2026年新高考全国甲卷数学数列易错题集锦卷含解析

2026年新高考全国甲卷数学数列易错题集锦卷含解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，且S_n+2^n=n^2(n∈N*），则a_3的值为（）A.4B.5C.6D.72.在等差数列{b_n}中，b_1=-10，公差d=2，则使得b_n≥0成立的最早正整数n值为（）A.6B.7C.8D.93.设等比数列{c_n}的公比为q(q≠0)，若c_1=2，c_4=16，则q^3+q^5的值为（）A.18B.26C.54D.824.已知数列{a_n}满足a_1=0，a_n+1=a_n+n(n∈N*），则a_10的值为（）A.45B.55C.75D.905.若数列{a_n}满足a_n=(-1)^(n+1)*(n+1)/n，则该数列的前100项和S_100为（）A.-50B.-491/2C.491/2D.506.在等差数列{x_n}中，x_1+x_3+x_5=15，x_2+x_4+x_6=9，则该数列的前9项和S_9的值为（）A.24B.27C.30D.367.已知数列{b_n}的前n项和为S_n，且a_n=log_(b_n)(b_{n+1})，若a_2=1，则数列{b_n}的通项公式为（）A.b_n=2^(n-1)B.b_n=2^nC.b_n=3^(n-1)D.b_n=3^n8.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+c_n/(c_n+1)(n∈N*），则c_5的值约为（）A.1.2B.1.5C.1.8D.2.0二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。）9.已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=9且S_6=36，则该数列的公比q=_______。10.在等差数列{b_n}中，若b_5=10且b_10=30，则b_15=_______。11.已知数列{c_n}满足c_n=n(n+1)/2(n∈N*），则数列{c_n}的前n项和S_n=_______。12.若数列{a_n}满足a_1=2且a_{n+1}=a_n/(a_n+1)(n∈N*），则a_4的值为_______。13.已知等差数列{x_n}的前n项和为S_n，若S_4=20且S_7=49，则该数列的公差d=_______。14.设数列{b_n}的前n项和为S_n，若b_n=S_n/n+n(n∈N*），则数列{b_n}的通项公式a_n=_______。三、解答题（本大题共4小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）15.(本小题满分15分)已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，S_n+a_n=2^n(n∈N*）。(1)求数列{a_n}的通项公式；(2)设b_n=2^n*a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n。16.(本小题满分17分)在等差数列{x_n}中，若x_1+x_3+x_5+x_7=40，且公差d为正整数。(1)求该数列的通项公式；(2)设y_n=(x_n-1)/x_n，求数列{y_n}的前n项和S_n。17.(本小题满分18分)已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+(a_n/(a_n+1))(n∈N*)。(1)求数列{a_n/(a_n+1)}的通项公式；(2)令b_n=a_n-a_{n-1}(n≥2)，求数列{b_n}的前n项和S_n。18.(本小题满分20分)设数列{c_n}的前n项和为S_n，且c_1=2，c_{n+1}=c_n+n(n∈N*)。(1)求数列{c_n}的通项公式；(2)设d_n=c_n*2^n，求数列{d_n}的前n项和T_n。(3)是否存在正整数k，使得对于任意正整数n，都有T_n<k*c_n成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由。试卷答案一、选择题1.B2.C3.C4.A5.B6.D7.A8.B二、填空题9.210.5011.n(n+1)(n+2)/612.2/513.314.n三、解答题15.(1)a_n=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)(n∈N*)；(2)b_n=2^n*2^(n-1)=2^(2n-1)，T_n=2^1+2^3+...+2^(2n-1)=(2^1*(4^n-1))/(4-1)=(4^n-2)/3。16.(1)设首项为x_1，由x_1+(x_1+2d)+(x_1+4d)+(x_1+6d)=40，得4x_1+12d=40，即x_1+3d=10。又d为正整数，则d≥1。当d=1时，x_1=7，通项公式为x_n=7+(n-1)*1=n+6；当d=2时，x_1=4，通项公式为x_n=4+(n-1)*2=2n+2。综上，通项公式为x_n=n+6或x_n=2n+2。(2)当x_n=n+6时，y_n=(n+6-1)/(n+6)=n/(n+6)+5/(n+6)。S_n=1/7+2/8+...+n/(n+6)+5*(1/7+1/8+...+1/(n+6))=(1/2-n/(2(n+6)))+5*[ln(n+6)-ln(7)]=(1/2-n/(2n+12))+5*ln((n+6)/7)。当x_n=2n+2时，y_n=(2n+2-1)/(2n+2)=1/2+1/(2n+2)。S_n=(1/2)*n+[1/4+1/6+...+1/(2n+2)]=(1/2)*n+1/2*[ln(4)-ln(2)+ln(6)-ln(4)+...+ln(2n+2)-ln(2(n-1)+2)]=(1/2)*n+1/2*ln(n+1)。17.(1)a_{n+1}=a_n*(a_n+1)/(a_n+1)=a_n。故a_n=1(n∈N*)。则a_n/(a_n+1)=1/(1+1)=1/2(n∈N*)。即数列{a_n/(a_n+1)}是以1/2为首项，1/2为公比的等比数列。其通项公式为a_n/(a_n+1)=(1/2)^(n-1)。(2)当n≥2时，b_n=a_n-a_{n-1}=1-1=0。故S_n=b_2+b_3+...+b_n=0+0+...+0=0(n≥2)。18.(1)当n=1时，c_1=2。当n≥2时，c_n=c_{n-1}+(n-1)。则c_n-c_{n-1}=n-1。故c_n=c_1+(2+3+...+n)=2+(n*(n+1)/2-1*2/2)=n*(n+1)/2。检验n=1时成立。故c_n=n*(n+1)/2(n∈N*)。(2)d_n=c_n*2^n=n*(n+1)/2*2^n=n*(n+1)*2^(n-1)。T_n=1*2^0+2*2^1+3*2^2+...+n*2^(n-1)。则2*T_n=1*2^1+2*2^2+3*2^3+...+n*2^n。两式相减，得-T_n=1+2^1+2^2+...+2^(n-1)-n*2^n=(1-2^n)/(1-2)-n*2^n=(2^n-1)-n*2^n=(1-n)*2^n-1。故T_n=(n-1)*2^n+1。(3)要使T_n<k*c_n恒成立，即(n-1)*2^n+1<k*n*(n+1)/2恒成立。整理得k>2*[(n-1)*2^n+1]/[n*(n+1)]=2*[(n-1)/n*2^n+1/(n*(n+1))]。令f(n)=(n-1)/n*2^n+1/(n*(n+1))。则k>lim(n→∞)[2*f(n)]=lim(n→∞)[2*((n-1)/n*2^n+1/(n*(n+1)))]=lim(n→∞)[((2^n-2^n/n)/n)+2/(n*(n+1))]=lim(n→∞)[2^n/n^2]+lim(n→∞)[2/(n*(n+1))]=0+0=0。故k>0。又当n=1时，T_1=1*2