2026年全国卷数学三角函数压轴题卷含解析

2026年全国卷数学三角函数压轴题卷含解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.若角α的终边过点P(√3,-1)，则sinα的值为（）A.-1/2B.1/2C.-√3/2D.√3/22.下列函数中，最小正周期为π且关于直线x=π/4对称的是（）A.y=sin(2x+π/3)B.y=cos(2x-π/6)C.y=-sin(2x)D.y=-cos(2x)3.函数f(x)=cos|x|在区间[-π,π]上的图像与直线y=1/2的交点个数为（）A.1B.2C.3D.44.若sinα+cosα=√2/3，其中α∈(π/2,π)，则tanα的值为（）A.-4/3B.-3/4C.4/3D.3/45.已知0<α<π/2，β∈(0,π)，且sinα=1/3，sinβ=1/4，则sin(α+β)的值为（）A.1/12+√2/6B.5/12+√2/6C.5/12-√2/6D.1/12-√2/66.若函数g(x)=sin^2(x+θ)+cos^2(x+θ)-sin(x+θ)cos(x+θ)在R上单调递增，则θ的取值范围是（）A.kπ+π/4,kπ+3π/4(k∈Z)B.kπ-π/4,kπ+π/4(k∈Z)C.kπ,kπ+π/2(k∈Z)D.kπ-π/2,kπ(k∈Z)7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若a=3,b=√7,C=π/3，则cosA的值为（）A.1/3B.2/3C.√3/3D.√2/38.若f(x)=sin(x+φ)-√3cos(x+φ)(x∈R)，且f(x)的最小正周期为2π，则φ的可能取值为（）A.π/6B.π/3C.2π/3D.5π/69.函数y=2sin(3x-π/4)+1的图像向右平移m个单位长度后，得到函数y=2sin(3x+π/12)+1的图像，则m的值为（）A.π/6B.π/3C.π/2D.2π/310.已知函数h(x)=sinx+cosx，若存在x₀∈[0,2π]，使得h(x₀)=√3，则f(x₀)=sin(2x₀)-cos(2x₀)的值为（）A.1B.-1C.2D.-2二、多选题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对但不全的得3分，有选错的得0分。）11.下列关于函数f(x)=sin(x-π/6)的说法中，正确的有（）A.f(x)的图像关于直线x=π/6对称B.f(x)在区间[π/3,2π/3]上是单调递减的C.将f(x)的图像向左平移π/3个单位长度后，得到一个奇函数的图像D.f(x)的最小正周期为2π12.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若f(A)=(a+b-c)/(ab)，则f(A)的值（）A.总大于0B.总小于1C.最小值为1/2D.最大值为113.对于任意α,β∈(0,π/2)，下列不等式中成立的有（）A.sinα+sinβ>sin(α+β)B.cosα+cosβ>cos(α+β)C.sinα+cosα>sin(α+β)D.cosα+cos(α+β)>114.若函数g(x)=sin(ωx+φ)+sin(ωx-φ)(ω>0,|φ|<π/2)的图像关于直线x=π/4对称，且g(x)在区间[0,π/2]上是单调递减的，则（）A.ω的可能取值为2B.φ的可能取值为π/6C.g(x)的图像可能是下图所示（此处无图，但假设图像符合条件）D.g(x)的最小正周期为π15.已知0<x<π/2，f(x)=(sinx+cosx)/(sinx-cosx)，则下列说法中正确的有（）A.f(x)在(0,π/4)上是单调递减的B.f(x)的值域为(1,+∞)C.当x=π/6时，f(x)取得最小值D.f(x)是偶函数三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分12分）已知函数f(x)=√3sin(2x)-cos(2x)-1。(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若x∈[0,π]，且f(x)=0，求x的值。17.（本小题满分12分）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知cosA=1/2，a=2√3，b=2。(1)求sinB的值；(2)若△ABC的面积S=√3，求边c的长度。18.（本小题满分14分）已知函数g(x)=sin^2(x+θ)-sin(2x)cos(θ)，其中θ为常数。(1)若函数g(x)的最小正周期为π，求θ的值；(2)在(1)的条件下，求函数g(x)在区间[-π/4,π/4]上的最大值和最小值。19.（本小题满分15分）已知函数f(x)=sin(2x+α)+√3cos(2x)，其中α为常数。(1)若f(x)在R上单调递增，求α的取值范围；(2)在(1)的条件下，若f(x)在区间[0,π/2]上的最小值为-1，求α的值，并求f(x)在[0,π/2]上的最大值。20.（本小题满分15分）已知函数h(x)=sin(x+φ)-cos(x+φ)(x∈R)，其中|φ|<π/2。(1)若函数h(x)的图像关于直线x=π/4对称，求φ的值；(2)在(1)的条件下，设函数g(x)=2sin^2(x+φ)-sin(2x)-1。①化简g(x)；②求函数g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值。试卷答案一、选择题1.B2.C3.C4.A5.B6.A7.B8.B9.C10.D二、多选题11.B,D12.A,B,D13.B,C,D14.A,B,D15.A,B,C三、解答题16.解：(1)函数f(x)=√3sin(2x)-cos(2x)-1=2sin(2x-π/6)-1所以函数f(x)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。令2kπ-π/2≤2x-π/6≤2kπ+π/2(k∈Z)，解得kπ-π/6≤x≤kπ+π/3(k∈Z)。所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-π/6,kπ+π/3](k∈Z)。(2)因为x∈[0,π]，所以f(x)=0等价于2sin(2x-π/6)-1=0，即sin(2x-π/6)=1/2。解得2x-π/6=π/6+2kπ或2x-π/6=5π/6+2kπ(k∈Z)。即2x=π/3+2kπ或2x=π/2+2kπ(k∈Z)。由于x∈[0,π]，所以x=π/3或x=π/2。17.解：(1)因为cosA=1/2，且A∈(0,π)，所以A=π/3。由正弦定理得，a/sinA=b/sinB，即2√3/sin(π/3)=2/sinB。解得sinB=1/√3=√3/3。(2)△ABC的面积S=(1/2)ab*sinC=(1/2)*2√3*2*sinC=2√3*sinC。由题意S=√3，所以sinC=1/2。因为a>b，所以A>B，从而C∈(0,π/2)。所以C=π/6。由A+B+C=π，得B=π-A-C=π-π/3-π/6=π/2。所以边c=√(a^2+b^2)=√((2√3)^2+2^2)=√(12+4)=√16=4。18.解：(1)函数g(x)=sin^2(x+θ)-sin(2x)cos(θ)=(1/2)[1-cos(2x+2θ)]-(1/2)sin(2x)cos(θ)=(1/2)-(1/2)cos(2x+2θ)-(1/2)sin(2x)cos(θ)。函数g(x)的最小正周期为π，即|ω|=2，所以2θ+2=kπ(k∈Z)。又因为θ为常数，所以2θ=kπ-2，即θ=(kπ-2)/2(k∈Z)。又|θ|<π/2，所以-π/2<θ<π/2。令k=1，得θ=-π/2，符合条件。令k=0，得θ=-1，符合条件。令k=-1，得θ=3/2，不符合条件。所以θ=-π/2或θ=-1。(2)当θ=-π/2时，g(x)=(1/2)-(1/2)cos(2x-π)-(1/2)sin(2x)cos(-π/2)=(1/2)-(1/2)(-cos2x)-0=(1/2)+(1/2)cos2x=sin2x+1/2。函数g(x)=sin2x+1/2在区间[0,π/2]上，2x∈[0,π]，sin2x∈[0,1]。所以g(x)∈[1/2,3/2]。最大值为3/2，最小值为1/2。当θ=-1时，g(x)=(1/2)-(1/2)cos(2x-2)-(1/2)sin(2x)cos(-1)=(1/2)-(1/2)cos(2x-2)-(1/2)sin(2x)*cos(1)。g(x)在区间[0,π/2]上，2x∈[0,π]，2x-2∈[-2,π-2]。cos(2x-2)在区间[0,π/2]上的值域为[cos(π-2),cos(-2)]。sin(2x)*cos(1)在区间[0,π/2]上的值域为[0,√2/2*cos(1)]。所以g(x)在区间[0,π/2]上的最小值和最大值需要进一步计算，但显然不是-1和最大值。所以θ=-1不符合题意。综上所述，θ=-π/2，函数g(x)在[0,π/2]上的最大值为3/2，最小值为1/2。19.解：(1)函数f(x)=sin(2x+α)+√3cos(2x)=2sin(2x+α-π/3)。函数f(x)在R上单调递增，所以2x+α-π/3在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ](k∈Z)上单调递增。即-π/2+2kπ≤2x+α-π/3≤π/2+2kπ(k∈Z)。所以-π/12+kπ≤x≤5π/12+kπ(k∈Z)。所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-π/12,kπ+5π/12](k∈Z)。要使函数f(x)在R上单调递增，必须有{kπ-π/12,kπ+5π/12}覆盖所有x∈R，即kπ-π/12≤x≤kπ+5π/12对所有x成立。这只有在α-π/3=-π/2+2kπ或α-π/3=π/2+2kπ(k∈Z)时才可能。即α=-π/6+2kπ或α=5π/6+2kπ(k∈Z)。又因为|φ|<π/2，所以α=-π/6或α=5π/6。(2)在(1)的条件下，f(x)=2sin(2x-π/6)。当α=-π/6时，f(x)=2sin(2x-π/6)，f(x)在区间[0,π/2]上，2x∈[0,π]，2x-π/6∈[-π/6,5π/6]。sin(2x-π/6)∈[-1/2,1]，所以f(x)∈[-1,2]。最小值为-1，最大值为2。但当x=π/2时，f(π/2)=2sin(π-π/6)=2sin(5π/6)=√3，不满足最小值为-1。所以α≠-π/6。当α=5π/6时，f(x)=2sin(2x+5π/6)，f(x)在区间[0,π/2]上，2x∈[0,π]，2x+5π/6∈[5π/6,11π/6]。sin(2x+5π/6)在[5π/6,11π/6]上，当2x+5π/6=3π/2时取得最小值-1，此时x=π/2-π/6=π/3。当2x+5π/6=11π/6时取得最大值-1/2，此时x=0。所以f(x)在[0,π/2]上的最小值为2*(-1)=-2，最大值为2*(-1/2)=-1。满足最小值为-1。所以α=5π/6。函数f(x)在[0,π/2]上的最大值为-1，最小值为-2。20.解：(1)函数h(x)=sin(x+φ)-cos(