2026年新高考全国卷三角函数易错压轴专题冲刺卷含解析

2026年新高考全国卷三角函数易错压轴专题冲刺卷含解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若角α的终边经过点P(3m,-4m)(m≠0)，则sinα的值为（）A.-4/5B.4/5C.±4/5D.±4/5(m<0时取负，m>0时取正)2.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的图像向右平移π/ω个单位后，得到的图像关于y轴对称，则φ的值为（）A.π/4B.π/2C.3π/4D.π3.已知cos(α+β)=1/2，cos(α-β)=1/3，其中α,β∈(0,π/2)，则cosα的值为（）A.1/6B.5/6C.±√11/6D.±√13/64.函数g(x)=cos^2(x)+sin(x)cos(x)+1的最小正周期为（）A.π/2B.πC.2πD.4π5.若函数f(x)=2sin(x+θ)+1在区间[-π/4,π/4]上的最小值为0，则θ的一个可能取值为（）A.π/6B.π/3C.2π/3D.5π/66.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是周期函数的是（）A.y=sin|x|B.y=cos(x^2)C.y=-tan(x)D.y=|sin(x)|7.若f(x)=sin(x+α)+cos(x+α)(α为常数)，且f(x)的最小正周期为π，则f(x)在[0,π]上的最大值和最小值分别为（）A.√2,-√2B.2,-2C.1,-1D.√3,-√38.已知0<x<π/2，sin(x)=3/5，则sin(2x)+cos(2x)的值为（）A.7/25B.24/25C.31/25D.13/259.函数y=2sin(3x)的图像向左平移φ个单位（0<φ<π），得到的图像关于直线x=π/4对称，则φ的值为（）A.π/12B.π/6C.π/4D.π/310.设函数f(x)=sin(x)cos(x)-sin(2x)+1，则f(x)在区间[0,2π]上的零点个数为（）A.2B.4C.6D.811.若cos(α/2)=√5/5，α∈(π/2,π)，则tan(α/2)的值为（）A.2B.-2C.1/2D.-1/212.已知函数f(x)=sin(x)+kcos(x)(k∈R)在x=π/4处取得最大值√2，则f(x)在[0,π/2]上的最小值为（）A.-1B.0C.1D.k二、多项选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。每小题全选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。13.下列说法中，正确的有（）A.若sinα=sinβ，则α=β+2kπ(k∈Z)B.函数y=sin(x)+cos(x)的最小正周期为2πC.若sinα>cosα，则α一定在(π/4,5π/4)内D.函数y=sin(x)cos(x)是奇函数14.函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)(|φ|<π)的图像可能具有的性质有（）A.周期为πB.图像关于原点对称C.在区间[0,π/2]上单调递减D.图像可由y=sin(2x)的图像向左平移φ/2个单位得到15.设α,β∈(0,π)，且sinα+sinβ=1，则下列结论中正确的有（）A.cosα+cosβ≤√3B.sinαsinβ≤1/4C.α+β≤π/2D.cosαcosβ≤1/216.关于函数f(x)=sin(x)cos(x)-sin^2(x)，下列说法中正确的有（）A.f(x)是周期函数，最小正周期为πB.f(x)在(0,π/2)上是增函数C.f(x)的图像关于直线x=π/4对称D.方程f(x)=1/2在(0,π)上有两个不相等的实数根三、解答题：本大题共6小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=√3sin(x)-cos(x)-1。(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)若f(α)=0，且α∈(-π,π)，求α的值。18.(本小题满分12分)已知函数g(x)=sin(x+θ)cos(x)-cos(x+θ)sin(x)+1=sin(x)cosθ-cos(x)sinθ+1，其中θ∈(0,π/2)。(1)化简函数g(x)；(2)若g(x)在区间[0,π/2]上是增函数，求θ的取值范围。19.(本小题满分12分)已知函数h(x)=sin^2(x)+sin(x)cos(x)-2。(1)求函数h(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)在[0,π]上的最大值和最小值。20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin(ωx)cos(ωx)-sin^2(ωx)+m，其中ω>0。(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在[0,π/2]上的值域为[-1,√2/2]，求ω和m的值。21.(本小题满分13分)设函数F(x)=sin(x)cos(x)-sin(α)cos(x)-cos(α)sin(x)+sin(α)cos(α)，其中α为常数。(1)化简函数F(x)；(2)若F(x)在区间[0,π]上是单调函数，求α的取值范围。22.(本小题满分13分)已知函数f(x)=sin(x)cos(x)+2sin^2(x)-1。(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)证明：对于任意x∈[0,π/2]，f(x)的值都大于等于1/4；(3)若直线y=kx+1与y=f(x)的图像在区间[0,π/2]上有且仅有一个交点，求实数k的取值范围。试卷答案1.D2.C3.B4.B5.B6.C7.A8.B9.B10.B11.A12.C13.B,D14.A,B,C15.A,B,C16.A,C,D17.解析：(1)f(x)=√3sin(x)-cos(x)-1=2sin(x-π/6)-1。最小正周期T=2π。最大值为2+1=3。(2)由f(α)=0，得2sin(α-π/6)-1=0，即sin(α-π/6)=1/2。因为α∈(-π,π)，所以-π<α-π/6<π-π/6=5π/6。所以α-π/6=π/6，解得α=π/3。或α-π/6=5π/6，解得α=π。故α的值为π/3或π。18.解析：(1)g(x)=sin(x+θ)cos(x)-cos(x+θ)sin(x)+1=sin(x)cosθ-cos(x)sinθ+1=sin(x)(cosθ-sinθ)+1。(2)因为θ∈(0,π/2)，所以cosθ-sinθ=√2cos(θ+π/4)>0。令t=cosθ-sinθ，则g(x)=sin(x)t+1。函数g(x)在[0,π/2]上是增函数，等价于g'(x)=tcos(x)≥0在[0,π/2]上恒成立。因为t>0，所以cos(x)≥0在[0,π/2]上恒成立，此条件已满足。故θ的取值范围是(0,π/2)。19.解析：(1)h(x)=sin^2(x)+sin(x)cos(x)-2=(1/2)(1-cos(2x))+(1/2)sin(2x)-2=(1/2)sin(2x)-(1/2)cos(2x)-3/2=(1/2)√2sin(2x-π/4)-3/2。最小正周期T=2π/2=π。(2)因为x∈[0,π]，所以2x∈[0,2π]，2x-π/4∈[-π/4,7π/4]。当2x-π/4=π/2，即x=3π/8时，sin(2x-π/4)取得最大值1，h(x)取得最大值(1/2)-3/2=-1。当2x-π/4=7π/4，即x=7π/8时，sin(2x-π/4)取得最小值-√2/2，h(x)取得最小值(-√2/4)-3/2=(-√2-6)/4。故最大值为-1，最小值为(-√2-6)/4。20.解析：(1)f(x)=sin(ωx)cos(ωx)-sin^2(ωx)+m=(1/2)sin(2ωx)-(1/2)(1-cos(2ωx))+m=(1/2)sin(2ωx)+(1/2)cos(2ωx)+(m-1/2)=√2/2sin(2ωx+π/4)+(m-1/2)。最小正周期T=2π/(2ω)=π/ω。(2)函数f(x)在[0,π/2]上，2ωx∈[0,πω]。若ω=1，则2ωx+π/4∈[π/4,5π/4]，sin(2ωx+π/4)∈[-√2/2,1]，f(x)∈[(m-1/2)-√2/4,m-1/2+√2/2]。值域为[-1,√2/2]⇒m-1/2=-1且√2/2-(m-1/2)=√2/2⇒m=-1/2，此时ω=1满足。若ω>1，则2ωx∈[0,πω]，2ωx+π/4∈[π/4,πω+π/4]。若πω+π/4≤2π⇒ω≤7/4，则sin(2ωx+π/4)∈[-√2/2,1]，f(x)∈[(m-1/2)-√2/4,m-1/2+√2/2]。值域为[-1,√2/2]⇒m-1/2=-1且√2/2-(m-1/2)=√2/2⇒m=-1/2，此时需0<ω≤7/4。若ω>7/4，则存在x0∈[0,π/2]使得2ωx0+π/4∈[2π,2π+π/4)，此时f(x0)<m-1/2，不可能取得最大值√2/2，不满足条件。若0<ω<1，则2ωx∈[0,πω]，2ωx+π/4∈[π/4,πω+π/4]。若πω+π/4≤π⇒ω≤3/4，则sin(2ωx+π/4)∈[-√2/2,1]，f(x)∈[(m-1/2)-√2/4,m-1/2+√2/2]。值域为[-1,√2/2]⇒m-1/2=-1且√2/2-(m-1/2)=√2/2⇒m=-1/2，此时需0<ω≤3/4。若ω>3/4，则存在x0∈[0,π/2]使得2ωx0+π/4∈[π,π+π/4)，此时f(x0)>m-1/2，不可能取得最小值-1，不满足条件。综上，ω=1且m=-1/2。21.解析：(1)F(x)=sin(x)cos(x)-sin(α)cos(x)-cos(α)sin(x)+sin(α)cos(α)=(1/2)sin(2x)-sin(α)cos(x)-cos(α)sin(x)+sin(α)cos(α)=(1/2)sin(2x)-sin(α+x)+sin(α)cos(α)。(2)F(x)在区间[0,π]上是单调函数，等价于sin(2x)-sin(α+x)在[0,π]上是单调函数。令t=x+α，则x∈[0,π]⇒t∈[α,α+π]。F(x)=(1/2)sin(2x)-sin(α+x)=(1/2)sin(2(x+α))-sin(t)=(1/2)sin(2t)-sin(t)。令g(t)=(1/2)sin(2t)-sin(t)。g'(t)=cos(2t)-cos(t)=cos(t)(2cos(t)-1)。令g'(t)=0，得cos(t)=0或cos(t)=1/2。t∈[α,α+π]上g(t)单调的充要条件是g'(t)在[α,α+π]上恒大于或恒小于0。即α∈[2kπ+π/2,2kπ+5π/6]或α∈[2kπ+3π/2,2kπ+7π/6](k∈Z)。由于α∈(0,π)，所以α∈[π/2,5π/6]∪[3π/2,7π/6]。故α的取值范围是[π/2,5π/6]∪[3π/2,7π/6]。22.解析：(1)f(x)=sin(x)cos(x)+2sin^2(x)-1=(1/2)sin(2x)+2(1-cos(x))^2-1=(1/2)sin(2x)+2(1-2cos(x)+cos^2(x))-1=(1/2)sin(2x)+2-4cos(x)+2cos^2(x)-1=(1/2)sin(2x)+2cos^2(x)-4cos(x)+1=(1/2)sin(2x)+cos^2(x)-4cos(x)+1=(1/2)sin(2x)+(2cos(x)-2)^2-3=(1/2)sin(2x)+4cos^2(x)-8cos(x)+4-3=(1/2)sin(2x)+4cos^2(x)-8cos(x)+1。因为cos^2(x)=1-sin^2(x)，所以f(x)=(1/2)sin(2x)+4(1-sin^2(x))-8sin(x)+1=(1/2)sin(2x)+4-4sin^2(x)-8sin(x)+1=(1/2)sin(2x)-4sin^2(x)-8sin(x)+5。令t=sin(x)，x∈[0,π/2]⇒t∈[0,1]。f(x)=g(t)=(1/2)sin(2arcsin(t))-4t^2-8t+5=(1/2)(2t√(1-t^2))-4t^2-8t+5=t√(1-t^2)-4t^2-8t+5。函数g(t)在[0,1]上，t√(1-t^2)在[0,1]上单调递减，-4t^2在[0,1]上单调递减，-8t在[0,1]上单调递减，5为常数。所以g(t)在[0,1]上单调递减。因此f(x)在[0,π/2]上单调递减。最小正周期T=2π。(2)证明：令h(x)=f(x)-1/4。h(x)=t√(1-t^2)-4t^2-8t+5/4。x∈[0,π/2]⇒t∈[0,1]。h(x)在[0,π/2]上的最小值为h(1)=1√(1-1^2)-4(1)^2-8(1)+5/4=0-4-8+5/4=-36/4+5/4=-31/4<0。h(x)在[0,π/2]上的最大值为h(0)=0√(1-0^2)-4(0)^2-8(0)+5/4=0-0-0+5/4=5/4>0。因为h(x)在[0,π/2]上连续，且h(0)>0，h(1)<0，根据零点存在性定理，函数h(x)在(0,1)上存在零点。又因为x∈[0,π/2]⇒t∈[0,1]，所以h(x)在[0,π/2]上存在零点等价于f(x)在[0,π/2]上存在零点。故对于任意x∈[0,π/2]，f(x)的值都大于等于1/4。(3)直线y=kx+1与y=f(x)的图像在区间[0,π/2]上有且仅有一个交点，等价于方程f(x)=kx+1在区间[0,π/2]上有且仅有一个解。令p(x)=f(x)-(kx+1)=t√(1-t^2)-4t^2-(k+8)t+4。p(x)在[0,π/2]上有且仅有一个解等价于p(t)=t√(1-t^2)-4t^2-(k+8)t+4在[tmin,tmax]=[0,1]上有且仅有一