高中数学第2章圆锥曲线与方程2.6.2求曲线的方程

第2章2.6曲线与方程2.6.2

求曲线方程1/261.掌握求轨迹方程建立坐标系普通方法，熟悉求曲线方程五个步骤.2.掌握求轨迹方程几个惯用方法.学习目标2/26知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠栏目索引3/26知识梳理自主学习知识点一坐标法和解析几何答案借助于坐标系，用

表示点，把曲线看成满足某种条件点集合或轨迹，用曲线上点坐标(x，y)所满足

表示曲线，经过研究

间接地来研究曲线性质，这一研究几何问题方法就叫

.用坐标法研究几何图形知识形成学科叫做_________.坐标方程f(x，y)＝0方程性质解析几何坐标法知识点二解析几何研究主要问题(1)依据已知条件，求出表示曲线

；(2)经过曲线方程，研究曲线

.方程性质4/26(1)建立适当坐标系；(2)设曲线上任意一点M坐标为(x，y)；(3)列出符合条件P(M)方程

；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)证实以化简后方程解为坐标点

.答案知识点三求曲线方程普通步骤f(x，y)＝0都在曲线上5/26思索(1)求曲线方程步骤是否能够省略？答案答案能够省略.假如化简前后方程解集是相同，能够省略步骤说明，如有特殊情况，能够适当说明.另外，也能够依据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程.(2)求曲线方程和求轨迹一样吗？答案不一样.若是求轨迹则要先求出方程，再说明和讨论所求轨迹是什么样图形，即图形形状、位置、大小都需说明、讨论清楚.返回6/26例1

动点M与距离为2a两个定点A，B连线斜率之积等于－

，求动点M轨迹方程.题型探究重点突破题型一直接法求曲线方程解析答案反思与感悟7/26反思与感悟解如图，以直线AB为x轴，线段AB垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0).化简得：x2＋2y2＝a2(x≠±a).∴点M轨迹方程为x2＋2y2＝a2(x≠±a).8/26直接法是求轨迹方程最基本方法，依据所满足几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y形式F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.要注意轨迹上点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上点一个也不能多，一个也不能少.反思与感悟9/26跟踪训练1

已知在直角三角形ABC中，角C为直角，点A(－1,0)，点B(1,0)，求满足条件点C轨迹方程.解析答案10/26解如图，设C(x，y)，

∴(x＋1)(x－1)＋y2＝0.化简得x2＋y2＝1.∵A、B、C三点要组成三角形，∴A、B、C三点不共线，∴y≠0.∴点C轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0).11/26例2

已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆任意弦，求所作弦中点轨迹方程.题型二定义法求曲线方程解析答案反思与感悟解如图，设OQ为过O点一条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OQ，∵∠OPC＝90°，12/26假如动点轨迹满足某种已知曲线定义，则可依据定义结合条件写出动点轨迹方程.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线定义特征.反思与感悟13/26跟踪训练2

已知定长为6线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动，线段AB中点为M，求点M轨迹方程.解作出图象如图所表示，依据直角三角形性质可知解析答案所以M轨迹是以原点O为圆心，以3为半径圆，故点M轨迹方程为x2＋y2＝9.14/26例3

已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，点M和定点B(3，0)连线中点为P，求点P轨迹方程.题型三代入法求曲线方程解设P(x，y)，M(x0，y0)，解析答案反思与感悟又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1.∴P点轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.15/26代入法求轨迹方程就是利用所求动点P(x，y)与相关动点Q(x0，y0)坐标间关系式，且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可用所求动点P坐标(x，y)表示相关动点Q坐标(x0，y0)，即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，y0代入已知曲线方程即可求得动点P轨迹方程.反思与感悟16/26跟踪训练3

已知△ABC两顶点A，B坐标分别为A(0，0)，B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心轨迹方程.解设G(x，y)为△ABC重心，顶点C坐标为(x′，y′)，因为顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2＋3上，所以3y＝(3x－6)2＋3，整理，得y＝3(x－2)2＋1.故点M轨迹方程为y＝3(x－2)2＋1.解析答案17/26求曲线方程忽略限制条件致错易错点例4

直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k改变时，求弦AB中点M轨迹方程.解析答案返回18/26错解设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，再由OM⊥MP，得OP2＝OM2＋MP2，∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，正解设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，再由OM⊥MP，得OP2＝OM2＋MP2，∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，返回∵点M应在圆内，∴所求轨迹为圆内部分.解析答案19/26返回易错警示错误原因纠错心得

错解中未注意到点M应在圆内，故所求轨迹应为圆内部分，此时应考虑0≤x<求曲线方程时，要注意准确确定范围，能挖掘出题目中隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑对应限制条件，防止考虑不全方面而致错.20/26当堂检测12345①一条直线

②一条直线去掉一点③一个点

④两个点②解析注意当点C与A、B共线时，不符合题意，应去掉.解析答案21/26123452.到点(－1,0)与直线x＝3距离相等点轨迹方程为_____________.变形为：y2＝－8x＋8.y2＝－8x＋8解析答案22/26123453.以下各点中，在曲线x2－xy＋2y＋1＝0上点是________.(填序号)①(2，－2) ②(4，－3)③(3,10) ④(－2,5)解析依次把四个点代入x2－xy＋2y＋1，当x＝3，y＝10时，x2－xy＋2y＋1＝0.③解析答案23/26123454.在第四象限内，到原点距离为2点M轨迹方程是________.(填序号)①x2＋y2＝4 ②x2＋y2＝4(x>0)解析设M(x，y)，由MO＝2得，x2＋y2＝4，解析答案④24/26123455.设A为圆(x－1)2＋y2＝1上动点，PA是圆切线