列的特征，用错位相减法即可求得，【小问1详解】【小问2详解】由(1):16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E为线段(2)若直线EC与平面AEF所成角的正弦值为·,求BF.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】(1)解法一：根据题意可证BC⊥平面PAB,可得AE⊥BC,进而可得AE1平面PBC,即可证面面垂直：解法二：建系并标点，求平面AEF与平面PBC的法向量，利用空间向量证明面面垂直：(2)解法一：作CH⊥EF,可知直线EC与平面AEF所成角为∠CEH,根据题意结合几何性质运算求解：解法二：由(1)可知：EC=(1,2,-1),平面AEF的法向量n=(b,-2,-b),利用空间向量结合线面夹角运算求解.【小问1详解】且BC⊥AB,AB∩PA=A,AB,PAc平面PAB,则BC⊥平面AB,由AEc平面PAB,可得AE1BC,且BC∩PB=B,BC,PBC平面PBC,则AE⊥平面PBC,解法二：因为PA.L底面ABCD,AB⊥AD,如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),设F(2,b,0)(0≤b≤2),则AE=(1,0,1),,BP=(-2,0,2),BC=(0,2,0),设平面PBC的法向量为角=(x,y,z),则令x=1,则y₁=0,z=1,可得丽=(1,0,1):令x₂=b,则y₂=-2,z₂=-b,可得h=(b,-2,-b):所以平面AEF⊥平面PBC.【小问2详解】解法二：作CH⊥EF,垂足为H,因为平面AEF⊥平面PBC,平面AEFn平面PBC=EF,CHc平面PBC,CH⊥EF,,可得CE=√6,设CF=x,则BF=2-x,EF=√2+(2-x)²=√x²-4x+6·整理可得x²+2x-3=0,解得x=1或x=-3(含去),即CF=1,所以BF=1;解法二：由(1)可知：EC=(1,2,-1),平面AEF的法向量h=(b,-2,-b),设直线EC与平面AEF所成角为6,整理可得b²-66+5=0,解得b=1或b=5,所以BF=1.17.已知椭圆C:I(a>b>0)长轴的长为4.离心率为(1)求椭圆C的标准方程：(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C有唯一公共点M,过点M且与/垂直的直线分别交x,y轴于A(x₀,0)和B(0,y.).【解析】【小问1详解】【小问2详解】联立得：(1+2k²)x²+4knx+2m²-4=0,因为/与椭圆相切，故△=(4km)²-4(1+2k²)(2m²-4)=0,,化简得：m²=2+4k²,因此，点P的轨迹方程为：I(x≠0,y≠0)解法二：(2)设切点M(x,y),则切线l因此，点P的轨迹方程为：【答案】(1)1(2)[-2e,0](3)证明见解析【解析】【分析】(1)求导，利用导数求f(x)的单调性和最值：(2)原题意等价干方程仅有一个解，令可知g(x)在R上为单调函数，且值域为R,分类讨论b的符号，结合导数应用运算求解；(3)根据题意结合(1)中结论分析可,分x≥π和0≤x≤π两种情况，利用导数结合三角函数的有界性分析证明.【小问1详解】当a=1,b=2时，则可知f(x)在10,+00)单调递减，所以f(x)在[0,+∞c]上的最大值为f(O)=1.【小问2详解】则因为对任意实数m,方程m=g(x)都仅有一个解，可知g(x)在R上为单调函数，且值域为R.因为当x趋近于+∞0时，G(x)趋近于-1(i)当b=0时，则g(x)=-x,可知g(x)在R上单调递解得-2e≤b<0,【小问3详解】因为0<b≤2,x≥0,且0<c≤2,则csinx≤2,可得3-cs(ii)当0≤x<π时，则3-csinx≥3-2sinx,可令h(x)=e'(3-2sinx)-2,则h(x)=e且e*≥e=1,可得e[e(3-2sinx)-2]=e·(x)≥1,(1)求P₀(T=2)和P₁₀(T=3)的值；【解析】的性质求解概率即可.(2)法一结合题意得到再利